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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2000~\decofourright\\
\vspace{1cm}L'intégrale de juin à décembre 2000}}

\vspace{0,25cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}}
\end{center}
 
\vspace{0,25cm}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\hyperlink{Antillescivil}{Antilles--Guyane  Génie civil  juin 2000} \dotfill \pageref{Antillescivil}\\
\hyperlink{Metrocivil}{Métropole Génie civil  juin  2000} \dotfill \pageref{Metrocivil}\\
\hyperlink{Polynesiecivil}{Polynésie Génie civil juin 2000} \dotfill \pageref{Polynesiecivil}\\
\hyperlink{Metrocivilsept}{Métropole  Génie civil  septembre 2000} \dotfill \pageref{Metrocivilsept}\\
\hyperlink{Caledoniecivildec}{Nouvelle-Calédonie  Génie civil  décembre 2000} \dotfill \pageref{Caledoniecivildec}\\ \hline
\hyperlink{Antilleselectro}{Antilles--Guyane Génie électronique   juin 2000} \dotfill \pageref{Antilleselectro}\\
\hyperlink{Metroelectro}{Métropole Génie électronique juin 2000} \dotfill \pageref{Metroelectro}\\
\hyperlink{Metroelectrosep}{Métropole Génie électronique septembre 2000} \dotfill \pageref{Metroelectrosep}\\ \hline
\hyperlink{Antillesmateriaux}{Antilles--Guyane Génie des matériaux juin 2000}\dotfill \pageref{Antillesmateriaux}\\
\hyperlink{Metromateriaux}{Métropole Génie des matériaux  juin 2000} \dotfill \pageref{Metromateriaux}\\
\hyperlink{Metromateriauxsep}{Métropole Génie des matériaux  septembre 2000} \dotfill \pageref{Metromateriauxsep}
\end{tabularx}
 
\newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Antilles  Génie civil  juin 2000
\hypertarget{Antillescivil}{}

\label{Antillescivil}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie civil, énergétique, mécanique (A et F)}
\lfoot{\small{Antilles}}
\rfoot{\small{juin 2000}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat STI Antilles juin 2000~\decofourright\\
[4pt]Génie civil, énergétique, mécanique (A et F) } 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Chacun des $150$ élèves des classes de terminales STI d'un lycée ayant effectué un stage en entreprise a rédigé un rapport de stage.

Pour rendre ce rapport de stage le plus lisible et le plus attractif
 possible :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $115$ élèves ont utilisé un traitement de textes ;
\item[$\bullet~$] $100$ élèves ont utilisé un tableur ;
\item[$\bullet~$] $75$ élèves ont utilisé à la fois un traitement de textes et un tableur.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Nombre d'élèves	&ayant utilisé un traitement de textes&n'ayant pas utilisé un traitement de textes&Total\\ \hline
ayant utilisé un tableur&75	&	&100\\ \hline
n'ayant pas utilisé de tableur	& & & \\\hline
Total 			&115 & 	&150\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\item Un professeur étudie un des $150$ rapports de stage choisi au hasard. On
suppose que chaque rapport de stage a la même probabilité d'être ainsi choisi.
Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants

A : \og l'élève ayant rédigé ce rapport de stage n'a pas utilisé de tableur \fg{} ;

B : \og l'élève ayant rédigé ce rapport de stage a utilisé un traitement de textes mais pas de tableur \fg{} ;

C : \og l'élève ayant rédigé ce rapport de stage n'a utilisé ni un traitement de textes, ni un tableur \fg. 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité $1$~cm.\\
 i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ ; on rappelle que $\text{i}^2 = - 1$.\\
On considère les points A(4 ; 0) et C$\left(-2\sqrt{3}~ ;~ 
-2\right)$ d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 4$ et $z_{\text{C}} = - 
2\sqrt{3} - 2\text{i}$, et les points B et D d'affixes respectives 
$z_{\text{B}} = \text{i}z_{\text{A}}$ et \\$z_{\text{D}} = \text{i}z_{\text{C}}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les modules des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{C}}$.
		\item En déduire les modules des nombres complexes $z_{\text{B}}$ et 
$z_{\text{D}}$.
		\item Montrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que les coordonnées de B et D sont 
respectivement (0 ; 4) et $\left(2~;~-2\sqrt{3}\right)$.
		\item Placer les points A, B, C et D dans le repère \Ouv.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que les droites (AD) et (BC) sont parallèles. 
		\item Montrer que les diagonales du quadrilatère ABCD sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Le but du problème est d'étudier la position relative d'une courbe et d'une
 tangente à cette courbe en un point, et de calculer l'aire d'un domaine plan.
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unités graphiques
$2$~cm.

\bigskip

Sur la figure ci-après a été tracée la courbe représentative 
$\mathcal{C}$ de la fonction $f$, définie pour tout réel $x$ de l'intervalle
]0~;~6] par :

\[f(x) =	\dfrac{x + 2}{x} + \ln x.\]

\begin{center}
\textbf{Partie A - étude de la fonction} \boldmath $f$ 
\unboldmath 
\end{center}

Soit $f$ la fonction définie sur ]0~;~6] par :

\[f(x) = \dfrac{x + 2}{x} + \ln x.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la limite de $f$ en zéro. On pourra 
mettre $f(x)$ sous la forme :

\[f(x) = \dfrac{x + 2 + x\ln x}{x}.\]

\medskip

\item Calculer $(1),~ f(2),~ f(\text{e}),~ f(4)$ et $f(6)$.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que, pour tout $x$ dans l'intervalle 
]0 ; 6], on a :

\[f'(x) = \dfrac{x - 2}{x^2}.\]

		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur ]0~;~6].
		\item Établir le tableau de variations de $f$ sur ]0~;~6].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{Partie B - Position de la courbe par rapport à une
 tangente} \end{center}

\begin{enumerate} 
\item Montrer qu'une équation de la tangente T à la 
courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 4 est :

\[y = \dfrac{x}{8} + 1 + \ln 4.\]
	
\item On considère la fonction $g$ définie sur ]0~;~6] par :

\[g(x) = f(x) - \left(\dfrac{x}{8}+ 1 + \ln 4\right).\]

	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que pour tout $x$ de ]0~;~6] : $g(x) = \ln 
x -\ln 4 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{x}{8}$.
		\item Montrer que pour tout $x$ de ]0~;~6] : $g'(x) =\dfrac{- x^2 + 8x 
- 16}{8x^2}$.
		\item Déterminer le signe de $g'(x)$ sur ]0~;~6].
		\item Préciser le sens de variation de $g$ sur ]0~;~6] (on ne demande pas les limites aux bornes du domaine de définition).
		\item Calculer $g(4)$ et en déduire le signe de $g$ sur ]0~;~6].
	\end{enumerate}
\item En déduire la position relative de $\mathcal{C}$ et T.
\item Tracer la droite T dans le repère \Oij{} de la figure.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center} \textbf{Partie C - Calcul d'une aire} \end{center}

\begin{enumerate} 
\item Soit la fonction $H$ définie sur ]0 ; 6] par : 

\[H(x) = (2 + x) \ln x.\]

Calculer $H'(x)$.

\medskip

\item On considère la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, 
l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \text{e}$. On
 appelle $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en cm$^2$, de cette partie du plan.
	\begin{enumerate} 
		\item Hachurer cette partie sur la figure.
		\item Donner la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis sa valeur approchée à $10^{-2}$ près par défaut.

\vspace{1cm}

\begin{center} 
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(6.5,6.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2](0,0)(6,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.9,-0.5)(6.5,6.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.327}{6}{x 2 add x div x ln add}
\end{pspicture} 
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin STI génie civil Antilles-Guyane juin 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole  Génie mécanique, civil juin 2000
\hypertarget{Metrocivil}{}

\label{Metrocivil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2000}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 2000~\decofourright\\[4pt]Génie mécanique, civil, Génie énergétique} \end{center}
    
\vspace{0,5cm}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item i est le complexe de module 1 et d'argument 
$\dfrac{\pi}{2}$.

On considère les nombres complexes suivants :

\[a = \sqrt{3} + \text{i} \qquad  b = \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}.\]

Déterminer le module et un argument de $a,~ b$ et 
$\dfrac{a}{b}$.
\item Soit $z = \cos \dfrac{5\pi}{12} + \text{i} \sin \dfrac{5\pi}{12}$. Le plan complexe 
est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} avec $4$~cm comme unité graphique. On considère les points $M_{1},~ M_{2},~ M_{3},~ M_{4}$ d'affixes respectives $z,~z^2,~z^3,~z^4$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer le module et un argument de $z,~z^2,~z^3,~z^4$.
		\item En laissant vos traits de construction sur la copie, placer les points $M_{1},~ M_{2},~ M_{3}$ et  $M_{4}$ dans le plan complexe.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Un professeur organise un tournoi de football entre des équipes d'élèves de seconde et des équipes d'élèves de première. Voici les résultats des huit matchs joués le premier jour du tournoi.

\begin{center}
\begin{tabular}{| *{3}{c |}}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c |}{} & équipe de seconde &équipe de première \\ \hline
1\up{er} match 	&2 buts	&1 but \\ \hline
2\up{e} match	&2 buts	&0 but\\ \hline
3\up{e} match	&3 buts	&3 buts\\ \hline
4\up{e} match	&1 but	&3 buts\\ \hline
5\up{e} match	&0 but	&1 but\\ \hline
6\up{e} match	&0 but	&0 but\\ \hline
7\up{e} match	&1 but	&4 buts\\ \hline
8\up{e} match	&3 buts	&2 buts\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
On choisit un match au hasard parmi les huit matchs du premier jour du tournoi ; tous les matchs ont la même probabilité d'être choisis

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la probabilité $p_{1}$ qu'aucun but n'ait été marqué au cours de ce match est égale à $\dfrac{1}{8}$.
		\item Quelle est la probabilité $p_{2}$ que le match soit nul (c'est-à-dire que chaque équipe ait marqué le même nombre de buts) ?
	\end{enumerate}
\item Pour chaque match, on calcule la différence entre les nombres de buts marqués par  les deux équipes, de façon à trouver un nombre positif ou nul. On définit ainsi une variable aléatoire $X$. Par exemple, pour le $5^{\text{e}}$ match, la valeur de $X$ est égale à 1 et pour le $8^{\text{e}}$ match, elle est aussi égale à 1.
	\begin{enumerate} 
		\item Donner les quatre valeurs possibles de $X$.
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}
 
\medskip
 
Dans tout le problème, le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère 
orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm.

 Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{x + 2 + \ln x}{x}.\]

La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans le repère \Oij est tracée à la dernière page (à compléter au fur et à mesure et à rendre avec la copie).

\bigskip

\textbf{Partie I - étude de la fonction}\boldmath  $f$ 
\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate} 
\item D'après le graphique, il semble que l'axe des ordonnées soit asymptote à la courbe  $\mathcal{C}$.

Le prouver par le calcul.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que pour tout $x$ de $]0~;~+ 
\infty[,\:f(x) = 1  + \dfrac{2}{x} + \dfrac{\ln x}{x}$.
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item En déduire l'existence d'une asymptote D à la courbe $\mathcal{C}$. Donner son équation et la tracer sur la dernière page.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Prouver que, pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[,\:f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$.
		\item Montrer que $f'(x)$ s'annule en changeant de signe en e$^{-1}$.
		\item Établir le tableau de variations de $f$. Dans ce tableau, on donnera la valeur exacte du maximum de $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie II - Position relative de deux courbes}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ 
par $g(x) = \dfrac{x + 2}{x}$ et $\mathcal{H}$ la courbe représentative de $g$  dans le repère \Oij.

	\begin{enumerate} 
		\item Étudier rapidement la fonction $g$ sur $]0~;~ + \infty[$ (dérivée,  limites, tableau de variations).
		\item Donner les équations des deux asymptotes de la courbe 
$\mathcal{H}$.
	\end{enumerate}
\item	
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f (x) - g(x)$ et étudier son signe.
		\item Montrer que les deux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{H}$ se coupent en un point K d'abscisse 1.
		\item Étudier la position relative des deux courbes $\mathcal{C}$ 
et $\mathcal{H}$.
	\end{enumerate}
\item Placer le point K et construire la courbe $\mathcal{H}$ sur la dernière page.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie III - Calcul d'une aire}
 
\medskip
 
Soit $\alpha$ un réel tel que $\alpha > 1$.

On note $\mathcal{A}(\alpha)$ l'aire du domaine limité par les courbes $\mathcal{C}$  et $\mathcal{H}$ et par les droites d'équation $x = 1$ et $x = \alpha$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $u$ la fonction définie sur $] 0~;~+ \infty[$ 
par $u'(x) = \dfrac{1}{2} (\ln x)^2$. Vérifier que $u$ est une
primitive de $\dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0~;~ + \infty[$.
\item Calculer $\mathcal{A}(\alpha)$ en cm$^2$.
\item En remarquant que $\ln \alpha$ est strictement positif, 
calculer $\alpha$ pour que $\mathcal{A}(\alpha) = 8$ cm$^2$. Hachurer
l'aire correspondante sur le graphique (dernière page) à rendre avec la copie.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{Document à rendre avec la copie}  \end{center}

\psset{unit=1.5cm}
\rput[b]{90}(8,-7){ \begin{pspicture}(0,-1)(11,6)
\psgrid[gridlabels=0](0,0)(0,-1)(11,6) \uput[dl](0,0){O}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-1)(11,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,plotstyle=curve,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.109}{11}{ x 2 add x ln add x div}
\rput(5,7){Courbe représentative de la fonction $f$}
\end{pspicture}}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Génie civil Métropole juin 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Génie civil Polynésie juin 2000
\hypertarget{Polynesiecivil}{}

\label{Polynesiecivil}
\lfoot{\small{Antilles}}
\rfoot{\small{juin 2000}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie juin 2000~\decofourright\\ Génie civil, énergétique, mécanique (A et F) } \end{center}

\vspace{0,5cm}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{}
d'unité graphique $1$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation 

$z^2 - 4z + 16 = 0$.
\item 	Pour tout nombre complexe $z$, on pose $f(z) = z^2 + z\left(5 - \text{i}\sqrt{3}\right) + 4\left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $f(-4) = 0$.
		\item Déterminer les nombres $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe 
		
		$z,~f(z) = (z + 4)(az + b)$.
		\item Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation $f(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item 	Calculer le module de chacun des nombres complexes $- 4$ et $- 1 + \text{i}\sqrt{3}$.
\item 	Soient A, B, C, D les points d'affixes respectives $2 + 2 \text{i}\sqrt{3},~ 2 - 2 \text{i}\sqrt{3},~ - 4,$

	$- 1 + \text{i}\sqrt{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Réaliser une figure et placer les points A, B, C, D.
		\item  Montrer que A, B, C sont sur un même cercle, de centre O.
		\item  Montrer que D est le milieu de [AC].
		\item  Montrer que le triangle ABC est équilatéral.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle E : $9 y'' + 16 y = 0$.
\item  Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation E dont la courbe représentative, dans le plan rapporté à un repère orthonormal, passe par le point A de coordonnées $\left(\frac{\pi}{2}~;~0\right)$ et admet en ce point une tangente de coefficient directeur égal à $- \dfrac{16}{3}.$
\item 	Vérifier que, pour tout réel $x,~ f (x) = 4 \cos\left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que $\dfrac{3\pi}{2}$ est une période pour $f$.
		\item  Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{3\pi}{4}\right]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Les objectifs de ce problème sont l'étude d'une fonction, le tracé 
de sa courbe représentative et le calcul d'une aire associée à cette courbe.

\medskip

\textbf{Partie A - Étude d'une fonction auxiliaire \boldmath $g$ \unboldmath}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]- \infty~;~0]$ par 

\[g(x) = 1 - \text{e}^{2x} - 2x\text{e}^{2x}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier la limite de $g$ en $-\infty$.
\item Étudier le sens de variation de $g$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variations de $g$ (on ne demande pas la représentation graphique de $g$).
		\item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]-\infty~;~0],~ g(x) \geqslant 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B - Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty~;~0]$ par
 
\[f(x) = x + 3 - x\text{e}^{2x}.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item Calculer $f'(x)$ puis, en utilisant la partie A, en déduire le sens de variation de $f$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $D$, d'équation $y = x + 3$, est asymptote à $\mathcal{C}$.
		\item Préciser la position relative de $\mathcal{C}$ et $D$.
	\end{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$, dans l'intervalle $[-5~;~0]$.
En déduire que $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $f(x) = 0$, dans l'intervalle $]- \infty~;~0]$.
		\item  Déterminer un encadrement de $\alpha$, d'amplitude $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\item Tracer $D$ et $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C - Calcul d'une aire}

\medskip

Soit $H$ la fonction définie pour tout $x$ appartenant à $]-\infty~;~ 0]$ par 

\[H(x) = \text{e}(ax + b),\]

où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que $H$ soit une primitive de la fonction qui, à $x$ associe $x\text{e}^{2x}$.
		\item  En déduire une primitive de $f$.
	\end{enumerate}
\item 	Calculer la valeur exacte de l'aire, en cm$^2$, du domaine compris sur le graphique entre la courbe $\mathcal{C}$, la droite $D$ et les droites d'équations respectives $x = - \ln 3$ et $x = 0$, puis en donner la valeur décimale arrondie à $10^{-2}$.
\end{enumerate} 
%%%%%%%%%%%%%%%  fin Génie civil Polynésie juin 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%  Génie civil Métropole septembre 2000
\hypertarget{Metrocivilsept}{}

\label{Metrocivilsept}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2000}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~ Baccalauréat STI Métropole septembre 2000~\decofourright\\[4pt]Génie Civil, énergétique, mécanique (A et F) } \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Les trois machines A, B et C d'un atelier ont une production totale de
\np{10000} pièces du même type.

Elles produisent respectivement \np{2000},~\np{3000} et \np{5000} pièces.

Par ailleurs, on constate que le nombre de pièces avec défaut est de $100$ pour A, de $120$ pour B et de $150$ pour C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.7cm}| *{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{l|}{} 		& Machine A	&Machine B&	Machine C	&TOTAL\\ \hline
Nombre de pièces sans défaut& 			& 			& 			& \\ \hline
Nombre de pièces avec défaut& 			& 			&$150$		&\\ \hline
TOTAL						&\np{2000}	& 			& 			&\np{10000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Une pièce est choisie au hasard dans la production totale.

Toutes les pièces ont la même probabilité d'être choisies.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la probabilité $p_1$ pour qu'elle provienne de A est égale à $0,2$.
		\item Montrer que la probabilité $p_2$ pour qu'elle ait un défaut est égale à $0,037$.
		\item Calculer à $10^{-3}$ près la probabilité $p_3$ pour qu'elle provienne de B  et qu'elle soit sans défaut.
	\end{enumerate}
\item Une pièce est choisie au hasard dans l'ensemble des pièces sans défaut.

Toutes ces pièces ayant la même probabilité d'être choisies, calculer à $10^{-3}$ près la probabilité pour qu'elle provienne de B.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation

\[(z - 4)\left(z^2 - 2z + 4\right) = 0.\]

\item On note A, B et C les points d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = 4 \quad ; \quad z_{\text{B}} = 1 + \text{i}\sqrt{3} \quad ; 
\quad z_{\text{C}} = 1 - \text{i}\sqrt{3}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Écrire $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous forme trigonométrique.
		\item Placer avec précision les points A, B et C dans le plan complexe.

On fera le dessin sur la copie
		\item Calculer $\left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}}\right|,~ \left|z_{\text{C}} -  z_{\text{B}}\right|$ et $\left|z_{\text{C}} - z_{\text{A}}\right|$.
		\item En déduire la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item On note K le point d'affixe $z_{\text{K}} = - \sqrt{3} + \text{i}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Placer avec précision le point K sur la figure précédente.
		\item Démontrer que le triangle OBK est rectangle isocèle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

On se propose d'étudier, dans une première partie, quelques propriétés d'une fonction $f$ dont la représentation graphique est donnée. On s'intéresse, dans une seconde partie, à l'une de ses primitives et, dans une troisième partie, au calcul d'une aire.

\textsl{Pour tout le problème, le plan est muni du repère orthonormé} 
\Oij{} \textsl{d'unité graphique} $4$~cm.

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textbf{Partie A - étude graphique d'une fonction} 
\end{center}
Soit $f$ la fonction définie sur $]- \infty~;~+ \infty[$  par :

\[f(x) = \dfrac{2\text{e}^{2x}  - \text{e}^x}{\text{e}^{2x} - \text{e}^x + 1}.\]

On trouvera sur le graphique ci-après, le tracé de la courbe $\mathcal{C}$
 représentative de la fonction $f$ et le tracé de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$  au point K(0~;~1), dans le repère orthonormé \Oij.

On admet que le point K est centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}$ et  que le point B(1~;~3) appartient à la tangente T.

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-2.5,-2)(2.5,3.2)
\psaxes(0,0)(-2.5,-2)(2.5,3.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(-1.5,-2)(1.1,3.2)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[ul](-0.666,0){A} \uput[r](0,1){K}
\uput[r](1,3){B} \uput[u](0.6,2.4){T}
\uput[u](2.3,2.1){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[r](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=purple]{
\psplot{-0.693}{0}{2.71828 x 2 mul exp 2 mul 2.71828 x exp sub 2.71828 x 2 
mul exp 2.71828 x exp sub 1 add div}
\psline(0,0)(-0.693,0)
}
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,3)(0,3)
\psline(-1.5,-2)(1.1,3.2)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{2.5}{2.71828 x 2 mul exp 2 mul 2.71828 x exp sub 2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp sub 1 add div}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)

\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On se propose de démontrer certaines propriétés de la courbe $\mathcal{C}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier la limite de $f$ en $- \infty$ et préciser l'asymptote à $\mathcal{C}$ correspondante.
		\item On admet que pour tout réel $x,~ f(x)$ peut se mettre sous la forme :

\[f(x) = \dfrac{2 - \text{e}^{-x}}{1 - \text{e}^{-x} + \text{e}^{-2x}}.\]

En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$ et préciser l'asymptote à $\mathcal{C}$ correspondante.
		\item  Vérifier, par le calcul, que le point A$(- \ln 2~ ;~ 0)$ est un point de la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item Grâce à une lecture graphique, répondre aux questions suivantes en justifiant vos réponses.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la valeur de $f'(0)$. 
		\item Donner le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B - étude d'une primitive de \boldmath $f$ 
\unboldmath sur  \boldmath $]- \infty~;~+ \infty[$ 
\unboldmath} 
\end{center}

Soit $F$ la fonction définie sur $]- \infty~;~+ \infty[$ par
	
\[F(x) = \ln \left(\text{e}^{2x} - \text{e}^x + 1\right).\]

et $\Gamma$ sa courbe représentative dans le repère orthonormé 
\Oij.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier la limite de $F$ en $- \infty$. Interpréter graphiquement ce résultat  pour la courbe $\Gamma$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que pour tout réel $x,~ F(x)$ peut 
s'écrire :

\[F(x) = 2x + \ln \left(1 - \text{e}^{-x} + \text{e}^{-2x}\right).\] 

		\item Calculer la limite de $F$ en $+ \infty$, puis la limite de $F(x) - (2x)$ en $+ \infty$.
		\item En déduire que la courbe $\Gamma$ admet une droite asymptote.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que $f$ est la fonction dérivée de $F$ sur $]- \infty~;~+ \infty[$.
		\item Vérifier que $F(- \ln 2) = \ln \dfrac{3}{4}$.
		\item Déduire de la \textbf{partie A} le tableau de variations de la fonction $F$.
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant en donnant les résultats à 
$10^{-2}$ près :

\medskip

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline
$x$ 	&$-3$	&$-2$	&$-1$	& 0	&0,5	&1	&1,5	&2	&2,5\\ \hline
$F(x)$	& 		& 		& 		& 	& 		& 	& 		& 	& \\ \hline
\end{tabularx}\] 

\medskip

\item Sur la feuille de papier millimétré, tracer dans le repère \Oij{} d'unités graphiques $4$~cm, les droites d'équations respectives $y = 2x$ et $y = 0$, puis la courbe $\Gamma$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textbf{Partie C - Calcul d'une aire} 
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{- \ln 2}^0  f(x)\: \text{d}x$.
\item En déduire la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire du domaine AOK (grisé sur la courbe jointe) et en donner une valeur approchée à un millimètre carré près par excès.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Génie civil Métropole septembre 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Génie civil Nouvelle-Calédonie décembre 2000
\hypertarget{Caledoniecivildec}{}

\label{Caledoniecivildec}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 2001}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}


\begin{center}{\decofourleft~\Large \textbf{Baccalauréat STI Nouvelle Calédonie décembre 2000~\decofourright \\[4pt]Génie énergétique, civil, mécanique}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$.

L'urne $U_{1}$ contient $4$ boules rouges portant respectivement les numéros 0, 1, 2, 4 et l'urne $U_{2}$ contient $3$ boules vertes portant respectivement les numéros 1, 3, 5.

On tire au hasard et simultanément une boule de l'urne $U_{1}$ et une boule de l'urne $U_{2}$.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  $a$ désigne le numéro de la boule tirée de $U_{1}$ et $b$ celui de la boule tirée de $U_{2}$.
\item[$\bullet~$] $z$ est le nombre complexe dont la partie réelle est $a$ et la partie imaginaire $b$. On suppose que les écritures algébriques $z = a + \text{i}b$ possibles sont équiprobables.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Les probabilités demandées seront données sous forme de fractions irréductibles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dresser une liste de toutes les écritures algébriques possibles de $z$.
\item Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item  $E_{1}$~:~\og $z = 1 + 3\text{i}$ \fg,
		\item  $E_{2}$~:~\og $z + \overline{z} = 2$ \fg.
	\end{enumerate}
\item   On désigne par $A$ l'évènement \og  le module de $z$ est $5$ \fg, et par $B$ l'évènement \og $z$ est un imaginaire pur \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité de l'évènement $A$ puis celle de l'évènement $B$. 
		\item  Définir par une phrase l'évènement $A ~\cap~ B$. Calculer la probabilité de cet évènement.
		\item  En déduire la probabilité de l'évènement $A~\cup~ B$.
	\end{enumerate}
\item  On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe $a + b$.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
		\item  Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item  Calculer l'espérance mathématique E($X$) de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On appelle $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle [0~;~1] par :

\[f(x) = \text{e}^x - 1.\]

On désigne par ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} ; unité graphique $10$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la courbe ($\mathcal{C}$).
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$.
		\item En déduire que la valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur l'intervalle [0~;~1] est égale à e $- 2$. Donner l'arrondi au centième de $\mu$.
	\end{enumerate}
On désigne par ($\mathcal{P}$) la partie du plan limitée par la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses et la droite d'équation $x =1$, et par ($\mathcal{R}$) la partie du plan limitée par la droite d'équation $y = \mu$,  l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x =1$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Représenter ($\mathcal{P}$) et ($\mathcal{R}$) en utilisant des hachures.
		\item Justifier le fait que ($\mathcal{P}$) et ($\mathcal{R}$) ont la même aire.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $V_{1}$ le volume, exprimé en unités de volume, du solide engendré par la rotation de la partie ($\mathcal{P}$) autour de l'axe des abscisses et par $V_{2}$ celui du solide engendré par la rotation de la partie ($\mathcal{R}$) autour du même axe.

\[(\text{On rappelle que}~ V_{1} =\pi \int_{0}^1  ~(f(x))^2\:\text{d}x.\]

On se propose de comparer $V_{1}$ et $V_{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de $V_{1}$.
		\item Calculer la valeur exacte de $V_{2}$.
		\item Calculer la valeur exacte de $V_{1} - V_{2}$ puis donner un arrondi au millième. Conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.

\textbf{Partie A :  détermination d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $\varphi$, définie sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ par :
 
\[\varphi(x) = a - (bx + 1)\ln (x + 1),\:\text{où}\: a\: \text{et}\: b \: \text{sont deux nombres réels.}\]

La courbe $\left(\mathcal{C}_{\varphi}\right)$ représentative de la fonction $\varphi$ satisfait aux conditions suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\left(\mathcal{C}_{\varphi}\right)$ passe par le point A de coordonnées (0~;~e),
\item[$\bullet~$] $\left(\mathcal{C}_{\varphi}\right)$ passe par le point B de coordonnées $(\text{e}- 1~;~0)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $a$ puis $b$.
\item En déduire $\varphi(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :  étude d'une fonction et tracé de sa courbe représentative}

\medskip
On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ par :
 
\[f(x) = \text{e} - (bx + 1) \ln (x + 1).\]

On désigne par $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sa courbe représentative.

\medskip

\begin{enumerate}
\item   
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la limite de $f$ en $- 1$ est égale à e. (On admettra que 
		
$\displaystyle\lim_{X \to 0} X \ln X =  0$).
		\item Calculer la limite de $f$  en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer, en la résolvant, que l'équation $f'(x) = 0$  admet une unique solution, notée $\alpha$, dans l'intervalle $]-1~;~+\infty[$.
		
Donner une valeur exacte puis la valeur décimale arrondie à $10^{- 2}$ de $\alpha$.
		\item Étudier le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $]- 1~;~+\infty[$.
		\item Calculer la valeur exacte de $f(\alpha)$ et sa valeur décimale arrondie à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item  Dresser le tableau de variations de $f$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les coefficients directeurs des tangentes $\left(T_{1}\right)$ et 
		$\left(T_{2}\right)$ à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ aux
points d'abscisses respectives $0$ et $\text{e} - 1$. 
		\item  Tracer les tangentes $\left(T_{1}\right)$  et $\left(T_{2}\right)$ et la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$\: (unité graphique : $5$~centimètres).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie C : calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $G$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ par :

\[G(x) = \dfrac{1}{4} (x + 1)^2 [\ln(x + 1) - 1].\]
 
Vérifier que $G$ est une primitive de la fonction qui, à $x$, associe $(x + 1) \ln (x + 1)$.

En déduire une primitive $F$ de $f$.

\medskip

\item On désigne par $(\mathcal{P})$ la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter $(\mathcal{P})$ sur la figure précédente en utilisant des hachures.
		\item  Calculer la valeur exacte de l'aire de la partie hachurée, en cm$^2$.
		
Donner sa valeur décimale arrondie à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Génie civil Nouvelle-Calédonie décembre 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Antilles Génie électrique juin 2000
\hypertarget{Antilleselectro}{}

\label{Antilleselectro}}
\lhead{\small Baccalauréat   Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{Antilles}}
\rfoot{\small{juin 2000}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles juin 2000~\decofourright\\[4pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip
 
On note i le nombre complexe de module 1 et dont un argument est 
$\dfrac{\pi}{2}$.

Soient les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ tels que $z_1 = 
\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}$ et $z_2 = 2 - 2\text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer le module et un argument
de chacun des deux nombres complexes $z_1$ et $z_2$. 
		\item Écrire le quotient $\dfrac{z_1}{z_2}$ sous la forme 
$r\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel.
	\end{enumerate}
\item $\mathcal{P}$ est le plan muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm dans lequel les points M$_1$ et M$_2$ sont les points d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$.

Dans ce plan :
	\begin{enumerate} 
		\item placer les points M$_1$ et M$_2$ ;
		\item montrer qu'il existe une rotation de centre O qui transforme M$_2$ en M$_1$.
		
Donner une mesure, en radian, de l'angle de cette rotation.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item En utilisant les formes algébriques de $z_1$ et de 
$z_2$ données dans l'énoncé, écrire le quotient $\dfrac{z_1}{z_2}$ sous forme algébrique.	
		\item Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de $\cos 
\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre l'équation différentielle $y'' + y = 0$, où $y$ désigne une fonction définie et deux fois dérivable  sur $\R$ et où $y''$ désigne la fonction dérivée seconde de la fonction $y$.
		\item Déterminer la solution particulière $f$ de cette équation différentielle vérifiant $f(0) = 1$ et $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0$. ($f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.)
	\end{enumerate}
\item L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk{} d'unité graphique
$4$~cm.

Le but de cette question est de calculer le volume V engendré par la rotation,
autour de l'axe des abscisses, du domaine D hachuré sur le dessin 
ci-dessous :

\begin{center} 
\psset{xunit=0.0444cm,yunit=2.4cm}\begin{pspicture}(-10,-0.2)(90,1.6)

\psline(-0.2,0)(100,0)
\psline(0,-0.2)(0,1.5)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](57.3,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,1){$\vect{\jmath}$}
\psline[linestyle=dashed](45,0)(45,1.414)
\uput[d](90,0){$\frac{\pi}{2}$}
\uput[d](45,0){$\frac{\pi}{4}$}
\uput[d](60,1){D}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(57.3,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psplot{0}{90}{x   cos x   sin add}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=cyan]
{\psplot{0}{90}{x  cos x  sin add}
\psline[linestyle=dashed](90,1)(90,0)(0,0)(0,1)
}
\psline[linestyle=dashed](90,0)(90,1)
\end{pspicture}
\end{center}

Dans le plan rapporté au repère \Oij{} le domaine D est limité par :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la courbe représentative de la fonction $f$ trouvée à la question  précédente ;
\item[$\bullet~$] l'axe des abscisses ;
\item[$\bullet~$] l'axe des ordonnées ;
\item[$\bullet~$] la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point de coordonnées  $\left(\dfrac{\pi}{2}~;~0\right)$.
\end{itemize}

\medskip

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout $x$ réel :

\[[f(x)]^2 = 1 + \sin (2x).\]

		\item Sachant que :

\[\text{V} = \pi\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} [f(x)]^2\:\text{d}x,\]
calculer la valeur exacte de V en unité de volume.

		\item Donner la valeur de V arrondie au mm$^3$. (Exprimer le résultat en 
cm$^3$.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

Dans ce problème :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] I désigne l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ ;
\item[$\bullet~$] $f$ désigne la fonction définie, pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^x - 1} ;\]

\item[$\bullet~$] $f$' désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ ;
\item[$\bullet~$] $\mathcal{C}_f$ désigne la courbe représentative de la 
fonction $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (O$x$,~ O$y$) d'unités graphiques 4~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}

\vspace{0,5cm}

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que, pour tout $x$ de l'intervalle I :

\[f(x) = \text{e}^x + 1 + \dfrac{1}{\text{e}^x - 1}.\]

		\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$, et la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$.
		
En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que, pour tout $x$ de l'intervalle I :

\[f'(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}\left(\text{e}^x - 2\right)}{\left(\text{e}^x  - 1\right)^2}.\]

		\item Étudier, pour tout $x$ de l'intervalle I, le signe de $f'(x)$.

En déduire le sens de variations de la fonction $f$ et que, pour tout $x$ de
l'intervalle I, $f(x)  > 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre, dans l'intervalle I, l'équation, d'inconnue
 $x,~ f(x) = \dfrac{9}{2}$.
		\item Déduire, du résultat obtenu à la question précédente, les coordonnées des points A et B, points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la droite dont une équation est $y = \dfrac{9}{2}$.

(A est le point d'intersection dont l'abscisse est la plus petite.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center} \textbf{Partie B} \end{center}

Soit la fonction $g$ définie, pour tout $x$ de l'intervalle I, par :
	
\[g(x) = \text{e}^x + 1.\]

On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le plan rapporté au repère (O$x$,~O$y$).
 
$\mathcal{C}_g$ est donnée sur le graphique ci-après.

On note $h$ la fonction définie, pour tout $x$ de l'intervalle I, par :

\[h(x) = f(x) - g(x).\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier, pour tout $x$ de l'intervalle I, le signe de $h(x)$ ; en déduire la position de la courbe $\mathcal{C}_f$, par rapport à la courbe $\mathcal{C}_g$.
		\item Résoudre dans l'intervalle I, l'inéquation, d'inconnue $x,~ h(x) 
\leqslant  0,05$.

On admet que deux points du plan de même abscisse sont indiscernables sur
un dessin dès que la différence de leurs ordonnées a une valeur absolue inférieure à $0,05$.

Déterminer un demi-plan dans lequel les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont indiscernables.
		\item Tracer, avec soin, la courbe $\mathcal{C}_f$ sur le graphique ci-après.
	\end{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ de I :

\[h(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x - 1} - 1~.\]

En déduire une fonction primitive de $h$ sur I.
\item Calculer l'aire S de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_f$, la courbe $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équations respectives $x = \ln 2$  et $x = \ln 3$.

(Exprimer le résultat en cm$^2$.)

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1.5,0)(2.5,9)
\psaxes[Dx=1,Dy=5](0,0)(-1.5,0)(2.5,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=1](0,0)(1,1)
\uput[d](2.5,0){$x$}
\uput[l](0,9){$y$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{2.08}{2.71828 x exp 1 add}
\uput[u](1.9,8.5){\blue $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture} 
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%  fin Antilles Génie électronique juin 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie électronique, optique juin 2000
\hypertarget{Metroelectro}{}

\label{Metroelectro}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2000}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 2000~\decofourright\\[4pt]Génie électrotechnique, électronique, optique } \end{center}

\vspace{0,5cm}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Un test d'aptitude consiste à poser à chaque candidat une série de 
quatre questions indépendantes. Pour chacune d'elles, deux réponses 
sont proposées dont une et une seule est correcte.

Un candidat répond chaque fois au hasard (on suppose donc 
l'équiprobabilité des réponses).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On note V une réponse correcte et F une réponse 
incorrecte : VFFV signifie que la première et la quatrième réponse 
sont correctes et la deuxième et la troisième sont incorrectes.

Établir la liste des seize résultats possibles (que l'on 
pourra présenter à l'aide d'un arbre).
\item Quelle est la probabilité pour que le candidat 
donne la bonne réponse :
	\begin{enumerate} 
		\item à la première question posée ?
		\item à une seule des questions posées ?
		\item aux quatre questions posées ?
	\end{enumerate}
\item Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre 
de réponses correctes données par le candidat.
	\begin{enumerate} 
		\item Donner les différentes valeurs prises par $X$.
		\item Donner la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\item Un candidat sera reconnu apte s'il donne au 
moins trois réponses correctes. Quelle est la probabilité qu'un 
candidat  répondant au hasard soit reconnu apte ?

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip
 
Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.\\
On considère les nombres complexes $z_{\text{A}} =  5 - 
5\text{i}$ et $z_{\text{B}}$ de module égal à $5\sqrt{2}$ et d'argument
égal à $- \dfrac{7\pi}{12}$, d'images respectives A et B.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item	
	\begin{enumerate} 
		\item Placer le point A.
		\item Calculer le module et un argument de $z_{\text{A}}$.
	\end{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ de $\C$ dans $\C$ définie 
par $f(z) = z\text{e}^{- \text{i} \frac{\pi}{3}}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la transformation géométrique associée à $f$.
		\item Montrer par le calcul que $f\left(z_{\text{A}}\right) = z_{\text{B}}$.
		\item En déduire la construction de B (on laissera les traits de la 
construction).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer $\text{e}^{- \text{i} \frac{\pi}{3}}$
sous forme algébrique.
		\item Calculer $f\left(z_{\text{A}}\right)$ sous forme algébrique.
		\item En déduire les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{- 7\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{- 7\pi}{12}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\centerline{\textbf{Les trois parties du problème peuvent être traitées 
séparément.}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A : Exploitation d'un graphique}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$, dont la représentation  graphique $(\mathcal{C})$ obtenue sur l'écran d'une calculatrice est donnée sur la figure (1) ci-dessous.

\vspace{1cm}

\begin{center}
\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,-1)(10,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(0,-1)(10,10)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-1)(10,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.5pt](0,1)(10,1)
\uput[r](10,1){$\Delta$} \uput[r](10,0.4){\blue $(\mathcal{C})$} 
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{.397}{10}{3 4 x mul sub x dup mul add x dup mul div}
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,4cm}

On précise que la courbe $(\mathcal{C})$ ne coupe l'axe des abscisses qu'en deux points et qu'elle admet l'axe des ordonnées et la droite $(\Delta)$ qui est parallèle à l'axe des abscisses comme asymptotes :

\textbf{I} À partir de cette représentation graphique :

\medskip

\begin{enumerate} 
\item déterminer :
	\begin{enumerate}
		\item la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ ;
		\item la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers l'infini.
	\end{enumerate}
\item dresser un tableau donnant le signe de $g(x)$ lorsque 
$x$ décrit l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}
		
\textbf{II}	On admet que : $g(x) = \dfrac{ax^2 + bx + 
c}{x^2}$  où $a,~ b$ et $c$ sont trois nombres réels.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item En calculant la limite de $\dfrac{ax^2 + bx + 
c}{x^2}$ lorsque $x$ tend vers l'infini, montrer que $a = 1$.
\item Lire $g(1)$ et $g(3)$ sur le graphique et en déduire un système de deux équations permettant d'obtenir $b$ et $c$.
\item Résoudre ce système et exprimer $g(x)$ en 
remplaçant $a,~ b$ et $c$ par leurs valeurs.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$	par :

\[f(x) = - \dfrac{3}{x} -  4 \ln x + x.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item En mettant $x$ en facteur  dans l'expression de  $f(x)$, montrer que la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ est égale à $+ \infty$.
		\item En mettant $\dfrac{1}{x}$ en facteur dans l'expression de 
$f(x)$, montrer que la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 0 est égale 
à $- \infty$. (On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to 0} (x \ln x) = 0.$)
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = g(x)$.
		\item Utiliser les résultats de la \textbf{partie A} pour en déduire 
le tableau de variation de $f$.
		\item Calculer les valeurs exactes de $f(1)$ et $f(3)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II} En utilisant le tableau de variations de $f$, justifier 
que l'équation $f(x) = 0$

\medskip

\begin{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate} 
		\item n'admet pas de solution dans l'intervalle $]0~;~3[$,
		\item admet une solution unique, notée $x_{0}$ dans l'intervalle $[3~;~10]$,
		\item n'admet pas de solution dans l'intervalle $]10~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Compléter le tableau (document à rendre avec votre copie) et en déduire un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $x_{0}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Calcul d'aires}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $f(\sqrt{3}) = - 2 \ln 3$ (détailler les calculs sur votre copie).
\item Le tracé de la courbe $(\mathcal{C})$ représentant $g$ dans un repère orthogonal \Oij{}  est donné sur la figure (2). (Document à rendre avec votre copie).
	\begin{enumerate} 
		\item Soit D le domaine compris entre l'axe des abscisses et la courbe $(\mathcal{C})$ d'une part et les droites d'équations : $x = 1$ et $x = 3$ d'autre part. 	

Calculer la valeur exacte de son aire A exprimée en unités d'aires. (On 
rappelle que $g = f'$).
		\item Tracer la droite (L) d'équation $x = \sqrt{3}$ et montrer 
qu'elle partage le domaine D en deux domaines d'aires égales.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\shadowbox{\textbf{DOCUMENT À RENDRE AVEC LA COPIE}}
    
\textbf{Tableau à compléter (partie B 2)}
    
\[\begin{array}{| *{12}{c|}}\hline
x 		&9,15 	&9,16 	&9,17 	&9,18 	&9,19 	&9,20 	&9,21 	&9,22 	&9,23 	&9,24 	&9,25\\ \hline
f(x)	&		&		&		&		&		&		&		&		&		&		&\\ \hline
\end{array}\]
    
\vspace{0,8cm}

\textbf{Figure 2}

\vspace{0,4cm}

\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(4,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(0,-1)(4,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-1)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{.646}{4}{3 4 x mul sub x dup mul add x dup mul div}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie électronique juin 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie électronique septembre 2000
\hypertarget{Metroelectrosep}{}

\label{Metroelectrosep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2000}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2000~\decofourright\\[4pt]Génie électronique, électrotechnique, optique } \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation

\[z^2 - 6z + 12 = 0.\]

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm, placer les points A et B images respectives des nombres complexes $z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}$ où  $\overline{z_{\text{A}}}$ désigne le nombre complexe conjugué de $z_{\text{A}}$.
		\item Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous la forme 
$r\text{e}^{\text{i}\theta}$ avec $r> 0$ et $\theta$ réel.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $\dfrac{z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}}$.
		\item En déduire que  $z_{\text{B}} = z_{\text{A}}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et interpréter géométriquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\item On pose : $z'= z - 2 + \text{i}\sqrt{3}$. On  note T la transformation géométrique du plan qui à tout point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z'$.
	\begin{enumerate} 
		\item Caractériser cette transformation T.
		\item Calculer l'affixe $z_{\text{D}}$ de l'image D du point A par cette transformation.
		\item Calculer l'affixe du point C tel que ABCD soit un parallélogramme.
		\item Compléter la figure en plaçant C et D.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Soient I et J les intégrales définies par :

\[\text{I} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{e}^{-x} \sin 
x\:\text{d}x \qquad  \text{et} \qquad  \text{J} = 
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{e}^{-x} \cos x\:\text{d}x.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $f$ et $u$ les fonctions définies sur 
l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x)= \text{e}^{-x}(\cos x - \sin x) \qquad \text{et} \qquad  u(x) = 
\text{e}^{-x} \sin x.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $u$ est une primitive de $f$.
		\item En déduire la valeur exacte de l'intégrale K $= 
\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)\:\text{d}x$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction  dérivée de $f$.
		\item En déduire la valeur exacte de l'intégrale J.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une relation entre I, J et K.
		\item En déduire la valeur exacte de l'intégrale I.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \left(x^2 + x + 2\right)\text{e}^{\frac{x}{2}}.\]

Soit ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij, unité : $2$~cm.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$en $+ \infty$.
		\item En remarquant que :

\[f(x) = \left(1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x^2}\right)x^2 \text{e}^{\frac{x}{2}}.\]

et en admettant que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 
\left(x^2\text{e}^{\frac{x}{2}}\right) = 0$, déterminer la limite de $f$ 
en $- \infty$. Que peut-on en déduire pour ($\mathcal{C}$) ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f'(x)$. Montrer que :
	
\[f'(x) = \dfrac{1}{2}\left(x^2 + 5x + 4\right)\text{e}^{\frac{x}{2}}.\]

		\item Étudier le signe de $f'(x)$.

En déduire le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite (D), tangente à ($\mathcal{C}$) en son point d'abscisse $- 2$.
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$		&$- 7$	&$- 6$	&$- 5$	&$- 4$	&$- 3$	&$- 2$	&$- 1$	&0	&0,5	&	1\\ \hline
$f(x)$	& 		& 		& 		& 		& 		& 		& 		& 	& 		&  \\ \hline
\end{tabularx}\]

Les valeurs de $f(x)$ seront arrondies avec deux décimales.

Représenter (D) puis ($\mathcal{C}$) dans le repère \Oij.

\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[g(x) = \left(ax^2 + bx + c\right)\text{e}^{\frac{x}{2}},\]

où $a,~b$ et $c$ sont des constantes réelles.

Calculer $g'(x)$. Déterminer les nombres $a,~ b$ et $c$ pour que $g$ soit une primitive de $f$ sur $\R$.

\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[-4~;~ 0]$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie optique septembre 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Génie des matériaux Antilles--Guyane juin 2000
\hypertarget{Antillesmateriaux}{}

\label{Antillesmateriaux}
\lhead{\small Baccalauréat Génie mécanique (B, C, D, E), des matériaux}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2000}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat STI Antilles--Guyane juin 2000~\decofourright\\[4pt]Génie mécanique (B, C, D, E), des matériaux } \end{center}

\vspace{0,5cm}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Une enquête a été effectuée auprès de $450$~jeunes titulaires d'un baccalauréat d'enseignement général ou technique, $3$ ans après l'obtention de leur diplôme :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 20\:\% sont titulaires d'un bac STI ; 
\item[$\bullet~$] le tiers des 450~jeunes interrogés ont un emploi ; 
\item[$\bullet~$] 220 continuent leurs études; parmi eux, 15\:\% sont titulaires d'un bac STI ; 
\item[$\bullet~$] 95\:\% de ceux qui sont au chômage sont titulaires d'un bac autre que STI.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau des effectifs suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{3}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}>{\small}c|}\hline
\diagbox{Nature \\du Bac}{Situation}& Ont un emploi&Continuent leurs études &Sont au chômage &Total \\ \hline
Bac STI		&	&		&	&  \\ \hline 
Autre Bac	&	&		&	&  \\ \hline 
Total		&	&220 	&	&450 \\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Dans cette question, les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
 
On choisit un jeune au hasard parmi les $450$~interrogés.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les probabilités des évènements suivants :
		 
$A$ : \og le jeune a un bac STI \fg{} ;
 
$B$ : \og le jeune continue ses études \fg. 
		\item Définir par une phrase l'évènement $A ~\cap~ B$.

Déterminer la probabilité de l'évènement $A ~\cup~ B$.
		\item Définir par une phrase l'évènement $A ~\cup~ B$.
		
Déterminer la probabilité de l'évènement $A ~\cup~ B$.
		\item le jeune choisi au hasard est titulaire du bac STI. Quelle est la probabilité $p$ pour qu'il ait un emploi ?  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.
 
On désigne par A le point d'affixe $Z_{\text{A}} = 2 + \text{i}\sqrt{2}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : 

\[z^2 + 2\sqrt{2}z + 6 = 0.\]
 
On appelle $z_{\text{B}}$ la solution de cette équation dont la partie imaginaire est positive.
 
Placer dans le plan complexe les points A et B d'affixes respectives $Z_{\text{A}}$ et $Z_{\text{B}}$. 
 
\item  Montrer que les points A et B appartiennent au cercle $(\mathcal{C})$ de centre O et de rayon $\sqrt{6}$.
\item  Soient I, J et K les points d'affixes respectives $z_{\text{I}},~ z_{\text{J}}$ et $z_{\text{K}}$ telles que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]$z_{\text{I}} = 2\text{i}$ ; 
\item[$\bullet~$] $z_{\text{J}}$ est le nombre complexe de module 2 et d'argument $\dfrac{3\pi}{4}$ ; 
\item[$\bullet~$] $z_{\text{K}} = - z_{\text{J}}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la forme algébrique de $z_{\text{J}}$. 	
		\item Placer les points I, J et K dans le plan complexe.
		
Quelle est la nature du triangle IJK ? Justifier. 

Donner le rayon du cercle $(\mathcal{C}')$ circonscrit au triangle IJK.
	\end{enumerate} 	
\item Soit E l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie la relation : 

\[2 < |z| < \sqrt{6}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer les cercles $(\mathcal{C})$  et $(\mathcal{C}')$.
		\item Représenter l'ensemble E sur le graphique précédent à l'aide de hachures.

Justifier.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

le but de ce problème est d'étudier la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = - \text{e}^{2x} + 4\text{e}^x - \dfrac{7}{4}.\]
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : $2$~cm).

\medskip
 
\textbf{Partie A - Résolution d'une inéquation}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Résoudre, dans l'ensemble des nombres réels, l'inéquation d'inconnue $y$ : 

\[- y^2 + 4y - \dfrac{7}{4} \geqslant  0\]

\item  Déduire de la question précédente que l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $- \text{e}^{2x} + 4\text{e}^x - \dfrac{7}{4}$ est positif ou nul est l'intervalle $\left[- \ln 2~;~\ln \dfrac{7}{2}\right]$.
 
(On pourra poser : $\text{e}^x = y$.)
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B - Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath et tracé de sa courbe  représentative}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $- \infty$.
		 
En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $\Delta$ dont on donnera une équation. 
		\item  Montrer que :
		 
\[f(x) = \text{e}^x\left(- \text{e}^x + 4 - \dfrac{4}{4\text{e}^x}\right).\]

En déduire la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$. Montrer que $ f'(\ln 2) = 0$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ pour $x$ élément de $\R$ et en déduire le tableau de variations de $f$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de E, point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des ordonnées.
		\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ en ce point. 
	\end{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous en donnant pour $f(x)$, lorsque c'est nécessaire, des valeurs décimales arrondies à $10^{-2}$ près. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$-4$	&$-2$	&$-1$	&0	&$\ln 2$&1	&$\dfrac{3}{2}$ \\ \hline
$f(x)$	&		&		&		&	&		&	&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Tracer avec précision la tangente T et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C - Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$. 
\item À l'aide de la partie A, étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses.
 
Préciser les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses.
\item  On note $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en cm$^2$, de la portion du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses. 

Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis en donner une approximation décimale à $10^{-2}$ près. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Génie des matériaux Antilles--Guyane juin 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie des matériaux juin 2000
\hypertarget{Metromateriaux}{}

\label{Metromateriaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2000}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 2000~\decofourright\\[4pt]Génie mécanique (B, C, D, E), des matériaux } \end{center}

\vspace{0,5cm}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes 
l'équation suivante :

\[z^2 - 2z + 4 = 0.\]

On appellera $z_1$ la solution dont la partie imaginaire est positive et 
$z_2$ l'autre solution.

\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv~ d'unité
graphique $2$~cm.

On appelle A$_0$, A$_1$ et A$_2$ les points d'affixes respectives

\[z_0 =  3 + \text{i}\sqrt{3}\quad ; \quad z_1 = 1 + \text{i}\sqrt{3}\quad ;
 \quad z_2 = 1 -\text{i}\sqrt{3}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Placer les points A$_0$, A$_1$ et A$_2$ dans le plan complexe.
		\item Démontrer que le triangle A$_0$A$_1$A$_2$ est rectangle.
		\item En déduire le centre et le rayon du cercle $\Gamma$ passant par A$_0$, A$_1$ et A$_2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Pour imiter la Française des jeux, un particulier crée un jeu de loterie 
instantanée pour lequel $500$ tickets ont été imprimés.

Les tickets gagnants se répartissent de la manière suivante :

\medskip

\begin{center} 
\begin{tabular}{|*{2}{c|}}\hline
Nombre de tickets &Somme en francs gagnée par ces tickets\\ \hline
1 & 	\np{1000}\\ \hline
4 & 	$200$\\ \hline
5 & 	$100$\\ \hline
$90$ &	$10$\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la probabilité qu'un ticket tiré au hasard soit un ticket gagnant.
\item Le prix de vente du ticket est de $10$ francs.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque ticket, associe son gain (en
tenant compte des $10$~francs d'achat : à chaque ticket gagnant $100$~F, $X$ associe
ainsi 90 F).
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer toutes les valeurs prises par $X$.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $X = - 10$.
		\item Déterminer la loi de probabilité associée à $X$.
		\item Calculer et interpréter l'espérance de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\begin{center} 
\textbf{Partie A - étude d'une fonction auxiliaire} 
\end{center}

Soit $g$ la fonction numérique de la variable réelle x définie sur $]1~;~ + 
\infty[$ par

\[g(x) = 1 - \dfrac{x - 1}{\text{e}^x}.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la valeur exacte de $g(2)$.
\item Calculer la limite de la fonction $g$ en 1.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item En remarquant que :

\[g(x) = 1 - \dfrac{x}{\text{e}^x} + \dfrac{1}{\text{e}^x},\]
calculer la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$.

		\item Déduire de \textbf{3. a.} que la courbe représentative de la 
fonction $g$ admet une asymptote horizontale en $+ \infty$, dont on précisera
 une équation.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction 
$g$. Calculer $g'(x)$.
		\item Étudier le signe de $g'(x)$ sur $] 1~;~ +\infty[$.
		\item Dresser le tableau de variations de $g$.
		\item En déduire le signe de $g(x)$ sur $]1~;~ + \infty[$.

(On ne demande pas de tracer la courbe représentative de la fonction $g$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} 
\textbf{Partie B - étude d'une fonction et tracé
de sa courbe représentative} 
\end{center}

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $]1~;~ + \infty[$  par :

\[f(x) = \dfrac{1}{\text{e}^x} - \dfrac{1}{\text{e}^2} +  \ln (x - 1).\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij, d'unité graphique $5$~cm.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite de la fonction 
$f$ en $1$.

En déduire l'existence d'une asymptote $\Delta$ à la courbe $\mathcal{C}$, dont on précisera une équation.
		\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
 Calculer $f'(x)$.
		\item Montrer que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x - 1}$.
		\item En déduire le sens de variations de $f$ sur  $]1~;~ + \infty[$.	Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f(2)$.
		\item Tracer la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère défini précédemment.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} 
\textbf{Partie C - Calcul d'aire} 
\end{center}

On considère la fonction numérique $F$ de la variable réelle $x$ définie 
sur $]1~;~+ \infty[$ par :

\[F(x) = - \dfrac{1}{\text{e}^x} + (x- 1) \ln (x - 1) - \left(1 + 
\dfrac{1}{\text{e}^2}\right)x.\]

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]1~;~ + \infty[$.
\item
	\begin{enumerate} 
		\item On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire en cm$^2$ de la
 partie de plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, les 
 droites d'équations $x = 2$ et $x = 3$.
 
Déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$.
		\item Donner une valeur de $\mathcal{A}$ en cm$^2$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie des matériaux juin 2000
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie des matériaux septembre 2000
\hypertarget{Metromateriauxsep}{}

\label{Metromateriauxsep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2000}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~ Baccalauréat STI Métropole septembre 2000~\decofourright\\[4pt]Génie des matériaux, mécanique } 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle
 
\[(E) : \quad  16y'' + y = 0,\]

 dans laquelle l'inconnue $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$, et $y''$ la dérivée seconde de $y$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$. 
\item Déterminer la solution particulière $g$ de $(E)$ telle que: 

\[g(0) = - \sqrt{3}\quad  \text{et}\quad  g'(\pi) = \dfrac{\sqrt{2}}{8} \left(\sqrt{3} + 1\right).\]
 
\item Montrer que pour tout $x$ de $\R$ on a : $g(x) = 2 \sin \left(\dfrac{x}{4} - \dfrac{\pi}{3}\right)$. 
\item Résoudre dans $[0~;~ 8\pi[$ l'équation : $g(x) = 1$. 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, d'unité graphique $1$~cm.
 
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
\begin{enumerate}
\item  Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation: 

\[z^3 - 12z^2 + 48z = 0.\]

\medskip

\item Soient A et B les points du plan d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ telles que : 

\[z_{\text{A}} = 6 + 2\text{i}\sqrt{3}\quad  \text{et} \quad  z_{\text{B}} = 6 - 2\text{i}\sqrt{3}.\] 

	\begin{enumerate}
		\item Placer A et B dans le plan. 
		\item Calculer le module et un argument de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. 
		\item Démontrer que le triangle OAB est équilatéral. 
		\item  Soit $\Omega$ le point d'affixe 4.
		 
Démontrer que les points O, A et B se trouvent sur un cercle $(\Gamma)$ de centre $\Omega$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip 
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle I $= ]0~;~+ \infty[$ par : 

\[g(x) = x^2 - 2\ln x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $g$ et dresser son tableau de variations.
 
(On ne demande pas de calculer les limites aux bornes de I.)
\item En déduire que pour tout nombre réel $x$ strictement positif : $g(x) > 0$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I par : 

\[f(x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{2} + \dfrac{1 + \ln x }{x}. \]

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier la limite de $f$ en $0$ et en déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$.
		\item  En remarquant que $f(x)$ peut s'écrire : 
 
\[f(x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{\ln x }{x}.\] 

étudier la limite de $f$ en $+ \infty$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle I, $f'(x) = \dfrac{g(x)}{2x^2}$. 
		\item  Déduire de la Partie A le signe de $f'(x)$, puis le sens de variation de la  fonction $f$ sur l'intervalle I. 
		\item  Dresser le tableau de variations de $f$. 
	\end{enumerate} 
\item Soit $(D)$ la droite d'équation : $y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $(D)$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$.  
		\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection de la courbe $(\mathcal{C})$ et de la droite $(D)$.
		\item  Sur l'intervalle I, déterminer la position de la courbe $(\mathcal{C})$ par rapport à la droite $(D)$.
	\end{enumerate} 
\item Construire avec soin, dans le repère \Oij, la droite $(D)$ et la courbe  $(\mathcal{C})$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle I par : 

\[h(x) = \dfrac{1 + \ln x}{x}.\]
 
\begin{enumerate}
\item  En remarquant que $h(x)$ est de la forme $u'(x) u(x)$, déterminer une primitive de la fonction $h$.
\item  On considère la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite $(D)$ et les droites d'équation :  $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = \text{e}^2$.
 
Hachurer cette partie de plan, puis calculer son aire en cm$^2$. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie des matériaux septembre 2000
\end{document} 