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% Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Baccalauréat STI  Génie des matériaux, mécanique }
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles--Guyane juin 2009~\decofourright  \\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
Le plan complexe est muni du repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation suivante (E) : 

\[(E)~~:\quad  (z - 2)\left(\text{i}z + \text{i} + \sqrt{3}\right) = 0.\]
 
On donnera la forme algébrique des solutions. 
\item  Les points A et B ont pour affixes respectives : $z_{\text{A}} = 2,~ z_{\text{B}} = 	- 1 + \sqrt{3}\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le module et un argument de $z_{\text{A}}$. 
		\item Déterminer la forme trigonométrique de $z_{\text{B}}$. 
		\item Expliquer pourquoi les points A et B sont sur le même cercle $\Omega$ de centre O et de rayon 2, 
		\item On considère le point C d'affixe $z_{\text{C}} = -1 + \lambda\text{i}$  où $\lambda$ est un nombre réel négatif.
		 
Déterminer le nombre $\lambda$ tel que le point C soit sur le cercle $\Omega$.
 
Que représente le nombre complexe $z_{\text{C}}$ par rapport au nombre complexe $z_{\text{B}}$ ? 
		\item Sur la feuille annexe 1, placer avec soin les points A, B et C dans le repère \Ouv.
		 
\emph{(On laissera apparents les traits de construction à la règle et au compas. Ces traits seront pris en compte dans l'évaluation de la question.)} 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
Quelle est la nature du triangle ABC? Justifier. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Un objet produit en série a un coût de production de 95~euros.
 
Un objet défectueux à l'issue de sa fabrication peut présenter seulement le défaut A, seulement le défaut B, ou les deux défauts A et B simultanément.
 
La garantie permet d'effectuer les réparations aux frais du fabricant avec les coûts suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 10 euros pour le seul défaut A, 
\item 15 euros pour le seul défaut B, 
\item 25 euros pour les deux défauts A et B.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sur un lot L de $200$ objets prélevés sur l'ensemble de la production, on constate que 16 objets ont au moins le défaut A, 12 objets ont au moins le défaut B et 180 objets n'ont aucun des deux défauts. 
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire et compléter le tableau ci-dessous :
		
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.75}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Nombre d'objets du lot L 	&Avec le défaut A 	&Sans le défaut A 	&Total\\ \hline 
Avec le défaut B			&					&					&\\ \hline 
Sans le défaut B			&					&					&\\ \hline 
Total 						&					&					&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item On prélève au hasard un objet parmi les 200~objets du lot L, décrits précédemment.
		 
Calculer la probabilité $p_{1}$ que cet objet ne présente aucun défaut. On donnera la valeur décimale de $p_{1}$. 
		\item On prélève au hasard un objet parmi les 200 objets du lot L, décrits précédemment.
		 
Calculer la probabilité $p_{2}$ que cet objet présente seulement le défaut A. On donnera la valeur décimale de $p_{2}$. 
	\end{enumerate} 
 
\item \emph{Pour la suite de l'exercice. on admettra que, sur l'ensemble de la production, $90$\,\% des objets n'ont aucun défaut, $4$\,\% des objets ont le seul défaut A. $2$\,\% des objets ont le seul défaut B et $4$\,\% des objets ont les deux défauts A et B.}

\bigskip
 
On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque objet choisi au hasard sur l'ensemble de la production, associe son prix de revient, c'est-à-dire le coût de production augmenté éventuellement du coût de réparation. 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelles sont les valeurs possibles de la variable aléatoire $X$ ? 
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. (On pourra présenter cette loi sous la forme d'un tableau,) 
		\item Calculer l'espérance mathématique E$(X)$ de cette variable aléatoire $X$. Que représente-t-elle pour l'usine ?
		 
\emph{On admet pour la suite de l'exercice que tous les objets produits sont vendus.} 
		\item L'usine peut-elle espérer faire des bénéfices en vendant 96~euros chaque objet produit ? 
		\item L'usine veut faire un bénéfice moyen de 10~euros par objet.
		 
Expliquer comment on doit alors choisir le prix de vente d'un objet produit.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points} 

\medskip

\textbf{Partie A}
 
$f$ est une fonction définie sur l'ensemble des réels $\R$.
 
La courbe représentative de cette fonction $f$, notée $\mathcal{C}_{f}$ est donnée ci-dessous dans un repère 
orthonormé \Oij{} du plan.

\begin{center}
\psset{unit=1.35cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-3)(4.5,3.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,griddots=7](0,0)(-4.5,-3)(4.5,3.25)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4.5,-3)(4.5,3.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[r](1.1,3){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-4.5}{4.5}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 2 mul sub} 
\end{pspicture*}
\end{center} 

\medskip

\emph{Les deux questions suivantes sont indépendantes.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Parmi les trois courbes données ci-dessous se trouve la représentation graphique de la fonction $f'$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. Indiquez de quelle courbe il s'agit en justifiant votre choix. 

\medskip

\psset{unit=0.5cm}\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\begin{pspicture}(-4.5,-2)(2,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-4.5,-2)(2,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4.5,-2)(2,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.5}{1}{2.71828 x exp x mul 1.5 mul 1 sub}
\rput(-1.25,-2.5){Courbe 1}\uput[d](2,0){$x$} \uput[l](0,5){$y$}
\end{pspicture}&
\begin{pspicture}(-4.5,-2)(2,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-4.5,-2)(2,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4.5,-2)(2,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.5}{0.75}{2.71828 x 2 mul  exp 2 mul 2.71828  x exp 2 mul  sub}
\rput(-1.25,-2.5){Courbe 2}\uput[d](2,0){$x$} \uput[l](0,5){$y$}
\end{pspicture}&
\begin{pspicture}(-4.5,-5)(2,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-4.5,-5)(2,2.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4.5,-5)(2,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\rput(-1.25,-5.5){Courbe 3}\uput[d](2,0){$x$} \uput[l](0,2){$y$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.5}{0.83}{2.71828 4 x mul 3 div exp x  mul 2 mul  neg}
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}
 
\medskip
 
\item  La fonction $f$ est définie par 

\[f(x) = \text{e}^{\alpha x} - 2\text{e}^{x},~ \text{où}~ \alpha~ \text{est un nombre réel.}\]
 
Sachant que la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A de coordonnées $(0~;~-1)$ est horizontale, déterminer le nombre $\alpha$. On détaillera le raisonnement et les calculs.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
La fonction $f$ est la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par

\[f(x) = \text{e}^{2 x} - 2\text{e}^{x}.\]

La fonction $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant par des calculs, la limite de $f(x)$ en $+ \infty$

$\left(\text{on pourra factoriser par}~ \text{e}^x\right)$. 
\item  Déterminer, en justifiant par des calculs, la limite de $f(x)$ en $- \infty$. Interpréter graphiquement. 
\item  Vérifier que pour tout nombre réel $x~:~ f'(x) = 2\text{e}^x\left(\text{e}^x - 1\right)$.
 
Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ (on justifiera soigneusement le signe de $f'(x)$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'ensemble des réels $\R$ par 

\[g(x) = \text{e}^x + 4.\]
 
On note $\mathcal{C}_{g}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij{} du plan.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation suivante : $X^2 - 3X - 4 = 0$. 
\item En déduire les coordonnées du (ou des) points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
 
$\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sont données en annexe 2, dans le même repère orthonormé \Oij{} du plan. L'unité est 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
On note $S$ le domaine du plan délimité par la droite d'équation $x = 0$, la droite d'équation $x = 1$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la courbe $\mathcal{C}_{g}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer sur la feuille \textbf{annexe 2} le  domaine $S$. 
		\item  Calculer, en unités d'aire puis en cm$^2$, la mesure de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $S$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1.5cm}

\begin{center}
{\large \textbf{Annexe 1 (à rendre avec la copie)}}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.66667cm}
\begin{pspicture*}(-9,-6.5)(9,6.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-9,-6.5)(9,6.5)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-8.9,-6.5)(8.9,6.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} 
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
{\large \textbf{Annexe 2 (à rendre avec la copie)}}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.33333cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-2)(4.5,12)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-4.5,-2)(4.5,12)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4.5,-2)(4.5,12)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-4.5}{1.528}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 2 mul sub}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{-4.5}{2.08}{2.71828 x  exp 4 add}
\uput[l](1.5,11.5){\blue $\mathcal{C}_{f}$} \uput[r](2,11.5){\red $\mathcal{C}_{g}$}
\uput[dl](0,0){O}  
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}