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%%%%%%Tapuscrit Denis Vergès 
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Nouvelle-Calédonie STI novembre
 2009~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil}}

\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 1~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d' argument $\dfrac{\pi}{2}$· 

Soit $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par :

\[P(z) = z^3 + 2z^2 - 16.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Résolution de l'équation $P(z) = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(2)$ et déterminer deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que 
		
$P(z) = (z - 2)\left(z^2 + \alpha z + \beta \right)$. 
		\item Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation 
		
$P(z) = 0$.
	\end{enumerate} 
On désigne par A, B, et C les points d'affixes respectives :

$a = 2~;~ b = -2 - 2\text{i}~ ;~ c = 4\text{i}$.  
\item Étude du triangle ABC 
	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points A, B, et C dans le repère \Ouv. 
		\item  Calculer les modules des nombres complexes $b - a,~ c - a$ et $c - b$· 
		\item  Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle en A. 
		\item  Déterminer l'affixe $d$ du point D tel que le quadrilatère ABDC soit un carré. 
	\end{enumerate}
\item On note $\Omega$ le point du plan d'affixe $\omega = \sqrt{2} \text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{4}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'écriture algébrique de $\omega$ et placer le point $\Omega$ dans le repère \Ouv. 
		\item Démontrer que les points A,  B, C, et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le  rayon.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
- 
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On note $\left(x_{n}\right)$ la suite arithmétique de premier terme $x_{0} = 10$ et de raison $r$.
 
Sachant que $x_{0} + x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 100$, déterminer $r$ et en déduire les valeurs de $x_{1},~ x_{2},~x_{3}$  et $x_{4}$. 
\item  Un sac contient 100 boules indiscernables au toucher. Sur chacune de ces boules est inscrit l'un des numéros 0, 1, 2, 3 ou 4. Le nombre de boules portant chaque numéro est indiqué dans le tableau ci-dessous : 
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
Numéro de la boule& 0 &1 &2 &3 &4 \\ \hline%
Nombre de boules portant ce numéro& 10 &15 &20 &25 &30 \\ \hline%

\end{tabularx}

\medskip 

Un joueur tire au hasard une boule dans le sac, et on admet que les tirages sont équiprobables.

Pour chaque entier $n$ compris entre 0 et 4, on note $P_{n}$ la probabilité que le joueur tire une boule  portant le numéro $n$.
 
Déterminer les valeurs des nombres $P_{0},~P_{1},~P_{2},~P_{3}$ et $P_{4}$· 
\item  On convient de la règle du jeu suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si le numéro $n$ de la boule tirée est impair, le joueur perd $n$ euros (son gain est donc égal à $- n$ euros) ; 
\item[$\bullet~$] si le numéro $n$ de la boule tirée est pair, le joueur gagne $n$ euros (son gain est donc égal à +$n$ euros) .
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage d'une boule associe le gain du joueur.

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs possibles de la variable aléatoire $X$. 
		\item Justifier que la probabilité de l'évènement $(X = 2)$ est égale à $0,2$. 
		\item Donner, dans un tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ puis déterminer son espérance mathématique E($X$). 
		\item On modifie la règle du jeu de façon à ce que les numéros pairs soient perdants (le gain est égal à $-n$ euros) et les impairs gagnants (le gain est égal à $+n$  euros). 
		
Calculer, selon cette nouvelle règle, l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y$ associée au gain du joueur. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A : résolution d'une équation différentielle} 

\medskip
 
Dans cette partie, on se propose de déterminer une solution particulière de l'équation différentielle 

\[\left(E_{1}\right) :\quad  y'+ 2y = x \]

où $y$ désigne une fonction numérique de la variable $x$, définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $\left(E_{2}\right) :\quad  y'+ 2y = 0$. 
\item Vérifier que la fonction $u$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels, par $u(x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}$, est une 
solution de l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$. 
\item On admet que toute solution $\varphi$ de l'équation $\left(E_{1}\right)$ est de la forme $\varphi(x) = u(x) + C\text{e}^{-2x}$ où $C$ est un nombre réel quelconque et $u$ la fonction définie à la question 2. 
 
Déterminer la solution $\varphi_{0}$ de l'équation $\left(E_{1}\right)$ telle que : $\varphi_{0}(0) = \dfrac{3}{4}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie B : étude d'une fonction}

medskip

On note $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :

\[f(x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} + \text{e}^{-2x}.\] 

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij, d'unités 4~cm en abscisses et 10~cm en ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Étude des limites de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$·  
		\item  Justifier que $f(x) = \text{e}^{-2x}\left(\dfrac{1}{2}x\text{e}^{2x} - \dfrac{1}{4}\text{e}^{2x} + 1\right)$ et en déduire la limite de $f$ en $- \infty$. 
		\item  Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$, et préciser la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate} 
\item Étude des variations de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'expression de la dérivée $f'$ de la fonction $f$· 
		\item Résoudre l'inéquation $\text{e}^{-2x} \leqslant \dfrac{1}{4}$  et en déduire le tableau des variations de la fonction $f$. 
		\item Déterminer l'équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$. 
		\item Montrer que l'équation $f(x) = \dfrac{1}{2}$ possède une unique solution sur l'intervalle [1~;~2]. Justifier avec précision et donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de cette solution.
	\end{enumerate} 
\item Tracer, dans le repère \Oij, les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{T}$, puis tracer la courbe $\mathcal{C}$ 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie C : Calcul d'une aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Soit $m$ un nombre réel strictement supérieur à $\ln 2$. On note $\mathcal{A}(m)$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$ et les droites d'équations $x = \ln 2$ et $x = m$.

Déterminer $\mathcal{A}(m)$ en fonction de $m$. 
\item Calculer la limite de $\mathcal{A}(m)$ lorsque $m$ tend vers $+ \infty$· 
\end{enumerate}
\end{document}