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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
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\setlength\parindent{0mm}
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\begin{document}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie des matériaux, mécanique }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles-Guyane septembre 2005~\decofourright\\[4 pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

Dans tout cet exercice, on note $g$ la fonction numérique définie pour tout nombre réel $x$, par :

\[g(x) = \sin \left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{3}\right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit (E) l'équation différentielle :

\[4y'' = - y,\]
	
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la solution générale de l'équation différentielle (E). 
		\item  On note $f$ la solution particulière de l'équation différentielle (E) qui vérifie : $f(0) = - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $f'(0) = \dfrac{1}{4}$.

Démontrer que la fonction $f$ est égale à la fonction $g$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\mu$ la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left[\dfrac{2\pi}{3}~;~\dfrac{14\pi}{3}\right]$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $\mu$.
		\item  Recopier et compléter le tableau ci-dessous en indiquant des valeurs exactes :
		
\renewcommand{\arraystretch}{2.4}
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ &$\dfrac{2\pi}{3}$&$\dfrac{5\pi}{3}$&$\dfrac{8\pi}{3}$&$\dfrac{11\pi}{3}$&$\dfrac{14\pi}{3}$\\ \hline
$\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{3}$&		&	&	&	&		\\ \hline
$\sin \left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{3}\right)$&		&	&	&	&		\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

\end{center}

		\item  Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left[\dfrac{2\pi}{3}~;~\dfrac{14\pi}{3}\right]$.
		
Tracer la couche $\mathcal{C}$. 
		\item  La valeur de $\mu$ trouvée en a. est-elle cohérente avec le graphique effectué en c ?
		
Pourquoi ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

Un jeu consiste à tirer une boule dans une urne qui contient des boules rouges, des boules vertes et des boules noires.

La règle du jeu indique que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  si la boule tirée est rouge, l'organisateur du jeu donne $1$~\euro{} au joueur
\item[$\bullet~$]  si la boule tirée est verte, l'organisateur du jeu donne $2$~\euro{} au joueur
\item[$\bullet~$]  si la boule tirée est noire, l'organisateur du jeu donne $0,50$~\euro{} au joueur.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On admet que lors de chaque tirage. toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées.

On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  $p_{\text{R}}$ la probabilité de tirer une boule rouge
\item[$\bullet~$]  $p_{\text{V}}$ la probabilité de tirer une boule verte
\item[$\bullet~$]  $p_{\text{N}}$ la probabilité de tirer une boule noire.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, on suppose que le nombre de boules rouges, le nombre de boules vertes et le nombre de boules noires contenues dans l'urne sont tels que

\[p_{\text{V}} = 2p_{\text{R}}\quad \text{et} \quad  p_{\text{R}} = 2p_{\text{N}}\]
On rappelle que, les boules contenues dans l'urne étant soit rouges, soir vertes, soit noires, on a l'égalité

\[p_{\text{R}} + p_{\text{V}} + p_{\text{N}} = 1 \]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $p_{\text{R}},~p_{\text{V}}$ et $p_{\text{N}}$. (Donner les valeurs exactes.) 	
\item  Sachant que l'urne contient 3 boules noires, calculer le nombre total de
boules contenues dans l'urne, ainsi que le nombre de boules rouges et le
nombre de boules vertes contenues dans l'urne.
\item  Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage d'une boule associe la somme reçue par le joueur.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$, puis calculer
l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire $X$.
		\item  Si l'organisateur du jeu vendait $1,50$~\euro{} un ticket donnant le droit
d'effectuer en tirage, quel bénéfice pourrait-il espérer avoir réalisé à l'issue de \np{1000} jeux. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

[Dans cette partie, on suppose que l'organisateur du jeu a rajouté des boules noires dans l'urne : l'urne contient 12 boules vertes, 6 boules rouges, $n$ boules noires.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Exprimer, en fonction de $n$, la probabilité de tirer une boule verte, la probabilité de tirer une boule rouge et la probabilité de tirer une boule noire. 
\item  Soit $Y$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe la somme reçue par le joueur.
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer, en fonction de $n$, l'espérance mathématique $E(Y)$ de la variable aléatoire Y. 
		\item  L'organisateur du jeu vend $1,50$~\euro{} le ticket donnant le droit d'effectuer un tirage.

Comment peut-il choisir le nombre $n$ de boules noires pour pouvoir espérer réaliser un bénéfice de $500$~\euro{} à l'issue de \np{1000} jeux ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 12 points}

\medskip

Le plan est rapporte à un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : $2$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur l'axe des ordonnées).

\medskip

\textbf{Partie A - étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soie $g$ la fonction numérique définie pour tout réel $x$ strictement positif, par :

\[g(x) = 2x^2 + 1 - \ln x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On nomme $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$.

Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ strictement positif.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$  et donner le tableau des variations de la fonction $g$ (les limites en $0$ et en $+ \infty$ ne sont pas demandées).	
		\item  Préciser la valeur exacte de $g\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et en déduire le signe de $g\left(\dfrac{1}{2}\right)$.
		\item  Donner le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - étude d'une fonction et tracé de sa courbe représentative}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie pour tout réel $x$ strictement positif, par

\[f(x) = 2x + 1 + \dfrac{\ln x}{x}.\]

On note sa courbe représentative dans le repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. Donner une interprétation graphique de ce résultat.	
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+  \infty$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
		
Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

\[f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^{2}},\]

où $g$ est la fonction définie dans la partie A.
		\item  Donner le tableau des variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item On nomme $\alpha$ l'unique solution de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide d'une calculatrice, donner la valeur approchée décimale de $\alpha$ arrondie à $10^{-2}$.
		\item  Préciser, dans un tableau, le signe de $f(x)$ pour $x$ réel strictement positif.	
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  On nomme $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = 2x + 1$ dans le repère \Oij.
		
Montrer que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote à la courbe  $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.	
		\item  La droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ se coupent au point I.
		
Déterminer les coordonnées du point I.	
		\item  étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.	
	\end{enumerate}
\item  Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$ qui est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1. 	
\item  Sur un même graphique, placer le point I, puis tracer $\mathcal{T},~\mathcal{D}$ et  $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C - Calcul d'aire}

\medskip

Soit $F$ la fonction numérique définie pour tout réel $x$ strictement positif, par :

\[F(x) = x^2 + x + \dfrac{1}{2}(\ln x)^2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item  Soit $\mathcal{S}$ la surface plane limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}$.
	\begin{enumerate}
		\item  On note $\mathcal{A}$ l'aire de la surface $\mathcal{S}$ exprimée en unités d'aires. Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$.	
		\item Donner une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près de l'aire de la surface $\mathcal{S}$ exprimée en cm$^{2}$.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{document}