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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie des matériaux, mécanique }%tapez un titre
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2004~\decofourright \\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

La question \textbf{4.} est indépendante des questions \textbf{1., 2.} et \textbf{3.}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\rho_{n}$ le terme général d'une suite géométrique de premier terme $\rho_{0} = 4$ et de raison $\dfrac{1}{2}$.

Déterminer $\rho_{n}$ en fonction de $n$.
\item Soit $\theta_{n}$ le terme général d'une suite arithmétique de premier terme $\theta_{0} = \pi$ et de raison $- \dfrac{\pi}{3}$.

Déterminer $\theta_{n}$ en fonction de $n$.
\item Soit $z_{n}$ le nombre complexe de module $\rho_{n}$ et d'argument $\theta_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une forme trigonométrique de $z_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer la forme algébrique de $z_{0},~ z_{1},~ z_{2}$ et $z_{3}$.
	\end{enumerate}
\item Dans le plan complexe muni du repère orthonormal \Ouv, (unité graphique : $2$~cm) on donne les points A, B, C et D d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = - 4, \quad  z_{\text{B}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3}, \quad z_{\text{C}} = 	\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}	 \quad  \text{et}  \quad 	z_{\text{D}} =  \dfrac{1}{2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Placer les point A, B, C et D dans le repère \Ouv.
		\item Soit B$'$ le projeté orthogonal de B sur l'axe des réels.

Donner l'affixe de B$'$ et placer B$'$ dans le repère \Ouv.
		\item Calculer la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire du triangle ABB$'$.
		\item Calculer la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire du trapèze B$'$BCD.
		\item En déduire la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire du quadrilatère ABCD.

Donner la valeur arrondie au mm$^2$ près de cette aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{flushright}\textbf{T. S. V. P.}\end{flushright}

\newpage

 \textbf{\textsc{ Exercice 2} \hfill  4 points}

\begin{center} \psset{xunit=4cm,yunit=6cm}
\begin{pspicture}(0,-0.25)(2.36,2)
\psline{->}(0,0)(2.36,0)
\psline{->}(0,0)(0,2)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2.36}{x 360 mul 3.14159 div sin 1 add}
\uput[d](0,0){$0$} \uput[d](0.785,0){$0,25\pi$} 
\uput[d](1.5708,0){$0,5\pi$} \uput[d](2.359,0){$0,75\pi$} 
\uput[l](0,-0.25){-0,25} \uput[l](0,0){0} \uput[l](0,0.25){0,25} 
\uput[l](0,0.5){0,5} \uput[l](0,0.75){0,75} \uput[l](0,1){1} 
\uput[l](0,1.25){1,25} \uput[l](0,1.5){1,5} \uput[l](0,1.75){1,75} 
\uput[l](0,2){2} 
\end{pspicture}
\end{center}

Soit $f$ la fonction numérique définie pour tout $x$ de l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{3\pi}{4}\right]$ par : 

\[f(x) = 1 + \sin 2x.\]

La représentation graphique $\Gamma$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessus dans un repère orthonormal \Oij{}(unité graphique $4$~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$.
		\item Démontrer que la courbe $\Gamma$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses aux points d'abscisses $\dfrac{\pi}{4}$	et $\dfrac{3\pi}{4}$.
	\end{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout $x$ de $\R,~ \sin ^2 (2x) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos 4x)$.
\item On appelle $V$ le volume du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe $\Gamma$ autour de l'axe des abscisses.

On admet que la valeur de $V$, en unités de volume, est donnée par : 
\[V= \pi\displaystyle\int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} [f(x)]^2\:\text{d}x.\]

Donner la valeur exacte de $V$ en cm$^3$, puis sa valeur décimale arrondie au mm$^3$ près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$,  par :

\[g(x) = 1 - x\ln x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $0$.
\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$.
\item Déterminer la fonction dérivée $g'$ de $g$ et étudier son signe sur $]0~;~+ \infty[$.
\item établir le tableau de variations de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$, en précisant la valeur exacte de l'extremum de $g$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $g(x) = 0$ a une solution $\alpha$ et une seule sur l'intervalle [1~;~e].
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
		\item En déduire, en fonction du nombre $x$ de $]0~;~+ \infty[$, le signe de $g(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel $x$ de $]0~;~+ \infty[$, par :

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{\text{e}^x}.\]

Soit $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : $2$~cm sur l'axe des abscisses, $10$~cm sur l'axe des ordonnées).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude du comportement de $f$ en $0$ :
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $0$. 
		\item En déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont on donnera une équation.
	\end{enumerate}
\item Étude du comportement de $f$ en $+ \infty$ :
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. On pourra écrire $f(x)$ sous la forme $f(x) = \left(\dfrac{\ln x}{x}\right) \left(\dfrac{x}{\text{e}^x}\right)$.
		\item En déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont on donnera une équation.
	\end{enumerate}
\item Étude des variations de $f$
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$. Montrer que pour tout $x$ de $]0~;~+~\infty[,$
		
$f'(x) = \dfrac{g(x)}{x\text{e}^x}$.
		\item Établir le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ en fonction de $\alpha$.

En prenant 1,76 comme valeur approchée de $\alpha$, donner une valeur approchée de $f(\alpha)$.
		\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
	\end{enumerate}
\item Dans le repère \Oij, tracer $\mathcal{T}$, les asymptotes à $\mathcal{C}$, puis la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{document} 