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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small A. P{}. M. E. P{}.}
\rhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{22 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil Métropole~\decofourright\\[5pt]22 juin 2010}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
En 2008, les ateliers Ouest et Est d'une même entreprise produisent respectivement \np{1100} et 900 pièces d'un unique modèle chaque jour.
 
On estime que 2\:\% de la production de l'atelier Ouest est défectueuse ainsi que 3\:\% de la production de l'atelier Est.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Compléter sur l'annexe à rendre avec la copie, le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
		&Pièces défectueuses 	&Pièces non défectueuses 	&Total\\ \hline
Ouest 	&22						&							&\\ \hline 
Est		&						&							&\\ \hline 
Total	&						&							&\np{2000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item On prélève, au hasard, une pièce dans la production totale. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être prélevées. 
	\begin{enumerate}
		\item On définit les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $E$ : \og la pièce prélevée est produite dans l'atelier Est \fg,
\item $D$ : \og la pièce prélevée est défectueuse \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note $p(E)$ la probabilité de l'évènement $E$.

Calculer $p(E),~ p(D),~ p(E \cap D)$ puis $p(E \cup D)$. 
		\item On a prélevé au hasard une pièce dans la production de l'entreprise. Elle est défectueuse.
		 
Calculer la probabilité qu'elle provienne de l'atelier Ouest.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
En 2009, la production journalière est la suivante :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&Pièces défectueuses &Pièces non défectueuses &Total\\ \hline 
Ouest 	&20 &980 		&\np{1000}\\ \hline 
Est 	&24 &776 		&800\\ \hline 
Total 	&44 &\np{1756} 	&\np{1800}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
Chaque pièce coûte 7~\euro{} à produire et est testée.
 
La réparation d'une pièce défectueuse produite dans l'atelier Ouest coûte 3~\euro{} et celle d'une pièce défectueuse produite dans l'atelier Est 5~\euro{}.
 
Chaque pièce est ensuite vendue 10~\euro{}. Ainsi, par exemple, une pièce défectueuse produite par l'atelier Ouest rapporte : $10 - 7 - 3$ soit 0~\euro{} à l'entreprise.
 
On appelle $B$ le gain journalier de l'entreprise.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le gain journalier $B$ de l'entreprise. 
\item Durant l'année, les ateliers fonctionnent $300$ jours. Estimer le gain annuel, exprimé en euros, de l'entreprise. 
\item Le chef d'entreprise envisage d'éliminer les pièces défectueuses avant réparation pour ne vendre que les pièces non défectueuses. Cette stratégie lui coûte \np{100000}~\euro{} par an compte tenu du recyclage. Cette stratégie est-elle rentable pour l'entreprise ? 
\end{enumerate}
 
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère \Ouv{} orthonormal direct d'unité graphique 2~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
 
\begin{enumerate}
\item  On note $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par 

\[P(z) = z^3 - 3z^2 + 4z + 8.\]

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $P(-1) = 0$. 
		\item Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que pour tout nombre complexe $z,$
		
\[P(z) = (z + 1)\left(z^2 + az + b\right).\]
 
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item On note A, B et C les points du plan, d'affixes respectives $z_{\text{A}} = -1$,\:$z_{\text{B}} = 2 + 2\text{i}$ et $z_{\text{C}} = 2 - 2\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv. 
		\item Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{A}}, z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$. En déduire une écriture exponentielle de ces trois nombres. 
		\item Déterminer l'aire en cm$^2$ du triangle ABC. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère l'équation différentielle notée (E) : 

\[y' + 0,1y = 3\]
 
où $y$ désigne une fonction inconnue de la variable réelle $t$, dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle notée (F) : 

\[z' + 0,1 z = 0\]
 
où $z$ désigne une fonction inconnue de la variable réelle $t$, dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
\item On pose, pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$,  

$y(t) = z(t) + 30$, où la fonction $z$ est solution de l'équation différentielle (F). 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $y$ est solution de l'équation différentielle (E). 
		\item Parmi les fonctions précédentes, déterminer celle vérifiant $y(0) = 20$.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\bigskip
	 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
La température  en degrés Celsius (\degres C) du lubrifiant d'un moteur varie en fonction du temps $t$ de fonctionnement exprimé en heures.
 
La fonction $f$ est définie pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(t) = 30 - 10\text{e}^{-0,1t}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la température du lubrifiant: 
	\begin{enumerate}
		\item À l'arrêt. 
		\item Au bout de vingt quatre heures.
	\end{enumerate} 
\item On s'intéresse au comportement de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$.  
		\item Donner une interprétation graphique du résultat obtenu. 
		\item Donner une signification concrète de ce résultat pour le lubrifiant.
	\end{enumerate} 
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(t)$ pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
		 
En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
		\item Construire la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+~\infty[$ dans le repère orthogonal $[0~;~+\infty[$ de l'annexe qu'on rendra avec la copie. 
		\item À quel instant la température du lubrifiant est-elle de 28 \degres C ? Donner une valeur approchée à l'heure près puis à la minute près du résultat. 
		\item Calculer la température moyenne du lubrifiant entre la cinquième et la dixième heure de fonctionnement.
	\end{enumerate}

\medskip
 
\emph{On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction $g$ dérivable sur [a~;~b] est :}
 

\[V_{m} = \dfrac{1}{b - a}\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x.\] 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe (à rendre avec la copie)}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
		&Pièces défectueuses&Pièces non défectueuses&Total\\ \hline
Ouest 	&22					&						&\\ \hline 
Est		&					&						&\\ \hline 
Total	&					&						& \np{2000}\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\psset{xunit=0.075cm,yunit=0.5cm}

\begin{pspicture}(-10,-2)(150,35)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(150,35)
\uput[d](150,0){$x$}\uput[l](0,35){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\multido{\n=0+5}{31}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,35)}
\multido{\n=0+1}{36}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(150,\n)}
\end{pspicture}
\end{document}