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%Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small STI génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

 {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Nouvelle-Calédonie novembre
 2008~\decofourright\\[5pt]Génie Mécanique - Génie Énergétique - Génie Civil}}

\end{center}

\emph{Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que  le sujet. Des  feuilles de papier millimétré seront  mises à la disposition des candidats.}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté un repère orthonormal direct \Ouv. 

L'unité graphique est 2~cm.

On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On note $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par :

\[P(z) = 4z^4 - 7z^3  + 11z^2 + 10z -12.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résolution de l'équation $P(z) = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les deux nombres réels $\alpha$  et $\beta$ tels que pour tout nombre complexe $z$ :
		
		\[P(z) =  \left(z^2 - 2z + 4\right)\left(4z^2 + \alpha z + \beta \right).\]
		
		\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item On considère les points A, B, C, D d'affixes respectives :
		
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}		
$a = -1$,& $b = 1+\text{i}\sqrt{3}$,& $c = 1-\text{i}\sqrt{3}$,& $d = \dfrac{3}{4}$.\\
\end{tabularx}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $b$ et $c$.
		\item 	Placer les points A, B, C et D dans le repère \Ouv.
		\item 	Démontrer que les points A, B et C sont situés sur un cercle $\mathcal{C}$ de centre D dont on précisera le rayon $r$. Construire ce cercle.
		\item 	Déterminer les affixes $e$ et $f$ des deux points E et F situés sur $\mathcal{C}$ et tels que les triangles ABE et ABF soient rectangles, respectivement en B et en A. Placer les points E et F sur le cercle $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
		
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip

À l'instant $t =  0$, une bille est lâchée à la surface d'une colonne de liquide.

On note $v(t)$ la vitesse instantanée de cette bille, exprimée en $m.s^{-1}$, à un instant $t$ donné. 
 
On admet que la fonction $v$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ et qu'elle est solution de l'équation différentielle
 
 \[(\text{E})\:\::\quad  y' + 140y =  5,88.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle (H)~~: $\quad  z' + 140z = 0$, où $z$ désigne une fonction inconnue de la variable $t$, dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

\item  On pose, pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[,$

$y(t) =  z(t) + 0,042$, où la fonction $z$ est une solution de l'équation différentielle (H). 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la fonction $y$ est une solution de l'équation différentielle (E). 
		\item  Parmi les fonctions $y$ précédentes, démontrer que celle, notée $v,$ qui s'annule pour $t = 0$, est définie par : $v(t) = 0,042\left(1 - \text{e}^{- 140t}\right)$.
	\end{enumerate}
		
\item  Deux utilisations de l'expression trouvée de $v(t)$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer, en étudiant la limite de $v(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$, que la vitesse de la bille admet une valeur limite notée $\ell$ dont on donnera la valeur numérique. 
		\item  À quel instant $t$ la bille atteint-elle 95\,\% de sa vitesse limite ?
\end{enumerate}
	\end{enumerate} 
	
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}	

\medskip

Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal \Oij. (L'unité graphique est 4~cm.)

Le but du problème est l'étude de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x +1}{\text{e}^x + x}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan $\mathcal{P}$.

\medskip

\textbf{I -   Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : 

\[g(x) = \text{e}^x(x - 2) - 1.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.

\item Étude des variations de $g$ 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ et étudier son signe sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
		\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
	\end{enumerate}
\item Résolution de l'équation $g(x) = 0$ 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que l'équation $g(x) =  0$ possède une unique solution, notée $\alpha$, appartenant à l'intervalle [1~;~3].
		\item  Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{II -  Étude de la fonction} \boldmath  $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Étude de la limite en $+ \infty$.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$,
		
\[f(x) = \dfrac{1+ \text{e}^{-x}}{1 + x\text{e}^{-x}}.\]

		\item  En déduire la limite de $f$ en $+\infty$ et interpréter graphiquement cette limite.
	\end{enumerate}
\item Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 1$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

\item Étude des variations de $f$
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[,~f'(x) = \dfrac{g(x)}{\left(\text{e}^x + x \right)^2}$  où $g$ est la fonction définie en 1.
		\item Déduire de la question I. 4., le sens de variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
	\end{enumerate}
\item Construire la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}
		
\medskip
		
\textbf{III -  Calcul d'aire}

\medskip
 
On note $\mathcal{B}$ l'aire, exprimée en cm$^2$ du domaine limitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Hachurer sur le graphique le domaine  $\mathcal{B}$.
\item  Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
\item  En déduire la valeur exacte de $\mathcal{B}$, puis une valeur approchée arrondie au mm$^2$.
\end{enumerate}
\end{document}