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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI   Métropole septembre 2006~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, civil }}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis  la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter  les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation
 
\[\left(z^2+ 9\right)\left(z^2 - 9z + 27\right) = 0.\]

\item Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv, d'unité graphique 1~ cm, on considère les points A, B et C d'affixes respectives:
\[z_{\text{A}} = 3\text{i}\quad  ;\quad  z_{\text{B}} = \dfrac{9}{2} +\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}\quad  \text{et} ~ z_{\text{C}} = \dfrac{9}{2} -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Écrire chacun des nombres complexes $z_{\text{A}}, z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $r$ est un nombre, réel positif et $\theta$ un nombre réel.
		\item  Soit I le point d'affixe $z_{\text{I}} = 2$. Calculer les distances AI, BI et CI.
		
En déduire que les points A, B et C sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
		\item  À l'aide d'une règle et d'un compas, construire les points I, A, B et C. On utilisera une feuille de papier millimétré et on laissera apparents les traits de construction pour les points B et C.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle : $y'' + 16y = 0,~ y$ désignant une fonction numérique d'une variable réelle définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
\item  Déterminer la solution $f$ de cette équation différentielle vérifiant : 

\[f(0) = \dfrac{1}{10}\quad \text{et}\:\:f'(0) = - \dfrac{2\sqrt{3}}{5}.\]

\item Démontrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x) = \dfrac{1}{5}\cos \left(4x + \dfrac{\pi}{3}\right).$

\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre, dans l'ensemble $\R$ des nombres réels, l'équation $f(x) = \dfrac{1}{5}$.
		\item  Déterminer les solutions de l'équation $f(x) = \dfrac{1}{5}$ qui appartiennent à l'intervalle $[0~;~2\pi[$.
		
Représenter ces solutions sur un cercle trigonométrique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}\\
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~ ;~ + \infty[$ par 

\[g(x) =  2x^2 - 4 \ln x +4.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ et prouver que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif:

\[g'(x) = \dfrac{4x^2 - 4}{x}.\]

\item 	Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ puis dresser son tableau de variations (on ne demande pas le calcul des limites).
\item 	Déterminer le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie B}
 
\medskip
Dans toute la suite du problème, on étudie la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) =  2x - 3 + 4 \dfrac{\ln x}{x}.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $0$.
		\item Interpréter graphiquement le résultat précédent.
	\end{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item  Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 2x - 3$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.
		\item  Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item 	Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et prouver que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif:

\[f'(x) = \dfrac{ g(x)}{x^2}.\]

\item À l'aide des résultats de la partie A, indiquer le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [1~;~2].
		\item  Donner un encadrement d'amplitude $10^{-4}$ de $\alpha$.
	\end{enumerate}
\item 	Pour quelle valeur de $x$ la courbe $\mathcal{C}$ admet-elle, au point d'abscisse $x$, une tangente parallèle à $\mathcal{D}$ ?
 \item 	Construire avec soin la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ (on utilisera une feuille de papier millimétré).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}
 
\medskip
 
Dans cette partie, on souhaite calculer l'aire $\mathcal{A}$, en cm$^2$, du domaine $\mathcal{E}$ situé entre les droites d'équations $x = 1$ et $x = 5$, la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Hachurer le domaine $\mathcal{E}$ sur le graphique réalisé à la partie B.
\item  Montrer que $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{1}^5 4\dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On pose, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $H(x) = (\ln x)^2$.
		
Déterminer la dérivée de la fonction $H$.
		\item Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis en donner une valeur approchée au mm$^2$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}