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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique,  énergétique, civil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie  septembre 2009~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique,  énergétique, civil}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 1~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Soit $(E)$ l'équation d'inconnue complexe $z~:\quad  z^2 - 8z + 41 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes. 
		\item On note $z_{1}$ la solution de l'équation $(E)$ dont la partie imaginaire est positive et on note $z_{3}$ le 
nombre complexe défini par $z_{3} = \dfrac{1}{8}\left(- z_{1}^2 - 25 + 16\text{i}\right)$. Démontrer que $z_{3} = -2 - 3\text{i}$·
	\end{enumerate} 
\item On note A, B, C et K les points du plan d'affixes respectives: $a = 4 + 5\text{i},$

$b = -3 + 4\text{i},~ c = - 2 - 3\text{i}$ et $k = 1 + \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B, C et K dans le repère \Ouv. 
		\item Démontrer que K est le milieu du segment [AC]. 
		\item Calculer $|a - k|$ et $|b - k|$ puis en déduire que les points A, B et C appartiennent à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
	\end{enumerate}
 
\item Soit D le symétrique de B par rapport à K; on note $d$ l'affixe du point D. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $d$ et placer le point D dans le repère \Ouv. 
		\item Démontrer que le quadrilatère ABCD est un carré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

On note $(E)$ l'équation différentielle 

\[y'' + 4y = 0,\]

où $y$ est une fonction numérique définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$. 
\item On note $f$ la solution particulière de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions : 
\[f(0) = 1\quad  \text{et} \quad  f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -2.\]
 
Déterminer l'expression de la fonction $f$. 
\item Démontrer que pour tout nombre réel $x~:\quad  f(x) = 2 \cos \left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$.
\item Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{3}\right]$. 
\end{enumerate} 

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

On considère la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 

\[f(x) = \text{e}^{-2x} +4\text{e}^{-x} + 6x + 1.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 4~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.
 
\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude des limites et recherche d'une asymptote}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item Démontrer que $f(x) = \text{e}^{-x}\left(\text{e}^{-x} + 4 + 6x\text{e}^{x} + \text{e}^{x}\right)$. En déduire la limite de $f$ en $- \infty$. 
\item On note $h$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 

$h(x) =  f(x) - (6x + 1)$.
 
Déterminer la limite de $h$ en $+ \infty$. Que peut-on en déduire ? 
\item Déterminer le signe de $h(x)$ pour tout nombre réel $x$ et en déduire les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 6x + 1$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B : Étude des variations de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la fonction dérivée $f'$ de $f$ est définie pour tout nombre réel $x$ par :
 
\[f'(x) =  -2\left(\text{e}^{-x} + 3\right)\left(\text{e}^{-x} - 1\right).\]
 
\item Résoudre dans l'ensemble $\R$ des nombres réels, l'inéquation $\text{e}^{-x} -1 \geqslant  0$ ; en déduire le signe de $f'(x)$ sur $\R$. 
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. 
\item Construire la droite $\mathcal{D}$ puis la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C : Calcul d'aire}

\medskip  
 
$m$ étant un nombre réel strictement positif, on note $\mathcal{A}(m)$ l'aire, en unités d'aire, comprise entre la droite $\mathcal{D}$, la courbe $\mathcal{C}$, les droites d'équations $x = 0$ et $x = m$. 	

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $\mathcal{A}(m)$ en fonction de $m$.
\item Calculer $\mathcal{A}(1)$. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée arrondie au centième.
\item Résoudre dans l'ensemble $\R$ des nombres réels, l'équation

 $-4\text{e}^{-2x} - 32\text{e}^{-x}  + 17 = 0 \left(\text{on pourra poser}~ 
 X = \text{e}^{-x}\right)$. 
\item Déterminer le réel $m > 0$, tel que $\mathcal{A}(m) = \dfrac{19}{8}$. 
\end{enumerate}
\end{document}