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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 1999~\decofourright\\[4pt]Arts appliqués}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice } \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Partie A} 

\medskip

\parbox{0.62\linewidth}{Une lanterne a la forme d'une pyramide régulière, SABCD, à base carrée reposant sur un cube ABCDA$'$B$'$C$'$D$'$. 

La hauteur SH de la lanterne est de 30~cm. Soit $h$, en cm, la hauteur SO de la pyramide et $x$, en cm, la longueur de l'arête du cube.
 
On admet que $0 \leqslant  x \leqslant 30$. 

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ la hauteur $h$ de la pyramide. 
\item Exprimer en fonction de $x$ le volume $V$ de la lanterne.
 
$\left(\text{on rappelle que le volume d'une pyramide est :}\\
\dfrac{\text{surface de base} \times \text{hauteur}}{3}\right)$.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.35\linewidth}{
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(0,-2.5)(3.5,4.5)
%\psgrid
\psframe(0.5,0.3)(2.3,2.1)
\psline(2.3,0.3)(3.1,1.2)(3.1,3.)(2.3,2.1)%B'C'CB
\psline(3.1,3)(1.9,4.2)(2.3,2.1)%CSB
\psline(0.5,2.1)(1.9,4.2)%AS
\psline[linestyle=dashed](1.3,3)(3.1,3)%DC
\psline[linestyle=dashed](0.5,2.1)(1.3,3)(1.9,4.2)%ADS
\psline[linestyle=dashed](1.9,4.2)(1.9,0.8)%SH
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.3)(1.3,1.2)(3.1,1.2)%A'?C'
\psline[linestyle=dashed](1.3,1.2)(1.3,3)
\psline[linestyle=dashed](0.5,2.1)(1.9,2.6)
\uput[l](0.5,2.1){A} \uput[dr](2.3,2.1){B} \uput[r](3.1,3){C}
\uput[ul](1.4,3){D} \uput[dl](0.5,0.3){A$'$} \uput[dr](2.3,0.3){B$'$}
\uput[dr](3.1,1.2){C$'$} \uput[l](1.9,0.8){H} \uput[u](1.9,4.2){S} 
\end{pspicture}
} 

\medskip

\textbf{Partie B} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction numérique définie dans l'intervalle [0~;~30] par 

\[f(x) = \dfrac{1}{3}\left(30x^2 + 2x^3\right)\]

et soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthogonal \Oij{} (1~cm représente 2~unités sur l'axe des abscisses et 1~cm représente \np{1500}~unités sur l'axe des ordonnées). 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$. 
		\item Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant : 
		
(donner les valeurs de $f(x)$ arrondies à la centaine près)

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$&0&5&10&15&20&25&30\\ \hline
$f(x)$&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item Construire $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide de la représentation graphique, la valeur de $x$ pour laquelle $f(x) = \np{15000}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C} 

\medskip

La longueur de l'arête du cube est de 24~cm. 

Déterminer alors :

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item le volume de la lanterne ; 
\item la hauteur $h$ de la pyramide ; 
\item la longueur SA. 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill }

\bigskip

Un fabricant veut commercialiser un produit qui a la forme d'un parallélépipède rectangle à base carrée, dans un emballage qui a la forme d'une pyramide régulière à base carrée (voir la représentation en perspective cavalière). 

Les carrés PORT et BCC$'$B$'$ ont le même centre I et leurs côtés sont deux à deux parallèles.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,4.8)
%\psgrid
\pspolygon(0.3,1)(4.1,1)(6.65,2.7)(3.4,4.3)%PQRS
\psline(3.4,4.3)(4.1,1)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.3,0.7)(4.1,0.7)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(4.3,0.7)(7,2.55)
\psframe[linestyle=dashed](1.7,1.4)(3.8,2.5)%BCDA
\psline[linestyle=dashed](3.75,1.4)(5.025,2.3)(5.025,3.5)(3.1,3.5)(1.85,2.65)%CC'D'A'A
\psline[linestyle=dashed](0.3,1)(2.9,2.8)(6.65,2.7)%PTR
\psline[linestyle=dashed](3.8,2.5)(5.025,3.5)%DD'
\psline[linestyle=dashed](1.6,1.9)(5.375,1.9)%OO'
\psline[linestyle=dashed](1.7,1.4)(3.1,2.3)(5.025,2.3)%BB'C'
\psline[linestyle=dashed](3.15,2.3)(3.15,3.5)%B'A'
\psline[linestyle=dashed](2.9,2.8)(3.4,4.3)(3.4,1.9)%STI
\uput[l](0.3,1){P}\uput[dr](5.65,1.625){$x$}\uput[d](2.2,0.7){$x$} 
\uput[dr](4.,1.05){Q} 
\uput[ur](6.65,2.7){R} 
\uput[u](3.4,4.3){S} 
\uput[dl](1.7,1.4){B} 
\uput[d](3.8,1.4){C}
 \uput[ur](5.025,2.3){C$'$} 
\uput[ul](3.15,2.3){B$'$} 
\uput[ul](1.85,2.65){A} 
\uput[r](3.75,2.5){D} 
\uput[ur](5.025,3.5){D$'$} 
\uput[ul](3.15,3.5){A$'$} 
\uput[l](1.7,2.){O} 
\uput[u](5.375,1.85){O$'$} 
\uput[ul](2.9,2.8){T}
\uput[dl](3.4,1.9){I}
\uput[d](3.5,0.4){représentation en perspective} 
\end{pspicture}

\end{center} 
 
 
Le but du problème est de trouver les dimensions de la pyramide de sorte que son volume soit minimal.
 
Le fabricant ne veut pas que la longueur PO du côté de la base de la pyramide soit supérieure à 20~cm.

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{ 
Les dimensions du parallélépipède sont 8 cm pour le côté [BC] de la base carrée et 6 cm pour la hauteur [BA].
 
On désigne par $x$ la longueur du côté [PO] de la base de la pyra· mide et par h la longueur de sa hauteur [IS], où S est le sommet de la pyramide.}\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(5,4.7)
\pspolygon(0.3,2)(4.2,2)(2.25,4.5)
\psframe(1.23,2)(3.23,3.25)
\rput(2.25,0.3){coupe selon le plan (OSO$'$)}
\psline[linestyle=dashed](2.25,4.5)(2.25,2)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.2,1.5)(3.2,1.5)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.3,1)(4.2,1)
\uput[dl](0.3,2){O} \uput[dr](4.2,2){O$'$} \uput[u](2.25,4.5){S} 
\uput[ul](1.2,3.25){M} \uput[d](1.2,2.05){N} \uput[d](2.25,2.1){I}
\uput[d](2.2,1.6){8}\uput[d](2.2,1){$x$}  
\end{pspicture}} 

\bigskip

\textbf{Partie A - Modélisation}

\medskip 

On rappelle que le volume d'une pyramide est $V = \dfrac{1}{3}(B \times h)$ où $B$ est l'aire de la base et $h$ sa hauteur.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Entre quelles valeurs extrêmes le nombre $x$ peut·il varier ? 
\item Exprimer $h$ en fonction de $x$. (On pourra se placer dans le plan (OSO$'$).) 
\item En déduire une expression du volume $V(x)$ de la pyramide.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B - Étude de fonction}

\medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle ]8~;~20] par : 

\[f(x) = \dfrac{x^3}{x - 8}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, sur l'intervalle ]8~;~20], la dérivée est définie par: 

\[f'(x) = \dfrac{2x^2(x - 12)}{(x - 8)^2}.\] 
 
\item Étudier les variations de la fonction $f$. 
\item Construire la courbe représentative de $f$ dans un plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques 1~cm pour 1~cm en abscisse, 2~cm pour 100~cm$^3$ en ordonnée).
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C - Conclusion}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour $x \in ]8~;~20], V(x) = 2f(x)$. 
\item En déduire la valeur de $x$ pour laquelle le volume de la pyramide est minimum. 
\item Quel est alors ce volume ? Quelle est la hauteur de la pyramide ? Quel est alors le volume à remplir entre le produit et l'emballage ?
\end{enumerate}
 \end{document}