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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~
\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil }
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI  La Réunion juin 2002~ \decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Une feuille de  papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter  les deux exercices et le problème. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $z^2 - 4z + 
8 = 0$. On notera $z_1$ et $z_2$ les solutions de cette équation.
\item Déterminer le module et un argument de $z_1$ et $z_2$.
\item Dans le plan complexe rapporté â un repère orthonormal \Oij{} 
d'unité graphique $1$~cm, on considère les points A, B, C et D d'affixes 
respectives :

\[z_{\text{A}} = 2 + 2\text{i},~\quad z_{\text{B}} = 2 - 2\text{i},~\quad 
z_{\text{C}} =  2 + 2\sqrt{3} ~\text{et}~z_{\text{D}} = 2 + 2\sqrt{3} + 
4\text{i}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Placer dans le plan complexe les points A, B, C et D.
		\item Calculer les longueurs AB, AC et BC. Quelle est la nature du 
triangle ABC ?
		\item Calculer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et 
$\overrightarrow{\text{DC}}$.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Une roue de loterie est partagée en $20$ secteurs identiques :

\begin{itemize}
\item  1 secteur porte la marque \og 100 \euro~ \fg{} ;
\item  2 secteurs portent la marque \og 50 \euro~\fg{} ;
\item  3 secteurs portent la marque \og 20 \euro~\fg{} ;
\item  6 secteurs portent la marque \og 10 \euro~\fg{} ;
\item  8 secteurs portent la marque \og 0 \euro~ \fg.
\end{itemize}

Après avoir misé 10 euros, un joueur fait tourner la roue devant un  repère fixe. Chaque secteur a la même probabilité de s'arrêter devant  le repère. Le joueur touche la somme indiquée par le secteur se trouvant devant le repère.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On appelle $X$ la variable aléatoire donnant le gain effectif du joueur ; exemple : si un secteur \og 50~\euro~ \fg{} est devant le repère, le gain effectif est de 40 euros en tenant compte de la mise. Une perte est un gain négatif.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'ensemble des valeurs prises par $X$.
		\item Donner la loi de probabilité de $X$ à l'aide d'un tableau.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\item L'organisateur de la loterie souhaite que le jeu lui soit 
favorable.
	
Il construit une nouvelle roue avec $n$ secteurs identiques ($n > 12$). 
Cette roue comporte un secteur \og 100 \euro~ \fg{}, 2 secteurs \og 50~\euro~ \fg, 3 secteurs \og 20~\euro~ \fg, 6 secteurs \og 10~\euro \fg{} et $n - 12$
secteurs \og 0~\euro~ \fg. 

Le jeu se déroule de la même manière que précédemment : le joueur mise $10$~euros et $X$ désigne à nouveau le gain effectif.

\medskip

	\begin{enumerate} 
		\item Donner la nouvelle loi de probabilité de $X$ en fonction de $n$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que le jeu soit 
favorable à l'organisateur, c'est-à-dire tel que l'espérance mathématique de $X$ soit inférieure ou égale à $0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip

Le but du problème est la recherche des solutions de l'équation :

\[\text{e}^{x + 1} - \dfrac{2x}{x - 1} = 0.\]

Soit $u$ la fonction définie sur $]-\infty~;~+ \infty[$ par 
$u(x) = \text{e}^{x + 1}$ et soit $v$ la fonction définie sur $]- \infty~;~1[
\cup ]1~;~+ \infty[$ par $v(x) =  \dfrac{2x}{x - 1}$.

On désigne par $\left(\mathcal{C}_u\right)$ et $\left(\mathcal{C}_v\right)$ leurs courbes  représentatives dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unités  graphiques : $2$~cm sur l'axe des abscisses, $1$~cm sur l'axe des ordonnées).

\bigskip

\textbf{Partie A - étude des fonctions\boldmath $u$ \unboldmath  \textbf{et} \boldmath $v$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item étudier la limite de $u$ en $+ \infty$ et la limite de $u$ en $- 
\infty$.

En déduire que ($\mathcal{C}_u$) admet une asymptote que l'on précisera.
		\item étudier le sens de variations de $u$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer : $\displaystyle\lim_{\begin{subarray}{l}x \to 1
\\ x > 1
\end{subarray}} v(x),~\displaystyle\lim_{\begin{subarray}{l}x \to 1 \\ x < 1\end{subarray}} v(x),~ 
\displaystyle\lim_{x \to - \infty} v(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}
v(x)$.

En déduire que ($\mathcal{C}_v$) admet deux asymptotes que l'on précisera.
		\item étudier le sens de variation de $v$. Dresser son tableau de 
variations.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Construire les courbes ($\mathcal{C}_u$) et ($\mathcal{C}_v$) sur le même graphique.
		\item En déduire graphiquement le nombre de solutions de l'équation\\ 
\mbox{$\text{e}^{x + 1} - \dfrac{2x}{x - 1} = 0$}.

Donner graphiquement une valeur approchée de chacune des solutions.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Résolution de l'équation}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~1[ \cup ]1~;~+ \infty[$ par

\[f(x) =  \text{e}^{x + 1} - \dfrac{2x}{x - 1}.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x),~\displaystyle\lim_{x \to - \infty},~ \displaystyle\lim_{\begin{subarray}{l}x \to 1 \\ x < 
1\\
\end{subarray}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{\begin{subarray}{l}x \to 1 \\ x > 1\\
\end{subarray}} f(x)$.

Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variations.
		\item Calculer $f(-1)$.
	\end{enumerate}
\item On se place à présent sur l'intervalle $]1~;~ + \infty[$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ a une unique solution $\alpha$ sur cet  intervalle.

Calculer $f(1,2)$, puis $f(1,3)$. En déduire un encadrement de la solution $\alpha$.
		\item Calculera $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Calcul d'aire}

\medskip

On considère toujours la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~1[ 
\cup ]1~;~+ \infty[$  par 

\[f(x) = \text{e}^{x + 1} - \dfrac{2x}{x - 1}.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que sur $]- \infty~;~ 1[$, la fonction $G$ définie par 

\[G(x) = 2x +  2\ln (1 - x)\]

est une primitive de la fonction $g$ définie par $g(x) = 
\dfrac{2x}{x-1}$.

En déduire une primitive de la fonction $f$ sur $] -1~;~ 1 [$.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $a$ un réel de l'intervalle $]-1~;~ 1[$. Calculer, en cm$^2$,  l'aire du domaine plan limité par les courbes $\left(\mathcal{C}_u\right)$ et
 $\left(\mathcal{C}_v\right)$ et les droites d'équation $x = - 1$ et $x =  a$.
		\item Déterminer la limite de cette aire lorsque $a$ tend vers 1.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}