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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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% Tapuscrit : Denis Vergès
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small STI génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2010}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie  juin 2010~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 2~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit (E) l'équation de la variable complexe $z$:

\[z^2 - 4z + 8 = 0.\]
 
Résoudre l'équation (E) dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes.
 
On considère les points A, B, C, D et K d'affixes respectives : 

\[a = 2 + 2\text{i}, \quad  b = 1 + \text{i}\sqrt{3}, \quad  c =  2 - 2\text{i}, \quad  d = 3 -\text{i}\sqrt{3}~\text{et} ~ k = 2.\]
 
\item Construction du quadrilatère ABCD. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme trigonométrique des nombres complexes $a$ et $b$. 
		\item Démontrer que le point K est le milieu du segment [AC] et le milieu du segment [BD]. 
		\item Placer les points A, C et K, puis construire les points B et D.
	\end{enumerate} 
\item Nature du quadrilatère ABCD. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
		\item Démontrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle.  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

Une urne contient 100 boules. Chacune de ces boules porte l'un des numéros 1,  2, 3, 4 ou 5.

La répartition des boules suivant leur numéro est donnée par le tableau ci-dessous :

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Numéro inscrit sur la boule&1&2&3&4&5\\ \hline
Nombre de boules&15&25&15&35&10\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
Un joueur tire au hasard une boule dans cette urne. On admet que tous les tirages sont équiprobables.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $n$ tel que $1 \leqslant   n \leqslant 5$, on note $p_{n}$ la probabilité de tirer une boule numérotée $n$.
 
Déterminer $p_{1},~p_{2},~p_{3},~p_{4}$ et $p_{5}$.
\item On considère les évènements suivants : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $A$ : \og La boule tirée porte un numéro inférieur ou égal à  3 \fg{ ;}
\item[$\bullet~$] $B$ : \og La boule tirée porte un numéro pair \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Déterminer les probabilités des évènements $A,~B,~ A \cap  B$ et $A \cup B$.
\item Un jeu est défini de la façon suivante : un joueur mise 6~\euro{} puis il tire une boule de l'urne.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si le numéro de la boule est impair il reçoit une somme de 11~\euro{}; 
\item[$\bullet~$] si le numéro de la boule tirée est pair il ne reçoit rien. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le gain (éventuellement négatif) du joueur. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ 
		\item Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire $X$. 
		\item On modifie la règle du jeu, la mise reste identique.
		
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si le numéro de la boule tirée est impair il reçoit la somme de $a$ euros ;
\item[$\bullet~$] si le numéro de la boule tirée est pair il ne reçoit rien.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Déterminer la valeur du nombre $a$ pour que le jeu soit équitable. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{2\ln x}{x} - 2x + 4.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

L'unité graphique est 2~cm sur chacun des axes.

\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
On note  $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[g(x) = 1 - \ln x - x^2\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ (les limites ne sont pas demandées). 
\item Étude du signe de $g$ 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g(1)$. 
		\item En déduire le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude des limites 

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $0$. Que peut-on déduire graphiquement pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $ \infty$.
	\end{enumerate}
	
\item Étude d'une asymptote 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = -2x + 4$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage 
de $+\infty$. 
		\item Déterminer la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}	  
\item On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, puis démontrer 
que : $f'(x) = \dfrac{2g(x)}{x^2}$. 
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
	\end{enumerate}
\item Démontrer qu'il existe une tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ qui est parallèle à la droite $\mathcal{D}$. 
\item Construire dans le repère \Oij{} les droites $\mathcal{T}$ et $\mathcal{D}$, puis la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Calcul d'une aire} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(2)$ et en déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle [1~;~ 2]. 
\item On note $F$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[F(x) = (\ln x)^2 - x^2 + 4x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item On note $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en cm$^2$, du domaine plan compris entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$.

Déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis en donner la valeur arrondie au mm$^2$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}