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%% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat Sciences et technologies de l'industrie et du développement durable\\Sciences et technologies de laboratoire\\spécialité sciences physiques et chimiques de laboratoire}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{11 septembre 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Polynésie 11 septembre 2014 STI2D--STL~\decofourright\\[4pt] spécialité SPCL}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip

On considère les nombres complexes $Z_{1}$ et $Z_{2}$ : 

\[Z_{1} = \dfrac{3\sqrt{2}}{1 + \text{i}}\quad \text{et}\quad Z_{2} = \dfrac{4\text{i}}{1 + \text{i}\sqrt{3}}.\]

\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item Écrire les nombres $Z_{1}$ et $Z_{2}$ sous forme algébrique et trigonométrique. 
\item Placer les points A$_{1}$ et A$_{2}$ d'affixes respectives $Z_{1}$ et $Z_{2}$ dans le repère donné en annexe. 
\item Calculer sous forme algébrique le produit $Z_{1} \times Z_{2}$ et donner sa forme trigonométrique. 
\item En déduire les valeurs exactes de $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}

\medskip 
Une entreprise informatique a réalisé en 2013 un bénéfice de \np{22000}~\euro. La direction de cette entreprise se fixe pour objectif une hausse annuelle de son bénéfice de 4,5\,\%. 

Pour tout entier naturel $n$, on note $b_{n}$ le bénéfice prévu pour l'année $2013 + n$, on a donc $b_{0} = \np{22000}$.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les bénéfices $b_{1}$ et $b_{2}$ espérés pour 2014 et 2015. 
\item Montrer que $\left(b_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera les éléments caractéristiques. 
\item Exprimer alors $b_{n}$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.36\linewidth}{|X|}\hline 
$N$ prend la valeur 0\\ 
$B$ prend la valeur \np{22000}\\ 
Tant que $B \leqslant \np{40000}$\\ 
\hspace{0,5cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\
\hspace{0,5cm}$B$ prend la valeur $1,045 * B$\\
Fin Tant que\\ 
$A$ prend la valeur $N + 2013$\\
Afficher $A$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Expliquer à quoi correspondent les variables N et B. 
\item Exécuter cet algorithme et donner le dernier résultat affiché. 
\item Expliquer à quoi correspond cette valeur. 
\item La direction souhaite savoir à partir de quelle année le bénéfice de l'entreprise sera supérieur à \np{40000}~\euro. 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation suivante: 

\[\np{22000} \times 1,045^x > \np{40000}.\]
 
		\item Quel lien existe-t-il entre le résultat de la question 2. de la partie B et l'ensemble des solutions de l'inéquation précédente ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  6 points}

\medskip
 
Lorsque l'on consomme de l'alcool, le taux d'alcool dans le sang varie en fonction du temps écoulé depuis l'absorption. Ce taux est appelé \og alcoolémie \fg{} et est mesuré en grammes par litre (g/L).

Après l'absorption de trois verres d'alcool, l'alcoolémie d'une personne donnée, en fonction du temps (exprimé en heures), est modélisée par la fonction définie sur $\R_{+}$ par :

\[ f(t) = 2,5t\text{e}^{- t}.\]
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de l'alcoolémie de la personne considérée au bout de 2 heures. 
\item Montrer que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,\: $f'(t) = 2,5(1 - t)\text{e}^{- t}$. 
\item Vérifier que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle :
 
\[(E) :\qquad  y' + y = 2,5\text{e}^{- t}.\]
 
\item En remarquant que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ on a $f(t) = \dfrac{2,5t}{\text{e}^{t}}$, déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f(t)$ et donner une interprétation géométrique de cette limite. 
\item Déterminer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
\item Quelle est l'alcoolémie la plus élevée pour la personne considérée ? 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sur une feuille de papier millimétré, tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On prendra 2~cm pour unité sur l'axe des abscisses et 10 cm pour unité sur l'axe des ordonnées. 
\item En France, la législation autorise pour un conducteur une alcoolémie maximale de 0,5~g/L.
 
Sachant que la personne a absorbé trois verres d'alcool à 12~h, à partir de quelle heure pourra-t-elle reprendre la route pour effectuer sans s'arrêter un trajet d'une durée d'une heure ?
 
On utilisera la représentation graphique de la fonction $f$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  4 points}

\medskip

\textbf{Partie A} Loi exponentielle et radioactivité

\medskip
 
On modélise la durée de vie $T$ (exprimée en jours) d'un élément radioactif par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. On rappelle que pour tout $t > 0,\: P(T \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t  \lambda\text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$. 

Le Thorium 227 a une demi-vie de 18 jours, ce qui signifie que :
 
\[P(T \geqslant 18) = P(T \leqslant 18) = 0,5.\]

\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout 
$t > 0,\: P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{-\lambda t}$. 
\item Calculer la valeur du paramètre $\lambda$ pour le Thorium 227. 

On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$. 
\item On suppose que $\lambda = 0,04$.
 
Donner alors la durée de vie moyenne d'un atome de Thorium 227.
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie B} Loi normale et usinage

\medskip
 
Une entreprise fabrique en grande quantité des pièces tubulaires destinées à l'industrie aérospatiale. Le diamètre (exprimé en centimètres) d'une de ces pièces est modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $3,65$ et d'écart type $0,004$.
 
\emph{Les résultats seront donnés à $10^{-3}$ près}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Une pièce est décrétée conforme lorsque son diamètre en centimètres est compris entre $3,645$ et $3,655$.
 
Calculer la probabilité qu'une pièce tubulaire de la production soit décrétée conforme. 
\item Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la chaîne de production, on admet que la proportion $p$ de pièces conformes est 79\,\%. On rappelle que l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence de pièces conformes sur un échantillon de taille $n$ est 

\[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right].\] 

On contrôle régulièrement la chaîne de production en prélevant des échantillons de $100$~pièces. 

Lors d'un contrôle, on trouve 25 pièces défectueuses. Le responsable qualité doit-il prendre la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production ?
 
Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE à rendre avec la copie}
\vspace{2cm}
 
\textbf{Exercice 1}

\bigskip

\psset{unit=0.66cm}
\begin{pspicture*}(-10,-9)(8.5,8.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-9.9,-9)(8.5,8.5)
\psline(10;210)(10;30)
\psline(10;240)(10;60)
\psline(10;225)(10;45)
\psline(10;-30)(10;150)
\psline(10;-45)(10;135)
\psline(10;-60)(10;1200)
\pscircle(0,0){2} 
\pscircle(0,0){3}
\pscircle(0,0){4}
\pscircle(0,0){5}
\pscircle(0,0){6}
\end{pspicture*}
\end{center} 
\end{document}