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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie civil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft ~Baccalauréat STI Polynésie juin 1999~\decofourright\\[4pt]Génie civil, génie mécanique A et F}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

Pour tout nombre complexe $z$ on pose 

\[P(z) = \left(z + 3 - \sqrt{5}\right)\left(z^2 + 8z + 20\right).\]
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z) = 0$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv, (unité graphique : 1~cm), placer les points A, B, C et G d'affixes respectives: 

\[z_{\text{A}} = - 3 + \sqrt{5}\quad ;\quad z_{\text{B}} =-4 - 2\text{i} \quad;\quad z_{\text{C}}= - 4 + 2\text{i}\quad;\quad z_{\text{G}} = - 3.\]
 
		\item Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que : 
		
		\[|z + 3| = \sqrt{5}.\]
		
Construire cet ensemble. 
		\item Démontrer que les points A, B et C appartiennent à cet ensemble. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(7,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-2,-1)(7,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=1](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5.236}{x Pi 3 div sub  RadtoDeg cos 2 add}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psline[linestyle=dashed](5.236,0)(5.236,1.415)\uput[d](5.236,0){$\frac{5\pi}{3}$}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchsep=14pt]{
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5.236}{x Pi 3 div sub  RadtoDeg cos 2 add}
\psline(5.236,0)(0,0)
}
\end{pspicture}
\end{center}
 
$\mathcal{C}_{f}$ est la courbe représentative, dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij, (unité graphique : 1 cm), de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{5\pi}{3}\right]$ par : 

\[f(x) = 2 + \cos \left(x - \dfrac{\pi}{3}\right).\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Démontrer que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses aux points d'abscisses $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{4\pi}{3}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $g$ la fonction définie par $g(x) = [f(x)]^2$. Calculer $g(x)$. 
		\item Démontrer que $\cos ^2 \left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \cos \left(2x - \dfrac{2\pi}{3}\right)$.
		\item Déterminer alors une primitive $G$ de $g$ sur $\left[0~;~\dfrac{5\pi}{3}\right]$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale 
 
\[I = \displaystyle\int_{0}^{\frac{5\pi}{3}} \left[\dfrac{9}{2} + 4 \cos \left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + \dfrac{1}{2} cos \left(2x - \dfrac{2\pi}{3}\right)\right]\:\text{d}x.\] 

\item La valeur exacte, en unités de volume, du volume du solide de révolution engendré par la rotation du domaine plan hachuré autour de l'axe des abscisses est $V = \pi \displaystyle\int_{0}^{\frac{5\pi}{3}} [f(x)]^2\:\text{d}x$. 

Donner la valeur exacte, en cm$^3$, de ce volume, puis sa valeur décimale arrondie à 1 mm$^3$ près par défaut. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij, (unité graphique : 2~cm). 

On note H le point de coordonnées $(\ln 3~;~\ln 3)$. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On désigne par $g$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[g(x) = ax + b - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}.\]
  
\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$. 
\item Déterminer $a$ et $b$ pour que la courbe représentative de la fonction $g$ passe par le point H et admette en ce point une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

On se propose d'étudier la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x + 2 -  \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}.\] 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout réel $x$, on a : $f(x) = x - 2 + \dfrac{12}{\text{e}^x + 3}$.
\item En utilisant l'une des deux écritures de $f(x)$ déterminer les limites de $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. 
\item Démontrer que les droites $\left(D_{1}\right)$ d'équation $y = x - 2$ et $\left(D_{2}\right)$ d'équation $y = x + 2$ sont asymptotes obliques à la courbe $(C)$ représentative de la fonction $f$. 
Préciser la position de $(C)$ par rapport à chacune des droites $\left(D_{1}\right)$ et $\left(D_{2}\right)$. 
\item Calculer $f'(x)$ ; montrer que, pour tout réel $x, f'(x) \geqslant 0$ et en déduire le  tableau de variations de la fonction $f$.
\item Construire les droites $\left(D_{1}\right), \left(D_{2}\right)$ et la courbe $(C)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive de la fonction $h$ définie sur $\R$ par : 

\[h(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}.\]

\item En déduire la primitive de la fonction $f$ qui prend la valeur $2$ pour $x = 0$. 
\end{enumerate}
\end{document}