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%Tapuscrit : Jean-Yves Le Goff Lycée Garnier Nouvelle-Calédonie
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électrique, électronique}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI novembre
 2005~\decofourright\\[5pt]Génie électrique Nouvelle Calédonie}}
\end{center}

\emph{Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même
  temps que le sujet.}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

Soit $\mathrm{i}$ le nombre complexe de module $1$ et d'argument
$\dfrac{\pi}{2}$. Pour tout nombre complexe $z$, on pose
$P(z)=2z^3 - 10z^2+21z - 18$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(2)$, puis déterminer les réels $a, b$ et  $c$ tels que
  pour tout nombre complexe $z$ on ait $P(z)=(z - 2)\left(az^2 + bz + c\right)$.
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation
  \mbox{$2z^2 - 6z + 9 = 0$}, puis en déduire les solutions de l'équation $P(z)=0$.
\item Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique  $2$ cm).

On considère les points $A$ et $B$, d'affixes respectives
  $z_A = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} \mathrm{i}$ et $z_B =
  \overline{z_A}$, ainsi que les points $C$ et $D$ d'affixes
  respectives $z_C$ et $z_D$ telles que $z_C=-z_A$ et
  $z_D=\mathrm{i}z_A$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire les nombres complexes $z_C$ et $z_D$ sous forme  algébrique.
		\item Sur la copie, placer les points $A, B, C,$ et $D$ dans le repère  \Ouv.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip

Une entreprise fabrique quatre type de pièces notées $P_1, P_2, P_3$ et $P_4$ et possède trois machines $A, B$ et $C$ pour procéder à leur conception.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] La fabrication de la pièce $P_1$ nécessite l'utilisation de chacune des machines $A$ et $B$.
\item[$\bullet~$] La fabrication de la pièce $P_2$ nécessite l'utilisation de
chacune des machines $B$ et $C$.
\item[$\bullet~$] La fabrication de la pièce $P_3$ nécessite l'utilisation de
chacune des machines $A$ et $C$.
\item[$\bullet~$] La fabrication de la pièce $P_4$ nécessite l'utilisation de
chacune des trois machines $A, B$ et $C$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On considère un échantillon de \np{2000} pièces où il y a $700$~pièces
de type $P_1$, \np{1000}~pièces de type $P_2$, $200$~pièces de type $P_3$ et $100$~pièces de type $P_4$.

On choisit au hasard une pièce dans l'échantillon. Il y a
équiprobabilité des choix.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité des événements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item \og la pièce choisie est de type $P_1$ \fg.
		\item \og la fabrication de la pièce choisie a nécessité l'utilisation
  de la machine~$B$ \fg.
	\end{enumerate}
\item  Pour produire une pièce, l'utilisation de la machine $A$ coûte
  $5$~\euro, celle de la machine $B$ coûte $4$~\euro{}  et celle de la
  machine $C$ coûte $2$~\euro. On appelle $X$ la variable aléatoire
  qui, à chaque pièce choisie dans l'échantillon, associe son coût de
  réalisation. Ainsi la réalisation de la pièce $P_1$ coûte $9$~\euro.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le coût de réalisation de  chacune des pièces $P_2,
  P_3$ et $P_4$.
		\item Donner, sous forme d'un tableau, la loi de probabilité de la
  variable aléatoire $X$.
		\item Quel est le coût moyen de fabrication d'une pièce dans
  l'échantillon ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème }\hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+
\infty[$ par : 

\[g(x)= x - 2 + \dfrac{1}{x}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $g$ aux bornes de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item Calculer la dérivée $g'$ de la fonction $g$ et étudier le signe
  de $g'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty [$.
\item Construire le tableau de variations de la fonction $g$.
\item Déterminer, en justifiant votre réponse, le signe de la fonction
  $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $] 0 ~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = x^2 - 4x - 1 + 2\ln x.\]

On appelle $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$
dans un plan muni d'un repère orthonormal \Oij{}  d'unité graphique $1$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. Interpréter
  graphiquement ce résultat.
\item En remarquant que $f(x)$ peut s'écrire $f(x)=x^2 \left( 1 -
    \dfrac{4}{x} - \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{2\ln x}{x^2} \right)$,
    déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
\item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[$, on
  a $f'(x) = 2g(x)$ (donner le détail des calculs).
\item étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son
  tableau de variations sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique
  notée $\alpha$ dans l'intervalle $[3~ ;~ 4]$.
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser $f'(1)$ et la tangente $T$ à la courbe $\mathscr{C}$
  au point d'abscisse $1$.
		\item Représenter graphiquement la tangente $T$ et la courbe
  $\mathscr{C}$ dans le repère \Oij.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[H(x) = x \ln x - x.\]
  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $H$ est une primitive de la fonction
  logarithme népérien sur l'intervalle $] 0~;~ + \infty[$.
		\item En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur
  l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item  Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[1 ; 3]$ :
  donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie au centième. 
\end{enumerate}
\end{document}