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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small L'intégrale 1999}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI  1999~\decofourright \\[8pt]L'intégrale de juin à novembre 1999}}

\vspace{0,25cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\hyperlink{Metroappli}{Métropole  Arts appliqués juin  1999} \dotfill \pageref{Metroappli}\\
%\hyperlink{LaReunioncivil}{La Réunion Génie civil juin 2005} \dotfill \pageref{LaReunioncivil}\\

\hline\\
\hyperlink{Metrocivil}{Métropole Génie civil  juin  2005}  \dotfill \pageref{Metrocivil}\\
\hyperlink{Polynesiecivil}{Polynésie Génie civil juin 2005}\dotfill \pageref{Polynesiecivil}\\
%\hyperlink{Metrocivilsep}{Métropole Génie civil septembre 2005} \dotfill\pageref{Metrocivilsep}\\
%\hyperlink{Caledocivilnov}{Nouvelle-Calédonie Génie civil  novembre 2005} \dotfill \pageref{Caledocivilnov}\\

\hline \\
%\hyperlink{Antilleselectro}{Antilles Génie électronique  juin  2005}  \dotfill \pageref{Antilleselectro}\\
\hyperlink{Metroelectro}{Métropole Génie électronique  juin  2005}  \dotfill \pageref{Metroelectro}\\
\hyperlink{Polynesieelectro}{Polynésie Génie électronique juin 2005} \dotfill \pageref{Polynesieelectro}\\
%\hyperlink{Antilleselectrosep}{Antilles-Guyane Génie électronique septembre 2005} \dotfill \pageref{Antilleselectrosep}\\
\hyperlink{Metroelectrosep}{Métropole génie électronique septembre 2005} \dotfill \pageref{Metroelectrosep}\\\hline 
%\hyperlink{Caledoelectronov}{Nouvelle-Calédonie Génie électronique  nov. 2005} \dotfill \pageref{Caledoelectronov}\\
%M\hyperlink{Antillesmateriaux}{Antilles--Guyane Génie des matériaux  juin  2005}  \dotfill \pageref{Antillesmateriaux}\\

\hyperlink{Metromateriaux}{Métropole Génie des matériaux juin 2005}\dotfill \pageref{Metromateriaux}\\
%\hyperlink{Antillesmateriauxsep}{Antilles-Guyane Génie des matériaux septembre 2005} \dotfill \pageref{Antillesmateriauxsep}\\
%\hyperlink{Metromateriauxsep}{Métropole Génie des matériaux septembre 2005} \dotfill \pageref{Metromateriauxsep}\\
\end{tabularx}

 \newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole arts appliqués juin 2005
\hypertarget{Metroappli}{}

\label{Metroappli}
\lhead{\small Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 1999~\decofourright\\[4pt]Arts appliqués}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice } \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Partie A} 

\medskip

\parbox{0.62\linewidth}{Une lanterne a la forme d'une pyramide régulière, SABCD, à base carrée reposant sur un cube ABCDA$'$B$'$C$'$D$'$. 

La hauteur SH de la lanterne est de 30~cm. Soit $h$, en cm, la hauteur SO de la pyramide et $x$, en cm, la longueur de l'arête du cube.
 
On admet que $0 \leqslant  x \leqslant 30$. 

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ la hauteur $h$ de la pyramide. 
\item Exprimer en fonction de $x$ le volume $V$ de la lanterne.
 
$\left(\text{on rappelle que le volume d'une pyramide est :}\\
\dfrac{\text{surface de base} \times \text{hauteur}}{3}\right)$.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.35\linewidth}{
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(0,-2.5)(3.5,4.5)
%\psgrid
\psframe(0.5,0.3)(2.3,2.1)
\psline(2.3,0.3)(3.1,1.2)(3.1,3.)(2.3,2.1)%B'C'CB
\psline(3.1,3)(1.9,4.2)(2.3,2.1)%CSB
\psline(0.5,2.1)(1.9,4.2)%AS
\psline[linestyle=dashed](1.3,3)(3.1,3)%DC
\psline[linestyle=dashed](0.5,2.1)(1.3,3)(1.9,4.2)%ADS
\psline[linestyle=dashed](1.9,4.2)(1.9,0.8)%SH
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.3)(1.3,1.2)(3.1,1.2)%A'?C'
\psline[linestyle=dashed](1.3,1.2)(1.3,3)
\psline[linestyle=dashed](0.5,2.1)(1.9,2.6)
\uput[l](0.5,2.1){A} \uput[dr](2.3,2.1){B} \uput[r](3.1,3){C}
\uput[ul](1.4,3){D} \uput[dl](0.5,0.3){A$'$} \uput[dr](2.3,0.3){B$'$}
\uput[dr](3.1,1.2){C$'$} \uput[l](1.9,0.8){H} \uput[u](1.9,4.2){S} 
\end{pspicture}
} 

\medskip

\textbf{Partie B} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction numérique définie dans l'intervalle [0~;~30] par 

\[f(x) = \dfrac{1}{3}\left(30x^2 + 2x^3\right)\]

et soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthogonal \Oij{} (1~cm représente 2~unités sur l'axe des abscisses et 1~cm représente \np{1500}~unités sur l'axe des ordonnées). 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$. 
		\item Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant : 
		
(donner les valeurs de $f(x)$ arrondies à la centaine près)

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$&0&5&10&15&20&25&30\\ \hline
$f(x)$&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item Construire $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide de la représentation graphique, la valeur de $x$ pour laquelle $f(x) = \np{15000}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C} 

\medskip

La longueur de l'arête du cube est de 24~cm. 

Déterminer alors :

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item le volume de la lanterne ; 
\item la hauteur $h$ de la pyramide ; 
\item la longueur SA. 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill }

\bigskip

Un fabricant veut commercialiser un produit qui a la forme d'un parallélépipède rectangle à base carrée, dans un emballage qui a la forme d'une pyramide régulière à base carrée (voir la représentation en perspective cavalière). 

Les carrés PORT et BCC$'$B$'$ ont le même centre I et leurs côtés sont deux à deux parallèles.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,4.8)
%\psgrid
\pspolygon(0.3,1)(4.1,1)(6.65,2.7)(3.4,4.3)%PQRS
\psline(3.4,4.3)(4.1,1)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.3,0.7)(4.1,0.7)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(4.3,0.7)(7,2.55)
\psframe[linestyle=dashed](1.7,1.4)(3.8,2.5)%BCDA
\psline[linestyle=dashed](3.75,1.4)(5.025,2.3)(5.025,3.5)(3.1,3.5)(1.85,2.65)%CC'D'A'A
\psline[linestyle=dashed](0.3,1)(2.9,2.8)(6.65,2.7)%PTR
\psline[linestyle=dashed](3.8,2.5)(5.025,3.5)%DD'
\psline[linestyle=dashed](1.6,1.9)(5.375,1.9)%OO'
\psline[linestyle=dashed](1.7,1.4)(3.1,2.3)(5.025,2.3)%BB'C'
\psline[linestyle=dashed](3.15,2.3)(3.15,3.5)%B'A'
\psline[linestyle=dashed](2.9,2.8)(3.4,4.3)(3.4,1.9)%STI
\uput[l](0.3,1){P}\uput[dr](5.65,1.625){$x$}\uput[d](2.2,0.7){$x$} 
\uput[dr](4.,1.05){Q} 
\uput[ur](6.65,2.7){R} 
\uput[u](3.4,4.3){S} 
\uput[dl](1.7,1.4){B} 
\uput[d](3.8,1.4){C}
 \uput[ur](5.025,2.3){C$'$} 
\uput[ul](3.15,2.3){B$'$} 
\uput[ul](1.85,2.65){A} 
\uput[r](3.75,2.5){D} 
\uput[ur](5.025,3.5){D$'$} 
\uput[ul](3.15,3.5){A$'$} 
\uput[l](1.7,2.){O} 
\uput[u](5.375,1.85){O$'$} 
\uput[ul](2.9,2.8){T}
\uput[dl](3.4,1.9){I}
\uput[d](3.5,0.4){représentation en perspective} 
\end{pspicture}

\end{center} 
 
 
Le but du problème est de trouver les dimensions de la pyramide de sorte que son volume soit minimal.
 
Le fabricant ne veut pas que la longueur PO du côté de la base de la pyramide soit supérieure à 20~cm.

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{ 
Les dimensions du parallélépipède sont 8 cm pour le côté [BC] de la base carrée et 6 cm pour la hauteur [BA].
 
On désigne par $x$ la longueur du côté [PO] de la base de la pyra· mide et par h la longueur de sa hauteur [IS], où S est le sommet de la pyramide.}\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(5,4.7)
\pspolygon(0.3,2)(4.2,2)(2.25,4.5)
\psframe(1.23,2)(3.23,3.25)
\rput(2.25,0.3){coupe selon le plan (OSO$'$)}
\psline[linestyle=dashed](2.25,4.5)(2.25,2)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.2,1.5)(3.2,1.5)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.3,1)(4.2,1)
\uput[dl](0.3,2){O} \uput[dr](4.2,2){O$'$} \uput[u](2.25,4.5){S} 
\uput[ul](1.2,3.25){M} \uput[d](1.2,2.05){N} \uput[d](2.25,2.1){I}
\uput[d](2.2,1.6){8}\uput[d](2.2,1){$x$}  
\end{pspicture}} 

\bigskip

\textbf{Partie A - Modélisation}

\medskip 

On rappelle que le volume d'une pyramide est $V = \dfrac{1}{3}(B \times h)$ où $B$ est l'aire de la base et $h$ sa hauteur.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Entre quelles valeurs extrêmes le nombre $x$ peut·il varier ? 
\item Exprimer $h$ en fonction de $x$. (On pourra se placer dans le plan (OSO$'$).) 
\item En déduire une expression du volume $V(x)$ de la pyramide.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B - Étude de fonction}

\medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle ]8~;~20] par : 

\[f(x) = \dfrac{x^3}{x - 8}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, sur l'intervalle ]8~;~20], la dérivée est définie par: 

\[f'(x) = \dfrac{2x^2(x - 12)}{(x - 8)^2}.\] 
 
\item Étudier les variations de la fonction $f$. 
\item Construire la courbe représentative de $f$ dans un plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques 1~cm pour 1~cm en abscisse, 2~cm pour 100~cm$^3$ en ordonnée).
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C - Conclusion}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour $x \in ]8~;~20], V(x) = 2f(x)$. 
\item En déduire la valeur de $x$ pour laquelle le volume de la pyramide est minimum. 
\item Quel est alors ce volume ? Quelle est la hauteur de la pyramide ? Quel est alors le volume à remplir entre le produit et l'emballage ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Arts appliqués
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie civil juin 2005
\hypertarget{Metrocivil}{}

\label{Metrocivil}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie civil Métropole juin 1999~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

i désigne le nombre complexe du module 1 dont $\frac{\pi}{2}$ est l'un des arguments.

\begin{enumerate}
\item On considère le nombre complexe $z_1 =-\sqrt{3} + \text{i}$.

Calculer le module de $z_1$, et un argument de $z_1$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes
l'équation suivante : 

\[z^2 - 2\sqrt{2} z + 4 = 0.\]

		\item Écrire les solutions de l'équation sous forme trigonométrique.
	\end{enumerate}

\item Le plan est muni d'un repère orthonormal direct
\Ouv{} d'unité graphique $1$ cm. On considère les nombres complexes
$z_2 = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}$ et $z_3 = \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}$

On note $M_1$ , $M_2$ et $M_3$ les points d'affixes respectives $z_1$, $z_2$ et $z_3$
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points $M_1$, $M_2$ et $M_3$ appartiennent au cercle de centre O et de rayon $2$.
		\item Placer les points $M_1$, $M_2$ et $M_3$ dans le plan.

(Faire le dessin \textbf{sur la copie} et non sur du papier millimétré.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
\begin{enumerate}
  \item Une    agence de publicité veut tester l'efficacité d'une campagne
d'affichage d'un nouveau produit $A$ et pour cela réalise une étude
auprès de 1000 personnes. Les résultats sont les suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 650    personnes ont vu une affiche ;
\item 300 personnes ont acheté le produit    $A$ ;
\item 100 ont acheté le produit sans avoir vu d'affiche.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

  \item Recopier et compléter le tableau suivant :
  
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Nombre de personnes qui}  &  \textbf{ont acheté $A$} &
\textbf{n'ont pas acheté $A$} & \textbf{Total}  \\ \hline
     ont vu une affiche     &               &                    & $650$  \\
\hline
     n'ont pas vu d'affiche &     $100$     &                    &        \\
\hline
           Total            &     $300$     &                    & $1000$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Une personne est choisie au hasard parmi les 1000 personnes. Toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :

$E_1$ : \og la personne choisie a acheté le produit $A$ \fg ;

$E_2$ : \og la personne choisie a    vu une affiche \fg.
		\item Définir par une phrase l'évènement $E_1 \bigcap E_2$.

Déterminer la probabilité de l'évènement $E_1 \bigcap E_2$.
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement $E_1 \bigcup E_2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 10 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le but du problème est d'étudier la position relative de deux courbes et de calculer l'aire du domaine plan compris entre ces dernières.

Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques $5$ cm sur l'axe des abscisses et  $2$ cm sur l'axe des ordonnées.

Sur la feuille réponse ci-jointe (cf. en dernière page), ont été tracées les courbes représentatives $C$
et $\Gamma$ respectivement des deux fonctions $f$ et $g$, définies pour tout
    réel $x$ de l'intervalle $]0~;~3]$, par : 
\[f(x) = x- \ln x \quad \text{et}\quad g(x) = x -(\ln x)^2.\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

{ \large {\textbf{Partie 1 : Étude des fonctions $f$ et
$g$.}}}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en justifiant vos calculs, la limite de $f$ en $0$. Que peut-on en déduire pour la courbe $C$ ?
		\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0~,~3]$. Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur $]0~,~ 3]$.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $g'$ la fonction dérivée de $g$ sur $]0~;~3]$. Calculer $g'(x)$.
		
En admettant que $(x - 2\ln x)$ est positif sur $]0~;~3]$, en déduire que
 $g$ est strictement  croissante sur $]0~;~3]$.
\item Désigner sur la feuille-réponse (cf. dernière page), la courbe $C$ et la courbe $\Gamma$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

{ \large {\textbf{Partie 2 : Position relative des deux
courbes.}}}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre sur $]0~;~3]$, l'équation $g (x) = f(x)$.
		\item En déduire les coordonnées des points d'intersection $M$ et $N$ des courbes $C$ et $\Gamma$. Placer $M$ et $N$ sur la feuille-réponse.
	\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre sur $]0~;~3]$, l'inéquation $g (x) \geqslant f(x)$.
		\item En déduire la position relative des courbes $C$ et $\Gamma$ sur l'intervalle $[1~;~\text{e}]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

{ \large {\textbf{Partie 3 : Calcul d'une aire.}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $D$ l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan tels que :
 
\[(1\leqslant x \leqslant
\text{e})\quad   \text{et} \quad   (f(x)\leqslant y \leqslant g(x)).\]

et par $A$ son aire exprimée en $\rm{cm}^2$.

 On admet que, en unités d'aire, on a : $A = \displaystyle\int_1^{\text{e}}(g(x) - f(x)\:\text{d}x$
\item Hachurer $D$ sur la    feuille-réponse.
\item Soit la fonction $H$ définie sur $[1~;~\text{e}]$ par :
$H(x)  = - x(\ln x)^2 + 3x\ln x - 3x$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la fonction $H$ est une primitive de la fonction $g -f$ sur $[1~,~\text{e}]$.
		\item Calculer, en unités  d'aire, la valeur exacte de $A$.
		\item En donner une valeur approchée  au mm$^2$ près par excès.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Feuille réponse à rendre impérativement avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(3.5,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-1)(3.5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0.052}{3}{x x ln sub }
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0.316}{3}{x x ln dup mul sub }
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole génie civil juin 1999
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie génie civil juin 1999
\hypertarget{Polynesiecivil}{}

\label{Polynesiecivil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft ~Baccalauréat STI Polynésie juin 1999~\decofourright\\[4pt]Génie civil, génie mécanique A et F}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

Pour tout nombre complexe $z$ on pose 

\[P(z) = \left(z + 3 - \sqrt{5}\right)\left(z^2 + 8z + 20\right).\]
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z) = 0$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv, (unité graphique : 1~cm), placer les points A, B, C et G d'affixes respectives: 

\[z_{\text{A}} = - 3 + \sqrt{5}\quad ;\quad z_{\text{B}} =-4 - 2\text{i} \quad;\quad z_{\text{C}}= - 4 + 2\text{i}\quad;\quad z_{\text{G}} = - 3.\]
 
		\item Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que : 
		
		\[|z + 3| = \sqrt{5}.\]
		
Construire cet ensemble. 
		\item Démontrer que les points A, B et C appartiennent à cet ensemble. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(7,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-2,-1)(7,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=1](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5.236}{x Pi 3 div sub  RadtoDeg cos 2 add}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psline[linestyle=dashed](5.236,0)(5.236,1.415)\uput[d](5.236,0){$\frac{5\pi}{3}$}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchsep=14pt]{
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5.236}{x Pi 3 div sub  RadtoDeg cos 2 add}
\psline(5.236,0)(0,0)
}
\end{pspicture}
\end{center}
 
$\mathcal{C}_{f}$ est la courbe représentative, dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij, (unité graphique : 1 cm), de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{5\pi}{3}\right]$ par : 

\[f(x) = 2 + \cos \left(x - \dfrac{\pi}{3}\right).\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Démontrer que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses aux points d'abscisses $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{4\pi}{3}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $g$ la fonction définie par $g(x) = [f(x)]^2$. Calculer $g(x)$. 
		\item Démontrer que $\cos ^2 \left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \cos \left(2x - \dfrac{2\pi}{3}\right)$.
		\item Déterminer alors une primitive $G$ de $g$ sur $\left[0~;~\dfrac{5\pi}{3}\right]$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale 
 
\[I = \displaystyle\int_{0}^{\frac{5\pi}{3}} \left[\dfrac{9}{2} + 4 \cos \left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + \dfrac{1}{2} cos \left(2x - \dfrac{2\pi}{3}\right)\right]\:\text{d}x.\] 

\item La valeur exacte, en unités de volume, du volume du solide de révolution engendré par la rotation du domaine plan hachuré autour de l'axe des abscisses est $V = \pi \displaystyle\int_{0}^{\frac{5\pi}{3}} [f(x)]^2\:\text{d}x$. 

Donner la valeur exacte, en cm$^3$, de ce volume, puis sa valeur décimale arrondie à 1 mm$^3$ près par défaut. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij, (unité graphique : 2~cm). 

On note H le point de coordonnées $(\ln 3~;~\ln 3)$. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On désigne par $g$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[g(x) = ax + b - \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}.\]
  
\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$. 
\item Déterminer $a$ et $b$ pour que la courbe représentative de la fonction $g$ passe par le point H et admette en ce point une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

On se propose d'étudier la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x + 2 -  \dfrac{4\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}.\] 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout réel $x$, on a : $f(x) = x - 2 + \dfrac{12}{\text{e}^x + 3}$.
\item En utilisant l'une des deux écritures de $f(x)$ déterminer les limites de $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. 
\item Démontrer que les droites $\left(D_{1}\right)$ d'équation $y = x - 2$ et $\left(D_{2}\right)$ d'équation $y = x + 2$ sont asymptotes obliques à la courbe $(C)$ représentative de la fonction $f$. 
Préciser la position de $(C)$ par rapport à chacune des droites $\left(D_{1}\right)$ et $\left(D_{2}\right)$. 
\item Calculer $f'(x)$ ; montrer que, pour tout réel $x, f'(x) \geqslant 0$ et en déduire le  tableau de variations de la fonction $f$.
\item Construire les droites $\left(D_{1}\right), \left(D_{2}\right)$ et la courbe $(C)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive de la fonction $h$ définie sur $\R$ par : 

\[h(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 3}.\]

\item En déduire la primitive de la fonction $f$ qui prend la valeur $2$ pour $x = 0$. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie génie civil juin 1999
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole génie électronique juin 1999
\hypertarget{Metroelectro}{}

\label{Metroelectro}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft ~Baccalauréat STI Génie électronique Métropole~\decofourright\\[4pt] juin 1999}}
 \end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill }

\medskip

Soit le polynôme $P$ de la variable complexe $z$ défini par :

\[P(z) = z^3 - z^2 + 4z + 48.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $-3$ est une racine de $P$.
		\item  En déduire une factorisation de $P$.
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : $P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv{} d'unité $1$~cm. 

Les points A et B sont sur le cercle de centre O et de rayon 4, leurs affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$ ont pour arguments : $\dfrac{\pi}{3}$ et $- \dfrac{\pi}{3}$.

Le point C a pour affixe $z_{3} = -3$.
	\begin{enumerate}
		\item  Placer ces trois points.
		\item  Donner, sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique, les affixes de A et B.
		\item  Calculer $\left|z_{1} - z_{3}  \right|$.
		\item  Calculer alors, en arrondissant au degré près, l'angle $\widehat{\text{OAC}}$.
		
On rappelle la formule suivante, dans un triangle PQR : 

\[\text{PQ}^2 = \text{PR}^2 + \text{RQ}^2 - 2 \times \text{PQ} \times \text{RQ} \cos \widehat{\text{R}}.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill }

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle suivante, où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et deux fois dérivable sur $\R$ : 

\[9y'' + 16y = 0.\]

\item  Déterminer la fonction $f$ de léquation différentielle qui vérifie : 

\[f(3\pi) = 3\sqrt{3}\quad \text{et} \quad f'(0) = 4.\]

\item  Montrer que, pour tout réel $t$, 

\[f(t) = 6\cos \left(\dfrac{4}{3}t - \dfrac{\pi}{6} \right).\]

\item  Résoudre dans $\R$ l'équation :

\[f(t) = 3\sqrt{3}.\]

\item Représenter sur le cercle trigonométrique les solutions de l'équation précédente.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill }

\medskip

Soit la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \text{e}^{2x} - 4\text{e}^x.\]

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unité $5$~cm sur l'axe des abscisses et de $1$~cm sur l'axe des ordonnées.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

Pour établir la limite en $+ \infty$, on pourra transformer l'expression de $f(x)$ en la factorisant par $e^x$.

		\item Déduire de la question précédente que $\mathcal{C}$ admet une asymptote $D$ que l'on précisera.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier les variations de $f$ sur $\R$. Dresser le tableau de variations de $f$.

		\item  Calculer les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}$ avec les axes du repère ; on notera A le point d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.

		\item  Établir une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point A.

		\item  Tracer $\mathcal{C}$, $D$ et $T$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre léquation $f(x) = - 3$.

		\item  Soit $m$ un nombre réel. Discuter graphiquement, suivant les valeurs de $m$, le nombre de solutions de l'équation : $f(x) = m$.

		\item  Résoudre graphiquement, en rédigeant la méthode, l'inéquation : 
		
		$f(x) > - 3$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une primitive de $F$ de $f$.
		\item  On admet que sur $[-2~;~0],{}\mathcal{C}$ est situé en-dessous de $D$. En déduire l'expression de l'aire $s$ de la partie du plan limitée par les droites d'équation $x = - 2$ et $x = 0$, par la courbe $\mathcal{C}$, et par la droite $D$, puis calculer $s$ en cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole génie électronique juin 1999
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie génie électronique juin 1999
\hypertarget{Polynesieelectro}{}

\label{Polynesieelectro}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft ~Baccalauréat STI Polynésie juin 1999~\decofourright\\[4pt]Génie électronique, génie électrotechnique}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} direct. L'unité graphique sera égale à 4~cm. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation 

\[z^2 - 2z\sqrt{3} + 4 = 0.\]

 On désigne par $z_{1}$ et $z_{2}$ les solutions, $z_{1}$ étant celle dont la partie imaginaire est négative.
 
Écrire $z_{1}$ et $z_{2}$ sous forme exponentielle.
\item Soit A le point d'affixe $z_{1}$ et B celui d'affixe $z_{2}$. Placer A et B et démontrer que le triangle AOB est équilatéral. 
\item Soit E le point d'affixe $z_{3} = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$  et F son image par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
 
Déterminer l'affixe du point F et montrer que F est le milieu du segment [OB].  
\item Soit D l'image de E par la translation de vecteur $2\vect{v}$. 

Déterminer l'affixe de D et montrer que OD = DB. En déduire que la droite (AD) est la médiatrice de [OB].
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle : 

\[y'' + 9y = 0.\]
 
\item Déterminer l'unique solution $f$ vérifiant 

\[f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = - 1\quad \text{et}\quad  f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 3\sqrt{3}$. 
\item Écrire $f(x)$ sous la forme $f(x) = a \cos (3x - b)$ où le réel $a$ est strictement positif et le réel $b$ appartient à l'intervalle $[0~;~\pi]$.
\item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~2\pi]$ l'équation : 

\[2 \cos \left(3x - \dfrac{\pi}{6}\right) = 1.\]

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème } \hfill 11 points}

\medskip
	 
Spot la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = 1 - x^2\text{e}^{-x}.\]

On note $\mathcal{C}$ sa représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 4~cm.

\bigskip
 
\textbf{Partie A Étude de la fonction}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.  Que peut-on en déduire pour la représentation graphique  ? 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f'(x) = x(x - 2)\text{e}^{- x}$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$.
		\item Construire le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ appartenant à l'intervalle $[- 1~;~0]$. 

À l'aide de la calculatrice déterminer un encadrement de $\alpha$ 
d'amplitude	$10^{-2}$. 
\item Déterminer une équation de la tangente $\Delta$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $- 1$ puis construire la droite d'équation $y = 1$, la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}
	
\bigskip
 
\textbf{Partie B Représentation graphique}

\medskip

Soit $\mathcal{P}$ la courbe représentative dans le repère \Oij{} de la fonction $g$  définie sur $]- \infty~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = 1 - 2x^2.\]

\begin{enumerate}
\item Construire $\mathcal{P}$ dans le repère précédent.
\item Montrer que $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$ se coupent en deux points A et B dont on déterminera les coordonnées.
\item Déterminer suivant les valeurs de $x$ la position relative des courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C Calcul d'aire }

\medskip 

Soit $H$ la fonction définie définie sur $]- \infty~;~+ \infty[$ par : 
 
\[H(x) = \dfrac{2}{3} x^3 + \text{e}^{- x}\left(x^2 + 2x + 2\right).\]
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $H$ est une primitive de $f - g$. 
\item En déduire l'aire en cm$^2$ de la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$ et les droites d'équations $x = - \ln 2$ et $x = 0$. 

En donner la valeur arrondie au dixième. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie génie électronique juin 1999
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole génie électronique septembre 2005
\hypertarget{Metroelectrosep}{}

\label{Metroelectrosep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 1999~\decofourright\\[4pt]Génie électronique} \end{center}

\vspace{0,5cm}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
 
\parbox{0,48\linewidth}{Un circuit comprend en série un générateur de force électromotrice E, une bobine d'inductance L et une résis- 
tance R.
 
L'intensité du courant électrique $i$, exprimée en ampères, est fonction du temps $t$, exprimé en secondes, et est solution de l'équation différentielle (1) :} \hfill
\parbox{0,48\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-0.5,0)(5,3.5)
\pnode(0,0){A}\pnode(5,0){B}\pnode(5,3){C}\pnode(0,3){D}
\resistor(A)(D){E} \coil(A)(B){L}\resistor(B)(C){R}\wire(C)(D) 
\end{pspicture}}

\medskip
 
\[\text{L}i'(t) + \text{R} i(t) = \text{E}.\]

On donne L = 0,2~H ; R $= 100~\Omega$ ; E = 10~V. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire l'équation différentielle (1) en remplaçant L, R et E par leurs valeurs.
\item Résoudre l'équation différentielle (2) : $\dfrac{1}{5}y' + 100y = 0$.
\item Vérifier que la fonction $i$ définie sur $\R$ par $i(t) = - \dfrac{1}{10}\text{e}^{- 500t} + \dfrac{1}{10}$ est solution de l'équation différentielle (1).
\item Étudier sur l'intervalle $[0~ ;~+ \infty[$ les variations de la fonction $i$ définie à la question 3.
 
Dresser le tableau de variations de $i$ sur l'intervalle $[0~ ;~+ \infty[$ ;  préciser la limite de $i$ en $+ \infty$. 
\item  Déterminer par le calcul l'instant $t_{1} $ à partir duquel l'intensité $i(t)$ sera supérieure à $0,095$~A.
 
En donner la valeur exacte puis la valeur décimale approchée à $10^{-3}$ près par excès. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit A le point d'affixe: $z_{\text{A}} = 1 - \text{i} \sqrt{3}$.

Calculer le module et un argument de $z_{\text{A}}$. En déduire la forme exponentielle du nombre complexe $z_{\text{A}}$. Placer le point A avec précision dans le repère \Ouv. 
\item  Soit B l'image du point A par la rotation de centre 0 et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$. On appelle $z_{\text{B}}$ l'affixe du point B.
 
Calculer $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle puis sous forme algébrique.
 
Placer le point B avec précision dans le repère \Ouv.
\item Quelle est la nature du triangle AOB ? 
\item Soit C l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et $z_{\text{C}}$ son affixe. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point C avec précision dans le repère \Ouv. 
		\item Calculer $z_{\text{C}}$ sous forme exponentielle. 
		\item Montrer que $z_{\text{C}} = z_{\text{A}}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$· En déduire une forme algébrique de $z_{\text{C}}$.
		\item  Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de $\cos \dfrac{\pi}{12}$  et de $\sin \dfrac{\pi}{12}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\bigskip

\parbox{0.55\linewidth}{La figure ci-contre représente la voile d'un bateau constituée par la réunion des parties P et T. Les distances sont exprimées en dm et le repère est orthonormal.
 
La Courbe $\Gamma$ représente la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :
 
$g(x) = x + \dfrac{\np{5000}x}{x^2 + \np{2500}}$. La droite $\Delta$
a pour équation $y = x$.}
\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.0295cm}
\begin{pspicture}(-20,-20)(170,130)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0}{80}{5000 x mul x dup mul 2500 add div x add}
\psline(80,80)(0,0)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=50]{->}(0,0)(170,130)
\psline(130,130)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0}{80}{5000 x mul x dup mul 2500 add div x add}
\psline(80,0)(80,124.94)
\uput[d](80,0){$a$} \uput[dr](80,080){B}\uput[ur](80,0){A}\uput[ur](80,125){C}\uput[dr](130,130){$\Delta$}
\rput(50,70){P} \rput(50,25){T}\rput(50,110){\blue $\Gamma$}
\end{pspicture}}

\medskip

$a$ étant un nombre appartenant à l'intervalle $[50~;~100]$ :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  P est l'ensemble des points dont les coordonnées $(x~;~ y)$ vérifient $0 \leqslant  x \leqslant a$ 
et $x \leqslant y \leqslant g(x)$ ; 
\item[$\bullet~$] T est l'ensemble des points dont les coordonnées $(x~;~ y)$ vérifient $0 \leqslant  x \leqslant a$ et $0 \leqslant y \leqslant x$. La droite $d$ d'équation $x = a$ coupe l'axe des abscisses, la droite $\Delta$ et la courbe $\Gamma$ respectivement aux points A, B et C.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
Le but du problème est de déterminer, si elle existe, la valeur de $a$ pour laquelle les aires de P et de T sont égales.
 
\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par $h(x) = g(x) - x$.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite en $+ \infty$ de la fonction $h$. Que représente la droite $\Delta$ pour la courbe $\Gamma$ ? 
\item  En utilisant le signe de $h(x)$ étudier la position relative de la courbe $\Gamma$ et de la droite $\Delta$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On rappelle que la fonction $h$ est définie par: $h(x) = \dfrac{\np{5000}x}{x^2 + \np{2500}}$.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive $H$ de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
 
\item Montrer que l'aire $\mathcal{A}(a)$ de la partie P est :
 
\[\mathcal{A}(a) = \np{2500}\left[\ln \left(a^2 + \np{2500}\right) - \ln \np{2500}\right].\]
 
\item  Calculer, en fonction de $a$, l'aire $\mathcal{B}(a)$ de la partie T. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :
 
\[f(x) = \np{2500} \ln \left(x^2 + \np{2500}\right) - \np{2500} \ln \np{2500} - \dfrac{1}{2} x^2.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. (on admettra que la limite en $+\infty$ de $f$ est $- \infty$.) 
		\item Dans le repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : 1~cm pour 10~ dm sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 50~ dm$^2$ sur l'axe des ordonnées), construire la représentation graphique de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que sur l'intervalle $[50~;~100]$ l'équation $f(x) = 0$ a une unique solution, notée $\alpha$. Déterminer un intervalle d'amplitude $10^{-1}$ contenant le réel $\alpha$. 

		\item Quelle est l'interprétation géométrique de ce nombre $\alpha$ ? 
		\item Déterminer alors une valeur décimale approchée de l'aire de chacune des parties P et T en prenant 79,3 comme valeur décimale approchée de $\alpha$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole génie électronique septembre 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole génie des matériaux juin 2005
\hypertarget{Metromateriaux}{}

\label{Metromateriaux}
\lhead{\small Baccalauréat  STI Génie mécanique, des matériaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique Métropole juin 1999~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

On considère l'expérience aléatoire suivante :

Une première urne contient cinq boules numérotées 0, 2, 4, 6, 8.

Une deuxième urne contient cinq boules numérotées 1, 2, 3, 4, 5.

On appelle \og partie \fg{} le fait de tirer au hasard une boule de la première urne, puis une boule de la deuxième. Une \og partie \fg{} a donc 25 résultats possibles supposés équiprobables.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier, puis compléter le tableau donnant la somme des deux nombres obtenus pour chacun des résultats possibles.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$+$& 0& 2& 4& 6& 8\\\hline
1&&&&&\\ \hline
2&&&&&\\ \hline
3&&&&9&\\ \hline 
4&&6&&&\\ \hline 
5&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir pour une \og partie \fg{} une somme égale à 7?
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir pour une \og partie \fg{} une somme paire?
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir pour une \og partie \fg{} une somme au plus égale à 6?
	\end{enumerate}
\item On considère le jeu suivant associé à chaque \og partie \fg{}. Un joueur gagne :
	
\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] 30~francs si la somme est paire ;
\item[ ] 100~francs si la somme est treize ;
\item[ ] 10~francs si la somme est 1, 3 ou 5 ;
\item[ ] et ne gagne rien dans les autres cas.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque partie associe son gain en francs.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de gagner $100$ francs.
		\item Donner sous forme de tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
		\item L'organisateur demande $20$~francs pour obtenir le droit de jouer. Ce jeu est-il équitable ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

On donne l'équation différentielle : 

\[y''+ 36y = 0.\]

\begin{enumerate}
\item Donner la forme des solutions de cette équation différentielle.
\item Déterminer la fonction f solution de cette équation différentielle satisfaisant aux conditions suivantes :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item la courbe représentative de f passe par le point G de coordonnées (0 ; p3) ;
\item la droite tangente à cette courbe au point G a pour coefficient directeur 6.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item Vérifier que pour tout réel $x$ : 

\[f(x) = 2\sin\left(6x + \dfrac{\pi}{3}\right).\]

\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{6}\right]$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = 2 - 10x \text{e}^{- 2x}.\]

Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{}(unité graphique 2~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $f(x) = 2 - \dfrac{10}{\text{e}^x} \cdot \dfrac{x}{\text{e}^x}$.
		\item Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ 1$.
		\item En déduire que la courbe $(C)$ admet une asymptote $(D)$ dont on précisera une équation.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction dérivée $f'$ de $f$ est définie pour tout $x$ réel par :
		
\[f'(x) = (20x - 10) \text{e}^{- 2x}.\]
		
		\item Étudier pour tout réel $x$ le signe de $f'(x)$, puis établir le tableau de variations de $f$.
		\item En déduire que la courbe $(C)$ admet une tangente horizontale en un point B dont on précisera les coordonnées.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C)$ au point d'abscisse $0$.
\item Tracer dans le même repère \Oij{} l'asymptote $(D)$, la tangente $(T)$ et la courbe $(C)$.
\item On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x) = \left(- \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{- 2x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer sa fonction dérivée.
		\item En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}		
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer sur la représentation graphique le domaine (A) du plan limité par la courbe $(C)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations : 
		
$x = 0,\: x = 3$.
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine (A) exprimée en cm$^2$, puis en donner une valeur décimale approchée à 1 mm$^2$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole génie des matériaux juin 2005
\end{document}