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%Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, civil}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI décembre
 2006 Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[5pt]Génie Mécanique - Génie énergétique - Génie Civil}}

\end{center}

\emph{Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que  le sujet. Une feuille de papier millimétré sera mise \`a la disposition des candidats.}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}
 
\medskip

On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\frac{\pi}{2}$.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, 	unité graphique : $2$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résolution d'une équation. 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre , dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation
\[(z - 4 \text{i})\left(z^2 - 4z  + 8\right) = 0 .\]
		\item   Déterminer l'écriture de chacune des solutions sous la forme exponentielle $\rho \text{e}^{\text{i}\theta}$ où  $\rho$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel.
	\end{enumerate}
\item   Soient A, B et C les points d'affixes respectives  $a = 2 - 2 \text{i},\: b = 2 + 2 \text{i}$ et $c = 4 \text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv.
		\item Placer le milieu M du segment [BC] et calculer son affixe $m$ sous la forme algébrique.
	\end{enumerate}
\item On désigne par B$'$,  C$'$ et M$'$ les points  d'affixes respectives $b' = \dfrac{16}{b},\: c' = \dfrac{16}{c}$ et $m' = \dfrac{16}{m}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer  la forme algébrique de chacun des nombres complexes 
$b'$ et  $c'$.

On admettra que $m' = \dfrac{8}{5} - \dfrac{24}{5} \text{i}$.
		\item Placer les points B$'$,  C$'$  et M$'$ sur la figure.
\end{enumerate}
\item  Quelques configurations géométriques. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les modules des nombres complexes  $b' -a,~ c' - a$  et $m' - a$. 
		\item En déduire que les points B$'$, C$'$  et M$'$  appartiennent à un même cercle $\mathcal{C}$ de centre A
		\item Tracer le cercle $\mathcal{C}$ sur la figure et démontrer  que le point O appartient au cercle $\mathcal{C}$.
		\item Démontrer que le triangle isocèle AB$'$C$'$ est rectangle en A.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\vspace{0.5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 3 points}
 
Le dispositif de la figure A  ci-dessous est constitué d'une cuve reliée à un récipient par un tuyau muni d'une vanne.

Cette vanne étant fermée, on remplit d'eau la cuve (figure A).  On ouvre ensuite la vanne et l'eau passe  dans le récipient d'où elle s'écoule en pluie fine par le fond percé d'une multitude du petits orifices comme l'indique la figure B ci-dessous.
\medskip
\begin{tabular}{c c}
\psset{unit=0.75cm}\begin{pspicture}(0,-1.5)(6,4)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,0.4)(2,2.5) \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1,0.4)(1,0.4)\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1,2.5)(1,0.4) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,0.4)(4,0.7)
\psellipse(5,0.4)(1,0.4) \psline(4,0.4)(4,1.3) \psline(6,0.4)(6,1.3)  \psellipse(5,1.3)(1,0.4)\rput(5,1.9){Récipient} \rput(3,1){Vanne fermée}\rput(1,3.2){Cuve}\rput(3,-1.5){Figure A}	 \end{pspicture}
&
\begin{pspicture}(0,-1.5)(6,4)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,0.4)(2,2.5) \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1,0.4)(1,0.4)\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1,2.5)(1,0.4) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,0.4)(4,0.7)
 \psline(4,0.4)(4,1.3)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](4,0.4)(6,0.8) \psline(6,0.4)(6,1.3) \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](5,0.4)(1,0.4)\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray](5,0.8)(1,0.4) \psellipse(5,1.3)(1,0.4) \rput(5,1.9){Récipient}\rput(3,1){Vanne ouverte}\rput(1,3.2){Cuve} \psline(6,0.4)(6.3,0.4) \psline(6,0.8)(6.3,0.8)
 \psline{<->}(6.3,0.4)(6.3,0.8)\rput(6.7,0.6){$h(t)$}\multido{\n=4.0+0.1}{20}{\psline(\n,-0.1)(\n,-0.2)}
\multido{\n=4.0+0.1}{20}{\psline(\n,-0.3)(\n,-0.4)}\multido{\n=4.0+0.1}{20}{\psline(\n,-0.5)(\n,-0.6)}
\multido{\n=4.0+0.1}{20}{\psline(\n,-0.7)(\n,-0.8)}\multido{\n=4.0+0.1}{20}{\psline(\n,-0.9)(\n,-1)} 
\psline(4,0)(4,0.1)\psline(4.1,0)(4.1,0.1) \psline(4.2,0)(4.2,0.1) \psline(4.3,0)(4.3,0.1)\psline(5.6,0)(5.6,0.1)\psline(5.7,0)(5.7,0.1)\psline(5.8,0)(5.8,0.1)
\psline(5.9,0)(5.9,0.1) \psline(4,0.2)(4,0.3)\psline(5.9,0.2)(5.9,0.3)\rput(3,-1.5){Figure B}	     \end{pspicture}\\
\end{tabular}

On considère alors la fonction  $h$ qui  à tout instant $t$ exprimé en minutes, fait correspondre la hauteur d'eau $h(t)$, exprimée en mètres,  dans le récipient. On choisit l'instant où l'on ouvre la vanne  comme origine des temps et, à cet instant $t = 0$, la hauteur d'eau  dans le récipient est nulle.

On admet  que la fonction $h$ est  définie et  dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et qu'elle  vérifie, pour
tout nombre réel $t$ de cet intervalle,  la relation 

\[h'(t) + 2h(t) =  \dfrac{1}{2}\text{e}^{-t}\]

où $h'$  désigne la dérivée de la fonction $h$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \\$g(t) = h(t) - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-t}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que $g$ est une solution de l'équation différentielle 
		
(E) $y' + 2y = 0$.
		\item  Résoudre l'équation  différentielle  (E). 
		\item  Utiliser les résultats  précédents et  la condition  initiale $h(0) = 0$ pour démontrer que, pour tout $t$ appartenant à $[0~;~+ \infty[~ :~   h(t) = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{-t} - \text{e}^{-2t}\right)$.
	\end{enumerate}
\item  Étude des variations de $h$ 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $h$ en $+ \infty$ 
		\item  Calculer $h'(t)$ et démontrer que  pour tout réel $t$  appartenant à $[0~;~+ \infty[,~ h'(t)$ a même signe que $2\text{e}^{-t} - 1$. 
		\item  Étudier le signe de  $2\text{e}^{-t} - 1$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $h$. Calculer $h(\ln 2)$.
	\end{enumerate}
\item  En déduire la hauteur minimale en millimètres que doit avoir  le récipient pour que  l'eau s'en écoule entièrement par le fond, c'est-à-dire sans  déborder du récipient, lorsque la vanne reste ouverte. 
 \end{enumerate}
 
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points}
 
\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :

\[ f(x) = 4 - \ln 2 - \dfrac{1}{4}x^2  + \dfrac{1}{2}\ln x\]

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On désigne par $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de  $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan d'unité graphique $2$~cm.
 
\bigskip

\textbf{Partie A  : étude de la fonction} \boldmath  $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Étude des limites.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ et en déduire que la courbe 
$\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote dont on précisera une équation.
		\item Vérifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$ on a :

\[f(x) = 4 - \ln  2 - x\left(\dfrac{1}{4}x - \dfrac{1}{2}\dfrac{\ln x}{x}\right) \quad \text{ et en déduire}~ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x).\]
	\end{enumerate}
\item Étude du signe de $f$ sur un intervalle
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = \dfrac{1 - x^2}{2x}$.
		\item  Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
		\item  Calculer $f(4)$ et en déduire que la fonction $f$ est positive ou nulle sur l'intervalle [1~;~4].
	\end{enumerate}
\item  On désigne par A et B les points de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ d'abscisses respectives $1$ et $4$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ en B. 
		\item Tracer les tangentes à $\mathcal{C}_{f}$ aux points A et B puis $\mathcal{C}_{f}$ dans le repère \Oij.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
\medskip

On admet que, compte tenu de l'unité graphique utilisée, la longueur $L$, exprimée en cm, de l'arc
$\widearc{\text{AB}}$ de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ est donnée par l'intégrale suivante :

\[L = \displaystyle\int_{1}^4 2\sqrt{1 + [f'(x)]^2} \,\text{d}x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel  $x > 0$ on a :  $1 + [f'(x)]^2 =\left(\dfrac{1}{2x} + \dfrac{x}{2}\right)^2$.
\item  Calculer la valeur exacte de la longueur en cm de l'arc $\widearc{\text{AB}}$ de la courbe $\mathcal{C}_{f}$, puis en donner un valeur approchée arrondie au mm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}
 
\medskip
 
On considère la région $\mathcal{A}$ du plan délimitée par la droite d'équation $x = 1$, l'axe des abscisses et l'arc $\widearc{\text{AB}}$ de la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
\begin{enumerate}
\item  On considère la fonction $G$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $G(x) = x\ln x - x$.

Démontrer que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $x \mapsto \ln x$  sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\item  Calculer, en cm$^2$, la valeur exacte de l'aire de $\mathcal{A}$ (On utilisera le résultat de 2 c de la partie A), puis en donner une valeur approchée arrondie au mm$^2$.
\end{enumerate}
\end{document}