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% Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small Baccalauréat STI  Génie des matériaux, mécanique}
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles--Guyane septembre 2009~\decofourright\\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. Toutes les constructions demandées seront à faire sur le même graphique.
 
Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = - 5\text{i}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\C$ l'équation : $z^2 - 6z + 25 = 0$. 
			
On note $z_{\text{B}}$ la solution de cette équation dont la partie imaginaire est positive. 
		\item Placer dans le plan complexe les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A et B appartiennent à un même cercle $(C)$ de centre O. 
		\item Construire le cercle $(C)$.
	\end{enumerate}

\medskip
	 
Dans la suite de l'exercice, on note I, J et K les points d'affixes respectives $z_{\text{I}},~ z_{\text{J}}$ et $z_{\text{K}}$ telles que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $z_{\text{I}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$,
\item[$\bullet~$] $z_{\text{J}}$ est le nombre complexe de module 2 et d'argument $\dfrac{5\pi}{6}$,
\item[$\bullet~$] $z_{\text{K}} = - z_{\text{J}}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme algébrique de $z_{\text{J}}$. 
		\item Comparer les modules des nombres $z_{\text{I}},~z_{\text{J}}$  et $z_{\text{K}}$.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Pour la question 4., toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.} 
	\begin{enumerate}
		\item Placer avec soin les points I, J et K et tracer le cercle $\left(C'\right)$ circonscrit au triangle IJK dans le plan complexe \textbf{en laissant apparents les traits de construction}.
		 
Quelle est la nature du triangle IJK ? Justifier cette réponse. 
		\item Soit $(E)$ l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie la relation : $2 < |z| < 5$.
		 
Représenter l'ensemble $(E)$ sur le graphique précédent à l'aide de hachures, en expliquant la démarche mise en {\oe}uvre.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

Un bâtiment industriel est équipé d'une alarme qui se déclenche, en principe, lorsqu'il y a un dégât des eaux.
 
Il arrive cependant que ce système d'alarme soit mis en défaut.
 
On suppose qu'il ne peut pas y avoir plus d'un dégât des eaux par jour et qu'il ne peut pas y avoir plus d'un déclenchement d'alarme par jour.
 
Une étude portant sur 500~journées montre qu'il y a eu :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 5 jours où il y a eu un dégât des eaux. 
\item 1 jour où il y a eu un dégât des eaux sans que l'alarme se déclenche. 
\item 10 jours où l'alarme s'est déclenchée sans qu'il y ait un dégât des eaux.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item  À l'aide des données de l'énoncé, recopier et compléter le tableau suivant.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline 
&Nombre de jours où il y a un dégât des eaux &Nombre de jours où il n'y a pas de dégât des eaux &TOTAL\\ \hline
Nombre de jours où l'alarme se déclenche&&&  \\ \hline 
Nombre de jours où l'alarme ne se déclenche pas&&&  \\ \hline 
TOTAL&&& 500 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
\item On choisit un jour au hasard parmi les 500~journées étudiées.
 
On considère les évènements suivants :
 
$E$ : \og Ce jour-là il y a un dégât des eaux \fg 

$A$ : \og Ce jour-là l'alarme se déclenche \fg
 
Les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $p(A)$ de l'évènement $A$. 
		\item Soit $B$ l'évènement : \og le système d'alarme est mis en défaut \fg.
		 
Calculer la probabilité $p(B)$ de l'évènement $B$. 
		\item Sachant que ce jour-là, l'alarme s'est déclenchée, quelle est la probabilité qu'il y ait réellement un dégât des eaux ? 
	\end{enumerate} 

\item On admet que les probabilités calculées au 2. restent valables si on choisit n'importe quel jour au hasard, quelle que soit sa date.
 
Pour une journée donnée, on peut se trouver dans l'une des quatre situations suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item il y a un dégât des eaux et l'alarme se déclenche,
\item il y a un dégât des eaux et l'alarme ne se déclenche pas,
\item l'alarme se déclenche sans qu'il y ait un dégât des eaux,
\item rien ne se passe.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

Les assureurs estiment les coûts suivants pour le bâtiment :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item \np{1000}~euros pour un dégât des eaux lorsque l'alarme fonctionne. 
\item \np{3000}~euros pour un dégât des eaux lorsque l'alarme ne fonctionne pas.
\item  150~euros lorsque l'alarme se déclenche par erreur. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

On note $X$ la variable aléatoire représentant le coût journalier pour le bâtiment industriel. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la loi de probabilité de $X$. 
		\item Quel est le coût moyen journalier de cette assurance ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip
 
\textbf{PARTIE A : étude graphique d'une fonction}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
 
\[f(x) = \dfrac{2\text{e}^{2x} - 4\text{e}^{x}}{\text{e}^{2x} - 4\text{e}^{x} + 5}.\]
 
On a représenté en annexe la courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans le repère  orthonormé $\left(\text{O}~ ;~\vect{\text{OI}},~\vect{\text{OJ}}\right)$ (avec OI = OJ = 2~cm).
 
La tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point B$(0~;~-1)$ passe par le point M$(-1~;~0)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x\quad  :\quad  f(x) = \dfrac{2 - 4\text{e}^{-x}}{1 - 4\text{e}^{-x} + 5\text{e}^{-2x}}$.

En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement ce résultat  pour la courbe $(\mathcal{C})$, et compléter le graphique en annexe. 
		\item Montrer que le point A$(\ln 2~;~0)$ est un point de la courbe $(\mathcal{C})$.
	\end{enumerate} 
\item Par lecture graphique, en justifiant : 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
		\item Déterminer la valeur de $f'(0)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B : étude d'une primitive de \boldmath$f$ \unboldmath sur} \boldmath$\R$ \unboldmath

\medskip

Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par
 
\[F(x) = \ln \left(\text{e}^{2x} - 4\text{e}^{x} + 5\right).\]
 
Soit $(\Gamma)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(\text{O}~ ;~\vect{\text{OI}},~\vect{\text{OJ}}\right)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier la limite de la fonction $F$ en $- \infty$.
 
Interpréter graphiquement ce résultat pour la courbe $(\Gamma)$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x \quad :\quad F(x) = 2x + \ln \left(1 - 4\text{e}^{-x} + 5\text{e}^{-2x}\right)$. 
		\item Calculer la limite de la fonction $F$ en $+ \infty$ et la limite de $F(x) - 2x$ en $+ \infty$. 
		\item Interpréter graphiquement ce résultat pour la courbe $(\Gamma)$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $f$ est la fonction dérivée de la fonction $F$ sur $\R$. 
		\item Vérifier que $F(\ln 2) = 0$. 
		\item Déduire de la partie A le tableau de variations de la fonction $F$.
	\end{enumerate} 
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant avec des valeurs approchées à $10^{-2}$ près : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& $-2$& $-1$ &0 &0,5& 1 &2 \\ \hline
$F(x)$&&&&&&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Tracer la courbe $(\Gamma)$ dans un repère orthonormé $\left(\text{O}~ ;~\vect{\text{OI}},~\vect{\text{OJ}}\right)$ en faisant apparaitre les interprétations graphiques des questions 1. et 2. c. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C : calcul d'une aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{\ln 2}^2 f(x)\:\text{d}x$. 
\item De quel domaine le calcul précédent permet-il de calculer l'aire ?
 
Hachurer sur le graphique de la feuille annexe ce domaine, et déterminer une valeur  approchée de la mesure, en cm$^2$, de son aire (on exprimera la réponse à 0,01~cm$^2$ près). 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.5cm}

\begin{pspicture}(-4,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,ticks=all]{->}(0,0)(-4,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none,ticks=all]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J} \uput[dl](0,0){O}
\uput[u](3,2.2){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{4}{2.71828 x 2 mul exp 2 mul 2.718 x exp 4 mul sub 2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 4 mul sub 5 add div}
\uput[dl](0.75,0){A}\uput[ur](-1,0){M} \uput[ur](0,-1){B}
\psplot{-4}{1}{1 neg x sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}