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\begin{document}
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\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie civil, énergétique, mécanique (A et F)}%
\lfoot{\small{Antilles}}
\rfoot{\small{juin 2000}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie juin 2000~\decofourright\\ Génie civil, énergétique, mécanique (A et F) } \end{center}

\vspace{0,5cm}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{}
d'unité graphique $1$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation 

$z^2 - 4z + 16 = 0$.
\item 	Pour tout nombre complexe $z$, on pose $f(z) = z^2 + z\left(5 - \text{i}\sqrt{3}\right) + 4\left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $f(-4) = 0$.
		\item Déterminer les nombres $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe 
		
		$z,~f(z) = (z + 4)(az + b)$.
		\item Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation $f(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item 	Calculer le module de chacun des nombres complexes $- 4$ et $- 1 + \text{i}\sqrt{3}$.
\item 	Soient A, B, C, D les points d'affixes respectives $2 + 2 \text{i}\sqrt{3},~ 2 - 2 \text{i}\sqrt{3},~ - 4,$

	$- 1 + \text{i}\sqrt{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Réaliser une figure et placer les points A, B, C, D.
		\item  Montrer que A, B, C sont sur un même cercle, de centre O.
		\item  Montrer que D est le milieu de [AC].
		\item  Montrer que le triangle ABC est équilatéral.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle E : $9 y'' + 16 y = 0$.
\item  Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation E dont la courbe représentative, dans le plan rapporté à un repère orthonormal, passe par le point A de coordonnées $\left(\frac{\pi}{2}~;~0\right)$ et admet en ce point une tangente de coefficient directeur égal à $- \dfrac{16}{3}.$
\item 	Vérifier que, pour tout réel $x,~ f (x) = 4 \cos\left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que $\dfrac{3\pi}{2}$ est une période pour $f$.
		\item  Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{3\pi}{4}\right]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Les objectifs de ce problème sont l'étude d'une fonction, le tracé 
de sa courbe représentative et le calcul d'une aire associée à cette courbe.

\medskip

\textbf{Partie A - Étude d'une fonction auxiliaire \boldmath $g$ \unboldmath}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]- \infty~;~0]$ par 

\[g(x) = 1 - \text{e}^{2x} - 2x\text{e}^{2x}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier la limite de $g$ en $-\infty$.
\item Étudier le sens de variation de $g$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variations de $g$ (on ne demande pas la représentation graphique de $g$).
		\item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]-\infty~;~0],~ g(x) \geqslant 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B - Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty~;~0]$ par
 
\[f(x) = x + 3 - x\text{e}^{2x}.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item Calculer $f'(x)$ puis, en utilisant la partie A, en déduire le sens de variation de $f$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $D$, d'équation $y = x + 3$, est asymptote à $\mathcal{C}$.
		\item Préciser la position relative de $\mathcal{C}$ et $D$.
	\end{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$, dans l'intervalle $[-5~;~0]$.
En déduire que $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $f(x) = 0$, dans l'intervalle $]- \infty~;~0]$.
		\item  Déterminer un encadrement de $\alpha$, d'amplitude $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\item Tracer $D$ et $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C - Calcul d'une aire}

\medskip

Soit $H$ la fonction définie pour tout $x$ appartenant à $]-\infty~;~ 0]$ par 

\[H(x) = \text{e}(ax + b),\]

où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que $H$ soit une primitive de la fonction qui, à $x$ associe $x\text{e}^{2x}$.
		\item  En déduire une primitive de $f$.
	\end{enumerate}
\item 	Calculer la valeur exacte de l'aire, en cm$^2$, du domaine compris sur le graphique entre la courbe $\mathcal{C}$, la droite $D$ et les droites d'équations respectives $x = - \ln 3$ et $x = 0$, puis en donner la valeur décimale arrondie à $10^{-2}$.
\end{enumerate} 
\end{document}