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\begin{document}
\lhead{\small Baccalauréat STI }
\rhead{\small Génies mécanique (options A et F), énergétique et civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil  Métropole~\decofourright\\ septembre 2007}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis  la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter  les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à une repère orthonormal direct \Oij.
L'unité graphique est 1~cm. On note i le nombre complexe de module 1
et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :

\[z^2 + 4z + 16 = 0.\]

\item  On note A, B, C, D et E les points du plan d'affixes respectives :

\[a = -2 + 2\text{i}\sqrt{3}\quad;\quad b = \overline{a}\quad;\quad c = 7+ \text{i}\sqrt{3}\quad ; \quad d = 7 + 5\text{i}\sqrt{3}\quad;\quad e = - \dfrac{1}{2}a.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que $b - a = c - d$ ; en déduire que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
		\item Calculer le module et un argument de chacun des nombres $a,~ b$ et $c$.
		\item Démontrer l'égalité : $e - c = \dfrac{2}{3}(b - c)$. En déduire que les points B, C et E sont alignés.
	\end{enumerate}
\item Utiliser les résultats précédents pour placer les points A, B et E dans le repère \Oij, puis terminer la construction du quadrilatère ABCD
en laissant apparents les traits de construction,
\item  On note F le point d'affixe : $f = - 2 - 6\text{i}\sqrt{3}$.\\
Démontrer que le point B est le milieu du segment [AF].\\
En déduire le centre de gravité du triangle ACF.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill}

\medskip
 
Soit (E) l'équation différentielle : 

\[9y" + 4y = 0,\]

où $y$ est une fonction numérique définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle (E).
\item  Le plan est rapporté à un repère orthonormal.
Déterminer la fonction $g$, solution de (E), qui satisfait aux conditions suivantes :

\begin{itemize}
\item  la courbe représentative de $g$ passe par le point P de coordonnées $\left(\dfrac{\pi}{2}~;~\sqrt{3}\right)$ ;
\item la tangente à cette courbe en P a pour coefficient directeur $- \dfrac{2}{3}.$
\end{itemize}

\item  Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ :

\[g(x) =  2\cos \left(\dfrac{2}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right).\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre dans $\R$ L'équation $g(x) = 0$.
		\item  Parmi les solutions trouvées à la question précédente, énumérer celle(s) qui appartient (appartiennent) à l'intervalle $[0~;~ 2\pi]$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill }\\

\medskip

 \textbf{Partie A. Étude d'une fonction auxiliaire}\\
On considère la fonction g définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :
\[g(x) = x + 1 + \ln x.\]

\begin{enumerate}
\item  Étudier les variations de $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$;
\item  Démontrer qu'il existe une solution unique $\alpha$ de l'équation $g(x) = 0$ dans l'intervalle [0,1~;~0,5].
\item  Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
\item  Étudier le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B. Étude de la fonction} \boldmath  $f$ \unboldmath\\
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par

\[ f(x) = \dfrac{x \ln x}{x + 1} +2.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to 0}  x \ln x = 0$. Déterminer la limite de $f$ en $0$.
\item  Montrer que, pour tout nombre réel strictement positif $x$ :
\[f(x) = \dfrac{\ln x}{1 + \frac{1}{x}} + 2.\]
En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
\item  Soit $f'$ la dérivée de $f$. Montrer que, pour tout nombre réel strictement positif  $x,~ f'(x) =  \dfrac{g(x)}{(x + 1)^2}$.

\item  Étudier, en utilisant les résultats de la partie A, le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$.
\item  Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.

(On indiquera une valeur approchée de $f(\alpha)$ en prenant $\alpha \approx  0,28$.)
	\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$.	
\item On a tracé ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}'$ de la fonction $h$ définie dans la partie C. Sur le graphique, tracer la tangente T ainsi que 	la courbe $\mathcal{C}$.\\

\bigskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center} 
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(5,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt,griddots=10](0,-1)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(5,4)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.02}{5}{x ln x 1 add div neg}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

(Ce graphique n'est pas à l'échelle.)

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C. Aire comprise entre deux courbes}

\medskip

On considère dans cette partie la fonction h définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : 

	\[h(x) = - \dfrac{\ln x}{x + 1}.\]
	
\begin{enumerate}
\item  On pose, pour tout nombre réel strictement positif $x$ : 	$u(x) = f(x) - h(x)$.

Montrer que $u(x) = \ln x + 2$.
	
\item	Montrer que la fonction $U$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :

\[U(x) = x \ln x  + x\]

est une primitive de la fonction $u$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $u(x)$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
		\item En déduire les positions relatives des courbes $\mathcal{C}$  et $\mathcal{C}'$ sur l'intervalle [1~;~2].
 	\end{enumerate}
\item  Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ compris entre les courbes $\mathcal{C}$  et $\mathcal{C}'$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$.
\item  Déterminer alors l'aire exacte du domaine $\mathcal{D}$ en unités d'aire, puis en cm$^2$. Donner une valeur approchée de cette aire au mm$^2$ près.
\end{enumerate}
\end{document}