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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\vspace{1cm}
\rhead{\small L'intégrale 2003}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI  2003~\decofourright \\[8pt] L'intégrale de juin à novembre 2003}}

\vspace{0,25cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}}
 \end{center}
 
\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\hyperlink{Metroappli}{Métropole  Arts appliqués  juin 2003} \dotfill \pageref{Metroappli}\\
\hyperlink{Metroapplisep}{Métropole Arts appliqués septembre 2003} \dotfill \pageref{Metroapplisep}\\
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\hyperlink{Caledocivilnov}{Nouvelle--Calédonie Génie civil  nov. 2003} \dotfill \pageref{Caledocivilnov}\\
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\hyperlink{Metroelectro}{Métropole Génie électronique  juin  2003}  \dotfill \pageref{Metroelectro}\\
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\hyperlink{Metromateriaux}{Métropole  Génie des matériaux  juin 2003} \dotfill \pageref{Metromateriaux}\\
\hyperlink{Metromateriauxsep}{Métropole Génie des matériaux  septembre  2003} \dotfill \pageref{Metromateriauxsep}\\
\end{tabularx}

\newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%   Métropole Arts appliqués juin 2003
\hypertarget{Metroappli}{} 

\label{Metroappli}
\lhead{\small Baccalauréat STI Arts appliqués}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 2003~\decofourright\\[5pt]Arts appliqués }}\end{center} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}
 
\medskip
 
Dans un repère \Oij{~} d'unité graphique $1$~cm, placer les quatre points A(5~;~0), B(0~;~3), A$'(-5~;~0)$ et B$'(0~;~-3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner l'équation de l'ellipse (E) de centre O et d'axes [AA$'$] et  [BB$'$].
\item Montrer que si le point $M(x~;~y)$ est sur (E), 
 alors $M_1(- x~;~y)$,
 
$M_2(- x~;~- y)$ et $M_3(x~;~-y)$ sont aussi sur (E).
\item Tracer l'ellipse (E).
\item Calculer les coordonnées des deux foyers F et F$'$ ; les placer.
\item On donne M$\left(3~;~\dfrac{12}{5}\right)$	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les longueurs MF, MF$'$ puis MF + MF$'$.
		\item Que remarque t-on ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 12 points}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 4~;~ 10 [$ par

\[f(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 15}{x + 4}\]

et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère 
 \Oij{} d'unité graphique $1$~cm.
 
\bigskip
	
\textbf{Partie A }

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-4$.
\item En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ dont on précisera une équation. 
\end{enumerate} 
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie par
 
\[f'(x) = \dfrac{(x + 1)(x + 7)}{(x + 4)^2}.\]

Étudier son signe et dresser le tableau de variations de la 
 fonction $f$.
\item Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe
 $(\mathcal{C})$ avec les axes du repère.
\item Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$
 au point M d'abscisse $2$.
\item Tracer dans le repère \Oij{} la courbe $(\mathcal{C})$, la tangente (T) et l'asymptote.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f(x) = x - 6 + \dfrac{9}{x+4}$.
		\item En déduire une primitive $F$ de $f$ sur ]$-4 ~;~ 10$[.
	\end{enumerate}
\item Calculer en cm$^2$ l'aire du domaine limité par la courbe
 $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = - 3$ 
 et $x =  5$. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Arts appliqués Métropole juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Arts appliqués  septembre 2003
\hypertarget{Metroapplisep}{} 

\label{Metroapplisep}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft ~Baccalauréat STI Métropole septembre 2003~\decofourright\\[5pt]Arts appliqués}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  8 points}

\medskip

Un sondage réalisé auprès de $600$ jeunes qui partent en vacances révèle que  parmi eux :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Un tiers part avec des amis,
\item[$\bullet~$] 70\,\% restent en France.
\item[$\bullet~$] Parmi ceux qui vont en vacances à l'étranger, $20\,\%$ partent  avec des amis.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau des effectifs suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}\linewidth{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}	&	Avec des amis	& Sans les amis& Total\\ \hline
En France 						& 								& 							& \\ \hline
à l'étranger 			&   36 					& 							& \\ \hline
Total 								& 								& 							& 	$600$ \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\item On choisit un jeune au hasard parmi ces $600$ jeunes. On considère les 
évènements suivants :

$F$ : \og Le jeune choisi reste en France\fg{}

$A$ : \og Le jeune choisi part avec des amis \fg.

	\begin{enumerate}
		\item Définir par une phrase les évènements 
$\overline{F},\: F \cup A$.
		\item Calculer les probabilités des évènements suivants : 
		$\overline{F},\: F \cap  A,\: F \cup  A$. (On écrira les résultats sous forme de fraction irréductible).
	\end{enumerate}
\item On choisit un jeune parmi ceux qui partent sans les amis. Déterminer la probabilité pour que ce jeune aille à l'étranger.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I = $\left[\dfrac{3}{4}~;~ 
4\right]$ par :

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x^2}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = 
\dfrac{1 - 2\ln x}{x^3}$.
\item Pour $x$ appartenant à I, résoudre l'inéquation : $1 - 2 \ln x > 0$.

En déduire, suivant les valeurs de $x$, le signe de $f'(x)$ sur I.
\item Donner le tableau des variations de $f$ et donner une valeur 
approchée à $10^{-2}$ près du maximum.
\item Montrer, en utilisant le tableau des variations, que 
l'équation $f(x) = 0,1$ admet deux solutions dans I.

À l'aide d'une calculatrice, donner une valeur approchée, à $10^{-2}$ 
près, de chacune de ces solutions.
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère  orthogonal \Oij{} (unités : $4$~cm sur l'axe des abscisses, $10$~cm sur l'axe des  ordonnées).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une petite entreprise fabrique et vend des boîtes de jeu.

Lorsqu'elle vend $x$ centaines de ces boîtes $\left(x \leqslant 
x \leqslant 4\right)$, le bénéfice net $B(x)$ réalisé s'exprime en 
milliers d'euros, par : $B(x) = \dfrac{\ln x}{x^2}$.

Déterminer :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre minimum de boîtes de jeu à vendre pour que ce soit  rentable.
\item Le nombre de boîtes de jeu à vendre pour que le bénéfice soit 
maximal. Quel est alors ce bénéfice ?
\item Le nombre de boîtes de jeu à vendre si l'entreprise veut gagner 
au moins $100$~euros (on utilisera une méthode graphique en faisant apparaître sur la  courbe les tracés utiles).
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Arts appliqués Métropole septembre 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%  La Réunion Génie civil, mécanique juin 2003
\hypertarget{Reunioncivil}{} 

\label{Reunioncivil}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie civil, énergétique, mécanique}
\lfoot{\small La Réunion}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
 
\begin{center}{\decofourleft~\Large \textbf{Baccalauréat STI La Réunion  juin 2003~\decofourright\\[5pt]Génie énergétique, civil, mécanique}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv{}, d'unité graphique $2$~cm. On note i le sombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $P(z) = z^3 - \left(1 +  2\sqrt{3}\right)z^2 + \left(12+2\sqrt{3}\right)z  - 12$ où $z$ est un nombre complexe.
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que $P(1) = 0$.
		\item Déterminer le réel $b$ tel que $P(z) = (z - 1)\left(z^2 + bz + 12\right)$.
		\item Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes $\C$, l'équation  d'inconnue $z$

	\[z^2 - 2z\sqrt{3} + 12 = 0.\]
	
		\item  Déduire des questions précédentes la résolution dans $\C$ de l'équation $P(z) = 0$.
\end{enumerate}
\item Dans le plan complexe, soit A, B, C et D les points d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = \sqrt{3} +  3\text{i},~ z_{\text{B}} = 1,~ z_{\text{C}} = 4 + \left(1 - \sqrt{3}\right)\text{i} \quad \text{et}\quad z_{\text{D}} = \left(3 + \sqrt{3}\right) + \left(4 - \sqrt{3}\right)\text{i}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Placer ces quatre points dans le repère \Ouv.
		\item Calculer les affixes des milieux des segments [AC] et [BD].En déduire que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
		\item Démontrer que ABCD est un carré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle (E) : $9y'' + y = 0$ où $y$  est une fonction numérique définie et deux fois dérivable sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E).
\item Déterminer la solution particulière $f$ qui vérifie les conditions $f(0) = 1$ et 

$f'(0) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
\item Montrer que pour tout réel $x,~f(x)$ peut s'écrire sous la forme :

\[f(x) = 2 \cos\left(\dfrac{x}{3} - \dfrac{\pi}{3}\right).\]

\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0~;~\pi].$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip

On définit sur $\R$ deux fonctions $f$ et $g$ par 

\[ f(x) = 2x^2 + \text{e}^{-2x}\: \text{et}\; g(x) = 2x^2 - \text{e}^{-2x} \]

Ces fonctions sont représentées par les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$	 dans un repère orthogonal \Ouv{} sur le graphique suivant :

\psset{xunit=4cm}\begin{pspicture}(-0.8,-2)(2,5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=5](0,0)(-0.8,-2)(2,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](2,0){$x$} \uput[r](0,5){$y$} 
\uput[dl](0,0){O} \uput[r](0,1){1}
\uput[d](-0.2,2.5){\blue $\mathcal{C}$} \uput[d](-0.2,-0.9){\cyan $\Gamma$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.7}{1.55}{x dup mul 2 mul 2.71828 2 x mul neg  exp add} 
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-0.3}{1.55}{x dup mul 2 mul 2.71828 2 x mul neg  exp sub} 
\end{pspicture}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(0)$ et $g(0)$.
		\item Associer alors à chaque fonction sa courbe représentative.
	\end{enumerate} 
\item  Justifier par le calcul que la courbe $\mathcal{C}$ est située au-dessus de la courbe $\Gamma$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :} étude de la fonction $f$ à l'aide d'une fonction auxiliaire $h$

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $- \infty$. 
		\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item  Soit la fonction auxiliaire $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = 2x - \text{e}^{-2x}$.

Montrer que $h$ est strictement croissante sur $\R$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $h(x) = 0$ a une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~1]$ et justifier que cette équation n'a pas d'autre solution dans $\R$.
		\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à 0,1 près.
		\item Déterminer le signe de $h(x)$ sur les intervalles $]- \infty~;~\alpha[$ et $]\alpha~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x,~ f'(x) =  2h(x)$.
		\item Déduire des questions 3. c. et 4. a. le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$. Calculer une valeur approchée de $f(\alpha)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
  
\bigskip
 
\textbf{Partie C :}  comportement des courbes $\mathcal{C}$ et  $\Gamma$ pour $x$ assez grand

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f(x) - g(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x) -g(x) \leqslant \dfrac{1}{10}$.  Donner une interprétation graphique du résultat.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $\lambda$ réel	strictement positif soit
$I(\lambda) = \displaystyle\int_{0}^{\lambda} \left[f(x) - g(x)\right]\,\text{d}x$.

Montrer que $I(\lambda) = 1  - \text{e}^{-2\lambda}$.
		\item Calculer la limite de $I(\lambda)$ quand $\lambda$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin La Réunion  Génie civil juin 2003
 \newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie civil, énergétique juin 2003
\hypertarget{Metrocivil}{} 

\label{Metrocivil}
\lfoot{\small Métropole juin 2003}
\rfoot{\small{}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 2003~\decofourright\\[5pt]Génie énergétique, génie civil, génie mécanique}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation

\[z^2 - 6z + 34 = 0.\]

\item Soient A, B et C les points d'affixes respectives 
$z_{\text{A}} = - 3 + 5\text{i},~ z_{\text{B}} = 3 - 55\text{i}$ et 
$z_{\text{C}} = 4\text{i}$.

	\begin{enumerate}
		\item Placer A, B et C dans le repère.
		\item Calculer les modules des nombres complexes $z_{\text{A}} - 3,~ 
z_{\text{B}} - 3$ et $z_{\text{C}} - 3$. En déduire que les points A, B
et C sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
	\end{enumerate}
\item Soit D le symétrique de A par rapport à C et E le symétrique
 de B par rapport à C. Placer les points D et E dans le repère. Montrer que ABDE est un losange. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Soit (E) l'équation différentielle 

\[y' + 2y = 0\]

où $y$ est une fonction numérique définie et dérivable sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation (E).
		\item Déterminer la solution $f$ de (E) telle que $f(0) = 1$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[0~;~10]$.
		\item Déterminer, en fonction de $n$, la valeur moyenne de $f$ sur
 l'intervalle $[n~;~n+1]$. 
	\end{enumerate} 
\item Soit $(u_n)$, la suite définie par $u_n = n \left(1 -\text{e}^{-2}\right)\text{e}^{-2n}$ pour tout $n$ entier positif ou nul.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de $u_0,~ u_1$ et $u_2$.
		\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont
 on précisera le premier terme et la raison.
		\item Déterminer la valeur exacte de la somme $u_0 + 
u_1 + \cdots + u_9$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{- 3 - 2x}{\text{e}^x}.\]

On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative
 de la fonction $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique $1$~cm.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A : étude de la fonction } \boldmath $f$ 
\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		\item En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$. On précisera son équation. 
	\end{enumerate}  
\item Calculer $f'(x)$, où $f$ désigne la fonction dérivée de $f$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation d'inconnue $x~:~ f(x) = 0$.
 En déduire, en fonction de $x$ réel, le signe de $f(x)$.
\item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère indiqué.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Détermination d'une primitive et calculs d'aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $F$ définie par $F(x) = 
\dfrac{2x + 5}{\text{e}^x}$ est une  primitive de $f$ sur $\R$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer l'aire du domaine délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = - \dfrac{3}{2}$ et $x =  5$.
		\item	Calculer la valeur, en cm$^2$, de cette aire, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près. 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $x$ de $\R$, on pose $g(x) = - f(x)$ et on appelle  $(\Gamma)$ la courbe représentative de la fonction $g$. Tracer la courbe $(\Gamma)$ dans le même repère que la courbe $(\mathcal{C})$.
		\item Soit $\mathcal{A}(\alpha)$ l'aire du domaine compris entre les courbes $(\mathcal{C})$  et $(\Gamma)$ et les droites d'équation $x = - \dfrac{3}{2}$ et $x =   \alpha$ (où $\alpha$ est un réel positif donné). Calculer, en cm$^2$ et en fonction de $\alpha$, la valeur de $\mathcal{A}(\alpha)$.
		\item Calculer la limite de $\mathcal{A}(\alpha)$ lorsque $\alpha$ 
tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie civil, énergétique juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%  Polynésie Génie civil juin 2003
\hypertarget{Polynesiecivil}{} 

\label{Polynesiecivil}
\lfoot{\small Polynésie}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie juin 2003~\decofourright\\[5pt]Génie énergétique, civil}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes les équations suivantes  et donner les solutions sous forme algébrique : 
	\begin{enumerate}
		\item $z^2 - 2z + 2 = 0$. 
		\item $3z + 2 = (1 - \text{i})z - 7 + 13\text{i}$.
	\end{enumerate}
\item On considère les nombres complexes : 

\[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\quad ;\quad  z_{\text{B}} = -1 + 
7\text{i}\quad ; \quad z_{\text{D}} = - 3 + 3\text{i}.\]

On appelle A, B et D leurs images respectives dans le plan. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$. 
		\item Montrer que $z_{\text{D}} = 3\text{i} z_{\text{A}}$ puis en déduire le module et un argument de $z_{\text{D}}$. 
		\item Placer les points A, B et D dans le repère \Ouv.
\end{enumerate}
\item On pose $r = \left|z_{\text{D}} - z_{\text{B}}\right|$. 
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement le nombre $r$. 
		\item Calculer $r$. 
		\item Montrer que le triangle ABD est rectangle et isocèle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Dans un atelier, deux machines M$_1$ et M$_2$ produisent le même type
 de pièces. La production totale journalière est de \np{8000} pièces. $40\,\%$ de la production provient de la machine M$_1$, le reste de la machine M$_2$.
 
Une pièce est susceptible de présenter deux types de défauts notés D$_1$ et  D$_2$.

Concernant les pièces produites par la machine M$_1$ :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$~] 3\,\% 	présentent uniquement le défaut D$_1$,
\item[$\bullet$~] 2\,\% 	présentent uniquement le défaut D$_2$,
\item[$\bullet$~] 1\,\% 	présentent les deux défauts D$_1$ et D$_2$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Concernant les pièces produites par la machine M$_2$ :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$~] 5\,\% 	présentent uniquement le défaut D$_1$,
\item[$\bullet$~] 1\,\% 	présentent uniquement le défaut D$_2$,
\item[$\bullet$~] 2\,\% 	présentent les deux défauts D$_1$ et D$_2$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Après l'avoir reproduit sur votre copie, compléter le tableau suivant :

\medskip

\hspace*{-1cm} \begin{tabular}{|*{6}{c|}}\cline{2-6}
\multicolumn{1}{c|}{} & Défaut D$_1$& Défaut D$_2$&  Défauts D$_1$ et D$_2$&Aucun défaut&	Total\\ \hline
Machine M$_1$&	96& & & & \\ \hline
Machine M$_2$& &   48 & & & \\ \hline
Total & & & & & \np{8000} \\ \hline
\end{tabular}

\medskip

\item On tire au hasard une pièce parmi celles qui n'ont aucun défaut. Montrer que la probabilité qu'elle provienne de la machine M$_1$ est 
 $\dfrac{47}{116}$.
\item On tire au hasard une pièce parmi les $\np{8000}$ produites dans la journée.
 
Déterminer la probabilité des évènements $A$ et $B$ suivants :

	\begin{enumerate}
		\item $A$ : \og La pièce n'a aucun défaut \fg{}.
		\item $B$ : \og La pièce a au moins un défaut \fg{}.
	\end{enumerate}
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage d'une pièce parmi les \np{8000}, associe le nombre de défauts de cette pièce.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Calculer son espérance mathématique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par 

\[f(x) = 2x - 2 + \dfrac{\ln x}{x}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan.

\bigskip

\textbf{I. Première partie :} étude d'une fonction auxiliaire $g$.

\medskip

On appelle $g$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = 2x^2 + 1 - \ln x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. (L'étude des  limites aux bornes de l'intervalle n'est pas demandée).

\item Déterminer le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II. Deuxième partie :} étude de la fonction $f$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $f$ aux bornes de l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
\item Déterminer $f(x)$ pour tout nombre réel x strictement positif, puis en déduire que $f'(x)$ a même signe que $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
\item Construire le tableau de variations de $f$.
\item Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1.
\item Pour tout nombre réel $x$ strictement positif, on pose $d(x) = f(x) - (2x -  2)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $d(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. 
		\item En déduire que la droite (D), d'équation $y = 2x- 2$, est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item Déterminer la position de $\mathcal{C}$ par rapport à (D).
	\end{enumerate}
\item Tracer les droites (T) et (D) puis la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij, unité graphique : $2$~cm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{III. Troisième partie :} Calcul d'aire

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle $h$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par \mbox{$h(x) = \dfrac{1}{x} \ln x$}.

Déterminer une primitive $H$ de $h$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
\item En déduire une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
\item Calculer en cm$^2$, la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x =  2$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{}}
	  { 
		  \TR{}
		  \TR{}
		  \TR{}	   
	  }
	\pstree{\TR{}}
	  {
		  \TR{}
		  \TR{}
		  \TR{} 
	  }
	\pstree{\TR{}}
	  {
		  \TR{}
		   \TR{}
		   \TR{}
	  }	
}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{Tableau des valeurs de X}

\vspace{1cm}

\renewcommand{\arraystretch}{2.}
\begin{tabularx}{0.45\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{b}{a}&$0$&$1$&$2$\\ \hline
$0$&&&\\ \hline
$1$&&&\\ \hline
$2$&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie génie civil juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie civil septembre 2003
\hypertarget{Metrocivilsep}{} 

\label{Metrocivilsep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie civil Métropole~\decofourright\\[5pt]septembre 2003 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal 
\Ouv{} d'unité graphique $2$~cm.

On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = - 1 - \text{i} \quad ; \quad z_{\text{B}} = - 1 + \text{i}\quad ;  \quad  z_{\text{C}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}\quad  \text{et} \quad z_{\text{D}} = z_{\text{B}} \times z_{\text{C}}.\]

où i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la forme algébrique de $z_{\text{D}}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le module et un argument de $z_{\text{A}},~ z_{\text{B}}$  et $ z_{\text{C}}$.
		\item En déduire le module et un argument de  $z_{\text{D}}$.
	\end{enumerate}
\item Déduire des questions \textbf{1.} et \textbf{2.b.} les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{13\pi}{12}\right)$ et de $\sin \left(\dfrac{13\pi}{12}\right)$.
\item On considère les points E et F d'affixes $z_{\text{E}} = 1$ et 
$z_{\text{F}} =\dfrac{1}{2}\text{i}$. Placer les points A, B, C, D, E et F dans le plan $\mathcal{P}$.
\item Montrer qu'il existe un réel positif $k$ tel que les modules de $z_{\text{A}},~ z_{\text{E}},~k \times z_{\text{D}}$ et $z_{\text{F}}$ soient, dans cet ordre, quatre termes consécutifs d'une suite géométrique dont on précisera la raison.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre l'équation différentielle

\[9y'' + y = 0,\]

où $y$ est une fonction numérique définie et deux fois dérivable sur $\R$.

\medskip

\item Déterminer la solution particulière $f$ vérifiant

\[f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \sqrt{2}\quad  \text{et} \quad  
f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0.\]

\item Montrer que pour tout $x$ réel, on a :

\[f(x) = \sqrt{2}\cos \left(\dfrac{1}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right).\]

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une primitive de $f$ sur $\R$.
		\item Calculer la valeur moyenne $m$ de $f$ sur $[0 ~;~ 2\pi]$. On en donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-3}$ prés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques :
$1$~cm sur l'axe des abscisses et $4$~cm sur l'axe des ordonnées).

\bigskip

\textbf{Partie A : Recherche d'une fonction}

\medskip

Soit $g$ une fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[g(x) = a(\ln x)^2 + b\ln x + c,\]

où $a,\: b$ et $c$ sont trois réels.

Déterminer $a,\: b$ et $c$ sachant que sa courbe représentative dans le 
repère \Oij{} passe par les points A(1~;~2), B (e~;~0) et C$\left(\text{e}^3~;~2\right)$.	

\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par:

\[f(x) = (\ln x)^2 - 3\ln x + 2.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite de $f$ en $0$.
		\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. On pourra remarquer que pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$, on a :

\[f(x) = \ln x(\ln x - 3) + 2.\]

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que :

\[f'(x) \dfrac{2 \ln x-3}{x}.\]

où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.	
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0 ~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation d'inconnue $X$ :

\[X^2 - 3X + 2 = 0.\]

		\item En déduire les solutions exactes dans $]0 ~;~ + \infty[$ de 
l'équation : $f(x) = 0$.
		\item Déduire, des questions \textbf{2.c.} et \textbf{3.b.}, le signe de $f(x)$ lorsque $x$ varie dans l'intervalle  $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item On note $\Gamma$ la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation de la tangente $\Delta$ à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse e.
		\item Tracer la courbe $\Gamma$ et la tangente $\Delta$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Primitive et calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que la fonction, définie sur $]0~;~+ \infty[$, par :

\[x \longmapsto x(\ln x)^2- 5x \ln x+ 5x,\]

est une primitive sur $]0~;~+ \infty[$ de la fonction $x	
\longmapsto (\ln x)^2 -3 \ln x$.
\item En déduire la primitive $F$ de $f$ sur $]0 ~;~ + \infty[$ qui s'annule pour $x = 1$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Hachurer la partie du plan délimitée par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = \text{e}$ et $x = \text{e}^2$.
		\item Calculer, en cm$^2$, l'aire $\mathcal{A}$ de la partie hachurée. On en donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Génie civil Métropole septembre 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie Génie civil septembre 2003
\hypertarget{Polynesiecivilsep}{} 

\label{Polynesiecivilsep}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie septembre 2003~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil }}

\end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}
 
\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv.

À tout point $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ , distinct de O, on associe le point $M'$ d'affixe $z'= \dfrac{1}{\overline{z}}$ où $\overline{z}$ désigne le nombre complexe conjugué de $z$. On pose dans la suite de l'exercice $z'= x'+ \text{i}y'$ où $x'$ et $y'$ sont deux réels.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et de $y$. 
\item On appelle A, B, C, D, les points d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = \text{i}, \quad  z_{\text{B}} = -\dfrac{1}{2} + 
\dfrac{1}{2}\text{i}, \quad z_{\text{C}} = - 1, \quad z_{\text{D}} = - 
2 - \text{i}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la forme algébrique des nombres complexes $z_{\text{B}'} = \dfrac{1}{\overline{z_{\text{B}}}}$ et $z_{\text{D}'} = \dfrac{1}{\overline{z_{\text{D}}}}$.
		\item Montrer que les points O, B et B$'$ sont alignés ainsi que les points O, D et D$'$.
		\item Calculer $\left|z_{\text{A}} - 
z_{\text{B}}\right|,~\left|z_{\text{B}'} - 
z_{\text{B}}\right|,~\left|z_{\text{D}'} - z_{\text{B}}\right|$ et en déduire que les quatre points A, B$'$, C, D$'$ sont sur un même cercle 
$\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon.
	\end{enumerate}
\item Placer les points A, B, C et D dans le repère \Ouv, tracer le cercle
 $\mathcal{C}$.
\item Utiliser les questions précédentes pour construire géométriquement les points B$'$ et D$'$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Une urne contient dix jetons indiscernables au toucher. Sur 
chacun de ces jetons est inscrit l'un des numéros 1, 2, 3 ou 4.

Un jeton porte le numéro 1, deux jetons le numéro 2, trois 
jetons le numéro 3 et 4 jetons le numéro 4.

Un jeu consiste à tirer au hasard et avec remise, deux jetons
 de cette urne ; les tirages sont supposés équiprobables. À l'issue de la partie, le joueur reçoit le nombre d'euros correspondant à la somme des numéros inscrits sur les deux jetons tirés.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à l'issue de chaque partie, associe le nombre d'euros reçus par le joueur.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
		\item Calculer $p(X = 2)$, probabilité que la somme remise au joueur soit $2$~\euro.
		\item Montrer que $p(X = 6) = \dfrac{25}{100}$.
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. On présentera les résultats dans un tableau.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\item Le joueur doit verser une \og mise \fg{} $m$ exprimée en euros, avant chaque partie.

Quelle doit être la valeur minimale de cette mise, arrondie à l'euro, pour que l'organisateur du jeu ait l'espoir d'être bénéficiaire ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij.

\bigskip

\textbf{I. Première partie :  étude d'une fonction \boldmath$g$\unboldmath}

\medskip

On appelle $g$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$   par 

\[g(x) = x^2 + 2- 2\ln x.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier les variations de $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. (L'étude des  limites aux bornes de l'intervalle n'est pas demandée).
\item Calculer $g(1)$ et en déduire le signe de $g(x)$ sur l'intervalle
 $]0~;~+ \infty[$.
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{II. Deuxième partie :  étude d'une fonction \boldmath$f$\unboldmath}

\medskip

On appelle $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{x}{2} + 2 + \dfrac{\ln x}{x}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère 
\Oij.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier les limites de $f$ aux bornes de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item On appelle (D) la droite d'équation $y = \dfrac{x}{2} + 2$.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que la droite (D) est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Étudier les positions respectives de la droite (D) et de la courbe $\mathcal{C}$. 
	\end{enumerate}
\item Le sens de variation de $f$
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item Montrer que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{2x^2}$ et en déduire le sens de variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item On appelle ($\Delta$) la tangente à $\mathcal{C}$ en son point A 
d'abscisse 1.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation de ($\Delta$).
		\item Déterminer les coordonnées du point B de la courbe $\mathcal{C}$ où la tangente ($T$) est parallèle à (D). 
	\end{enumerate} 
\item Construire avec soin les droites (D), ($\Delta$), ($T$) puis la courbe
$\mathcal{C}$ dans le repère \Oij, unité graphique $2$~cm.
\item Calcul d'aire.
	\begin{enumerate} 
		\item On appelle $k$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $k(x) = \dfrac{\ln x}{x}$.

Déterminer une primitive $K$ de $k$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item Soit $t$ un nombre réel strictement supérieur à $1$. Calculer en cm$^2$ l'aire $\mathcal{A}(t)$ du domaine plan limité par la courbe  $\mathcal{C}$ la droite (D) et les deux droites d'équations $x = 1$ et $x= t$.
		\item Déterminer $t$ pour que $\mathcal{A}(t) = 100$~cm$^2$.   
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Génie civil Polynésie septembre 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle--Calédonie Génie civil novembre 2003
\hypertarget{Caledocivilnov}{} 

\label{Caledocivilnov}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil novembre 2003}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté à un  repère orthonormal \Ouv.

On note i nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Pour tout nombre complexe $z$ on pose $P(z) = z^3 -  2z- 4$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Vérifier que pour tout nombre complexe $z$, on a 
$P(z) =  (z - 2)\left(z^2 + 2z + 2\right)$.
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, 
l'équation $P(z) = 0$.
\item On appelle A, B, C et D les points de $\mathcal{P}$ 
d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = - 1 - \text{i}~;~z_{\text{B}} = 2 ~;~z_{\text{C}} = 3 + 
3\text{i}~;~z_{\text{D}} = 2\text{i}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Placer les points A, B C et D dans le repère \Ouv, unité graphique $2$~cm.
		\item Calculer $z_{\text{B}} - z_{\text{A}},~z_{\text{C}} - 
z_{\text{D}},~z_{\text{D}} - z_{\text{A}}$.
		\item Justifier alors que $\vect{\text{AB}}	= 
\vect{\text{CD}}$	et que AD =  AB.
		\item En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

On considère les intégrales I et J définies par I = $\displaystyle\int_0^{\pi} 
x (\cos x)^2\: \text{d}x$ et J =  $\displaystyle\int_0^{\pi} 
x (\sin x)^2\: \text{d}x$.

Le but de cet exercice est de déterminer les valeurs exactes de ces intégrales sans les calculer.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la valeur exacte de I $+$ J.
\item On se propose dans cette question de rechercher de la 
valeur exacte de I $-$ J.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que I $-$ J = $\displaystyle\int_0^{\pi} x \cos(2x)\:\text{d}x$.
		\item On appelle $f$ la fonction numérique définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :

\[f(x) = \dfrac{1}{2}	x \sin (2x) + \dfrac{1}{4} \cos(2x).\]

Démontrer que pour tout nombre réel $x,~ f'(x) = x \cos(2x)$.
		\item En déduire la valeur exacte de I $-$ J.
	\end{enumerate}
\item À l'aide des questions précédentes, déterminer les valeurs
 exactes des intégrales I et  J. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{I) Première partie : étude d'une fonction $g$}

\medskip

On appelle $g$ la fonction numérique définie pour tout nombre réel $x$ par : 

\[g(x) = (x + 1)\text{e}^x + 1.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $g$ en $- \infty$. (On 
pourra écrire $g(x)$ sous la forme 

$g(x) = x\text{e}^x+ \text{e}^x+ 1)$.
\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$.
\item Étude du signe de $g(x)$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ et étudier son signe sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
		\item En déduire le sens de variation de $g$  et dresser son tableau de variations dans lequel on précisera la  valeur exacte de l'extremum de $g$.
		\item Justifier que pour tout $x,\: g(x) >  0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II) Deuxième partie : étude et représentation graphique d'une fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^x +x -  3$.
 
On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal  \Oij{} du  plan, unité graphique : $1$~cm.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ puis en $- \infty$.
\item On appelle (D) la droite d'équation $y = x-3$.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que la droite (D) est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite (D). On précisera les coordonnées de leur point d'intersection I. 
	\end{enumerate} 
\item Étude des variations de $f$.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que pour tout réel $x,~ f'(x) = g(x)$.
		\item À l'aide des résultats obtenus dans la première partie, déterminer le sens de variations de $f$ et dresser son tableau de variations. 
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe
 $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 0.
\item Tracer la droite (D), la tangente (T) puis la courbe 
dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{III) Troisième partie :} le but de cette partie est de déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x) =  0$ et de donner un encadrement de celles-ci.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item En utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et en justifiant la
 réponse, déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)= 0$.
\item Localisation et encadrement d'une solution.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f(0)$ et $f(1)$.
		\item Justifier les trois affirmations suivantes :

(1)   L'équation $f(x) = 0$ n'a pas de solution dans l'intervalle $]- 
 \infty~;~0]$.

(2) L'équation $f(x) = 0$ n'a pas de solution dans l'intervalle $[1~ ;~+ 
 \infty[$.

(3) L'équation $f(x) = 0$ a une solution unique notée $\alpha$ dans l'intervalle  [0~;~1].
		\item En expliquant brièvement la méthode utilisée, donner un 
encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Génie civil Nouvelle-Calédonie novembre 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Antilles--Guyane Génie électronique juin 2003
\hypertarget{Antilleselectro}{}

\label{Antilleselectro}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small juin 2003}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\large\textbf{\decofourleft~Bac STI Antilles--Guyane -- Juin 2003~\decofourright\\[5pt]Génie électronique}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\emph{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.}}
\end{center}

\textbf{Exercice 1\hfill 5 points}

\medskip

Soit la fonction polynôme $P$ définie sur $\R$ par :
 
\[P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 3x - 2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que pour tout $x$ réel, $P(x) = (x - 1 )\left(2x^2 + 5x + 2\right)$. 
\item Résoudre dans $\R$ l'équation (1) : $P(x) = 0$. 
\item Résoudre dans $\R$ l'équation (2) : $\ln \left(4 - x^2\right) + \ln (2x + 3) = \ln 5 + \ln (x + 2)$. 
\item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~ 2\pi[$ l'équation 

(3) : $2\cos^3(x) + 3\cos^2(x) - 3\cos(x) - 2 = 0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2\hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\ 
Pour chacune des trois questions suivantes, \textbf{une ou plusieurs réponses sont exactes}.\\ 
Vous indiquerez sur votre copie cette (ou ces) réponse(s) exacte(s). Aucune justification n'est demandée.}

\medskip
 
\textbf{Question 1}
 
\parbox{0.41\linewidth}{Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, le triangle OMN est rectangle isocèle en O.
 
Le point M a pour affixe 
$Z_{\text{M}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$, 
le point N a pour affixe $Z_{\text{N}} = \text{i}Z_{\text{M}}$·} \hfill
\parbox{0.56\linewidth}{ \psset{unit=2cm}\begin{pspicture}(-2,-0.5)(1.1,1.8)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-0.5)(1.1,1.8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pspolygon(0,0)(1,1.732)(-1.732,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ul](1,1.732){M} \uput[dl](-1.732,1){N}
\end{pspicture}}

\medskip

À quel nombre complexe $Z_{\text{N}}$ est-il égal ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse	&A	&B	&C	&D  \\ \hline
Expression de $Z_{\text{N}}$&$- \dfrac{3}{2} + \text{i}$&$- \sqrt{3} + \text{i}$&$\dfrac{- 2 + 2\text{i}\sqrt{3}}{\sqrt{3} - \text{i}}$&$2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 2}

Les nombres $\ln 6,\: \ln 18,\: \ln 54$ sont les termes consécutifs d'une suite, quelle est la nature de cette suite ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse&A&B&C  \\ \hline
Nature de la suite&géométrique de raison 3&arithmétique de raison 3&géométrique de raison $\ln 3$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 3}

On considère l'équation différentielle $y' + 2y = 0$. Chaque figure ci-dessous comporte deux courbes. Indiquer, parmi les figures A, B ou C, celle(s) susceptible(s) de comporter les courbes représentatives de deux solutions de cette équation différentielle. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse	&A	&B	&C  \\ \hline
Figure&\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1.,-5)(1.8,8)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1.,-5)(1.8,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1.,1)
\psplot{-0.8}{1.8}{x 4 mul 2  sub}
\psplot{-1}{0.7}{x 4 mul 5 add}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}&\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1.2,-5)(2,8)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1.2,-5)(2,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot{-1.2}{1.}{2.71828 x 2 mul exp}
\psplot{-1.2}{0.8}{2.71828 x 2 mul exp neg}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture} &\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1.2,-5)(2,8)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1.2,-5)(2,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot{-1.}{2}{1 2.71828 x 2 mul exp div}
\psplot{-0.8}{2}{1 2.71828 x 2 mul exp div neg}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Problème\hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[g(x) = (1 - x) \text{e}^{-x} - 3.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle $g'$ la fonction dérivée de $g$. Calculer $g'(x)$ puis étudier son signe pour $x$ appartenant à $\R$. 
\item Déterminer la limite de $g$ en $-\infty$. 
\item Vérifier que $g(x) = \dfrac{1}{\text{e}^x}- \dfrac{x}{\text{e}^x}  - 3$, puis déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$. 
\item Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ appartenant à l'intervalle $[-2~;~2]$, tel que $g(\alpha) = 0$. 
\item À l'aide d'une calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-3}$ près, puis une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près par excès. 
\item Dresser le tableau donnant le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à $\R$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^{-x} - 3x + 4.\]
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, montrer que pour tout $x$ réel  $f'(x) = g(x)$. 
\item En remarquant que pour tout réel $x,~ f(x) = x\left(\text{e}^{-x} - 3\right) + 4$, déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item Soit la droite $\Delta$ d'équation $y = - 3x + 4$ dans le repère \Oij.
		 
Montrer que la droite $\Delta$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ ; étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite $\Delta$.
	\end{enumerate} 
\item Établir le tableau de variations de la fonction $f$. 
\item Déterminer dans le repère \Oij{} une équation de la tangente T$_{\text{A}}$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ en son point A d'abscisse $0$. 
\item Tracer dans le repère \Oij, les droites $\Delta$, T$_{\text{A}}$ et la courbe $\mathcal{C}_{f}$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $r$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[r(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}.\]
 
On appelle $r'$ la fonction dérivée de $r$, calculer $r'(x)$ ; en déduire une primitive de la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = x\text{e}^{-x}$. 
\item On considère la portion de plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}_{f}$ l'asymptote $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 2$.
 
Hachurer cette portion de plan sur le graphique et donner la valeur exacte de son aire exprimée en cm$^2$ puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles--Guyane génie électronique
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   La Réunion Génie électronique juin 2003
\hypertarget{Reunionelectro}{} 

\label{Reunionelectro}
\thispagestyle{empty}
\lfoot{\small La Réunion }
\rfoot{\small juin 2003}
\begin{center} 
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI La Réunion juin 2003~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}} 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\vspace{0,25cm}

La candidat traitera obligatoirement les deux exercices et 
le problème 

\vspace{0,25cm}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal
\Ouv{} d'unité graphique $4$~cm, on considère trois points A,
B et C d'affixes respectives

\[z_{\text{A}}= 1 + \text{i}\sqrt{3}, \quad  z_{\text{B}} =  1 - \text{i}\sqrt{3},\quad  z_{\text{C}} = l.\]

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme trigonométrique de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
		\item Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère
\Ouv.

Justifier l'alignement de ces points et tracer la droite correspondante.
	\end{enumerate}
\item  Soient A$'$ et B$'$ les points du plan d'affixes respectives
\[z_{\text{A}'} = \dfrac{1}{z_{\text{A}}}~ \text{et} ~ z_{\text{B}'} =
\dfrac{1}{z_{\text{B}}}.\]	
	\begin{enumerate}
		\item Donner la forme exponentielle de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
		\item Calculer la forme algébrique de $z_{\text{A}'}$ et $z_{\text{B}'}$
		\item Placer les points A$'$ et B$'$ sur le même schéma que précédemment.
		\item Préciser l'image de A$'$ par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Placer, sur le schéma précédent, le point I d'affixe $z_{\text{I}} = \dfrac{1}{2}$  et calculer les distances IA$'$, lB$'$ et IC	
		\item  En déduire que les points A$'$, B$'$ et C sont situés sur un
cercle dont on donnera le centre et le rayon.

Tracer ce cercle sur le même schéma.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}
`
\medskip

Une urne contient une boule rouge R, deux boules blanches B$_{1}$
et B$_{2}$, et deux boules noires N$_{1}$ et N$_{2}$ toutes indiscernables au toucher.

Un jeu consiste à tirer jeux boules successivement, sans remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  En utilisant un arbre on un tableau, déterminer les $20$~tirages possibles.

On admet par la suite que ces $20$~tirages sont équiprobables.
\item  Calculer la probabilité des évènements suivants : 
 
$A$ : \og tirer deux houles de même couleur \fg ;
 
$B$ : \og tirer au plus une boule noire \fg.

\item  Lots du tirage de deux boules :
\begin{itemize}
\item  la boule rouge obtenue fait gagner $3$~\euro,
\item  chaque boule blanche obtenue fait gagner $2$~\euro,
\item  chaque boule noire obtenue fait perdre $3$~\euro.
\end{itemize}

On appelle $X$ la variable aléatoire qui à tout tirage de deux boules, associe le gain, en euros, du joueur (une perte est considérée comme un gain négatif).
	\begin{enumerate}
		\item  Quel est l'ensemble des valeurs possibles pour $X$ ?
		\item  Écrire la loi de probabilité de $X$. 
		\item  Calculer la probabilité $P$ pour que le gain soit strictement positif. 
		\item  Calculer l'espérance mathématique de $X$. Interpréter le résultat obtenu.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le plan est muni d'un  repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques.
 $2$~cm  sur l'axe des abscisses et $4$~cm sur l'axe des ordonnées.
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

\[f(x) = \left(x^2 - 2x + 1\right)\text{e}^{-x}.\]

On désigne par $(\Gamma)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan
muni du repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item En écrivant $f(x)$ sous la forme $f(x) = x^2\text{e}^{-x} - 2 x\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}$, déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe $(\Gamma)$ ?	
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ et
montrer que pour tout réel $x$ :
\[f'(x) = \left(- x^2 + 4x - 3\right)\text{e}^{-x}.\]
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $\R$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$. On donnera la valeur
exacte des extremums.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente ($T$) à la courbe $(\Gamma)$
	en son point A d'abscisse $0$.	
\item Tracer la courbe $(\Gamma)$ et la tangente ($T$).	
\end{enumerate} 

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On s'intéresse dans cette partie à l'équation $f(x) = \dfrac{1}{8}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  En utilisant le tableau de variations de la fonction $f$, justifier
que cette équation admet trois solutions dans $\R$ et que l'une des
solutions notée $\alpha$ appartient à l'intervalle [1 ; 3].
\item  à l'aide d'une calculatrice, donner un encadrement  d'amplitude $0,1$ de la solution $\alpha$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[H(x) = x^2\text{e}^{-x}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée $H'$ de la fonction   $H$ sur $\R$.
\item En déduire une primitive de la fonction $f$  sur $\R$.
\item Calculer $\displaystyle\int_{0}^1 f(x) \:\text{d}x.$
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   La Réunion Génie électronique juin 2003
\newpage 
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie électronique juin 2003
\hypertarget{Metroelectro}{} 

\label{Metroelectro}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 2003~\decofourright\\[5pt]Génie électronique}} 
\end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans l'ensemble des nombres complexes $\C$, résoudre l'équation
 d'inconnue $z$

\[z^2 - 8z + 32 = 0.\]

		\item Écrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle.
	\end{enumerate}
\item Soit le nombre complexe $4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. Donner sa forme algébrique.
\item Dans le plan complexe rapporté à un repère  orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm, on donne les points A, B et C d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = 4  + 4\text{i} \qquad  z_{\text{B}} = 4 - 4\text{i} \qquad 
z_{\text{C}} = 2 + 2\text{i}\sqrt{3}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv.
		\item Montrer que le triangle ABC est rectangle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On considère un circuit électrique fermé comprenant un condensateur dont la capacité, exprimée en farads, a pour valeur C, une bobine dont l'inductance, exprimée en henrys, a pour valeur L et un interrupteur.

Le temps $t$ est exprimé en secondes. à l'instant $t = 0$, on suppose le condensateur chargé, on ferme l'interrupteur et le condensateur se décharge dans le circuit.

On appelle $q(t)$ la valeur de la charge, exprimée en coulombs, du condensateur  à l'instant $t$.

On définit ainsi une fonction $q$ , deux fois dérivable sur 
l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, dont la dérivée première est notée 
$q'$.

On admet que la fonction $q$ est solution de l'équation différentielle 

\[\text{(E)}  :\qquad  y'' + \dfrac{1}{\text{LC}}y   = 0\]

où $y$ est définie et deux fois dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et de dérivée seconde $y''$.

Dans tout l'exercice on prend C =$ 1,25 \times 10^{-3}$ et 
L = $0,5 \times 10^{-2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $q$ est alors solution de l'équation différentielle

\[\text{(E)}  : \qquad  y'' + 1,6 \times 10^5y = 0.\]

		\item Résoudre l'équation différentielle (E).
		\item Déterminer la solution particulière $q$ de (E) vérifiant :

\[q(0) = 6 \times 10^{-3} \quad \text{et} \quad q'(0)  = 0.\]

	\end{enumerate}
\item On sait que la valeur $i(t)$ de l'intensité, exprimée en ampères, du courant qui parcourt le circuit à l'instant $t$ vérifie $i(t) = - q'(t)$ . On définit ainsi une fonction $i$ sur l'intervalle $[0~ ;~  + \infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~  + \infty[$

\[i(t) = 2,4 \sin (400 t).\]

		\item Calculer : $\dfrac{400}{\pi} 
\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{400}} \cos (800t)\:\text{d}t$.
		\item On désigne par I$_{e}$ la valeur, exprimée en ampères, de l'intensité efficace dans le circuit. Son carré est donné par la formule :

\[\text{I}_{e}^2 = \dfrac{400}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{400}} i^2(t) \:\text{d}t.\]

Calculer I$_{e}^2$ (on pourra utiliser la formule $\sin ^2 a = 
\dfrac{1}{2} (1 - \cos 2a)$, puis donner une valeur approchée de I$_{e}$ à $10^{-3}$ près, sachant que I$_{e}$ est un nombre positif.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème }\hfill  11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On donne, dans le plan muni d'un repère orthogonal 
\Oij, d'unités graphiques $3$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur l'axe des ordonnées, la représentation graphique ($\mathcal{C}$) d'une fonction $g$ définie, dérivable et strictement croissante
sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ ainsi que deux droites (T) et (D). La droite (T) passe par les points de coordonnées respectives (2~;~0) et (0~;~$-3$). La droite (D) a pour équation $y = 1$.

\begin{center}
\psset{xunit=2.8cm}\begin{pspicture}(-0.3333,-6)(4,3)
\psgrid[gridlabels=0pt](0,0)(-0.3333,-6)(4,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.3333,-6)(4,3)
\psline(-0.3333,-3.5)(4,3)
\psline[linewidth=1.5pt](-0.3333,1)(4,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](3.6,2.5){(T)} \uput[u](3.6,1){(D)} \uput[d](3.6,0.7){\blue (C)}
\uput[u](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=400,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.232}{4}{1 2 x dup mul x sub div sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement $g(2)$.
		\item Sachant que la droite (T) est tangente à la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse $2$, déterminer graphiquement $g'(2)$.
		\item On admet que la droite (D) est asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$). Déterminer graphiquement la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
		\item Sachant que la courbe ($\mathcal{C}$) coupe l'axe des abscisses en un seul point, étudier graphiquement le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle  $]1~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item On définit les fonctions $g_{1},~g_{2}$ et $g_{3}$ sur l'intervalle
$]1~;~+ \infty[$ par :

\[g_{1}(x) = 1 - \dfrac{1}{x - 1} \quad ; \quad g_{2}(x) = 1 - 
\dfrac{2}{x^2 - x} \quad ; \quad g_{3}(x) = \ln (x - 1).\]

L'une d'elles est la fonction $g$ que l'on se propose d'identifier en utilisant les résultats de la première question.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g_{1}(2),~ g_{2}(2)$ et $g_{3}(2)$.

Ces résultats permettent-ils d'éliminer une des trois fonctions ?
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g_{1}(x)~;~\displaystyle\lim_{x \to + \infty}
g_{2}(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g_{3}(x)$.

Quelle fonction peut-on alors éliminer ?
		\item On note  $g'_{1}$ et  $g'_{2}$  les fonctions dérivées respectives de $g_{1}$ et $g_{2}$.

Calculer $g'_{1}(2)$ et $g'_{2}(2)$ puis conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = x + 1 + 2 \ln x - 2 \ln (x - 1).\]

On note $(\mathcal{C}_{f})$ la courbe représentative de la fonction 
$f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques $3$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle propriété de la fonction logarithme népérien permet de prouver que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]1~;~+ \infty[$,

\[f(x) = x + 1 + 2\ln \left(\dfrac{x}{x - 1}\right)~ ?\]

		\item Déterminer la limite de $f$ en 1. Que peut-on en déduire pour la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Justifier que la droite (D) d'équation $y = x + 1$ est asymptote oblique à la courbe $(\mathcal{C}_{f})$.
		\item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]1~;~ + 
\infty[,~\dfrac{x}{x - 1} >1$.

Quel est alors le signe de $\ln \left(\dfrac{x}{x - 1}\right)$ pour $x$ appartenant  à $]1~;~+ \infty[$ ?
		\item En déduire la position de la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ par rapport à la droite (D).
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la  fonction $f$ et vérifier que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]1~;~+ \infty[,\: f'(x) = g (x)$ où $g$ est la fonction trouvée dans la \textbf{partie A}.
		\item À l'aide des résultats graphiques obtenus dans la \textbf{partie A}, dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$, 
la fonction $H$ définie par

\[H(x) = x \ln x - (x - 1) \ln (x - 1)\]

est une primitive de la fonction $h$ définie par $h(x) = \ln 
x - \ln (x - 1)$ sur cet intervalle.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur la feuille annexe jointe, à rendre avec la copie, on a représenté la courbe $(\mathcal{C}_{f})$. Sur cette figure, représenter la droite (D) et hachurer la partie du plan comprise entre la droite (D), la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ et les droites 
d'équations $x = 2$ et $x = 3$.
		\item On désigne par $\mathcal{A}$ la valeur de l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan hachurée précédemment. Donner la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près par excès.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe : représentation de la courbe} \boldmath 
$(\mathcal{C}_{f})$ \unboldmath

\textbf{à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}
\psset{xunit=2.5cm}\begin{pspicture}(0,-1)(5,9)
\psgrid[gridlabels=0pt](0,-1)(5,9)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-1)(5,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{1.031}{5}{1 x add  x ln 2 mul  add x 1 sub ln 2 mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie électronique juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Polynésie Génie électronique, optique juin 2003
\hypertarget{Polynesieelectro}{} 

\label{Polynesieelectro}
\lfoot{\small Polynésie}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie juin 2003 \decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}
} 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\vspace{0,25cm}

La candidat traitera obligatoirement les deux exercices et 
le problème 

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{La feuille fournie en annexe sera rendue avec la copie}

Dans cet exercice, les probabilités seront données sous forme de fractions simplifiées.

\medskip

Deux urnes contiennent chacune trois jetons indiscernables au toucher : la première contient trois jetons verts numérotés de $0$ à $2$ et la seconde trois jetons blancs numérotés de $0$ à $2$.

On tire au hasard un jeton dans la première urne et on note $a$ son numéro, puis un jeton dans la seconde urne et on note $b$ son numéro.
 
Le résultat d'un tirage est donc un couple $(a~;~b)$ et les tirages sont équiprobables.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  En complétant l'arbre donné en annexe, déterminer le nombre d'éventualités.
		\item  Quelle est la probabilité $P$ d'obtenir une somme $a + b$ multiple de $3$ ?
	\end{enumerate}
\item  à tout couple $(a ~;~ b)$ précédemment défini, on associe le nombre complexe $z$ écrit sous forme algébrique $z = a + \text{i}b$ où i est le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = -1$.

On note $|z|$ le module de $z$.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la probabilité $P_{1}$ pour que $z$ soit réel ?
		\item  Quelle est la probabilité $P_{2}$ pour que $|z| = 1$ ?
	\end{enumerate}
\item  Soit $X$ la variable aléatoire qui, à tout nombre complexe $z$ défini ci-dessus, associe son module.
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter le tableau des valeurs de $X$ donné en annexe.
		\item  Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item  Déterminer la probabilité $P_{3}$ de l'évènement \og $|z| \leqslant  2$ \fg.
		\item  Déterminer l'arrondi au centième de l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle
 
\[(\text{E}) {}:\quad  16y'' + 25y = 0\]

où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle (E).
\item  Déterminer la solution particulière $f$ de (E) qui vérifie :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(0)&=&\sqrt{3}\\
f'(0)& =&\dfrac{5}{4}\\
\end{array}\right.\]
\item  Démontrer que, pour tout nombre réel $x$, on a $f(x) = 2\cos \left(\dfrac{5}{4}x - \dfrac{\pi}{6}\right)$.
\item  Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle	$\left[\dfrac{2\pi}{15}~;~\dfrac{4\pi}{15}\right]$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : $2$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur l'axe des ordonnées).

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $]-\infty~ ;~1[$ par :

\[ f(x) = ax^2 + bx + c + 2 \ln (1 - x)~ \text{où}~ a, b~ \text{et}~ c ~\text{sont des nombres réels.}\]

On note A le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $-1$.

\medskip

\textbf{Partie A : Détermination de \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip

Déterminer $a,~ b,~ c$ de façon que les conditions suivantes soient remplies :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\mathcal{C}$ passe par le point O et admet en ce point une tangente $\mathcal{C}$ de coefficient directeur $1$ ;
\item[$\bullet~$] la tangente à $\mathcal{C}$ en A est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\textbf{Dans toute la suite du problème on prend} \boldmath $f(x) = x^2 + 3x + 2\ln(1 - x)$ \unboldmath.

\medskip

\textbf{Partie B :  étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath et tracé de} \boldmath $\mathcal{C}$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en $1$. En déduire l'existence d'une asymptote $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$.
\item 	Déterminer la limite en $- \infty$ de la fonction $g$ définie sur $] - \infty~;~1[$ par $g(x) = x^2 + 3x$. En déduire la limite de $f$ en $- \infty$.
\item  On désigne par $f'$ la dérivée de $f$. Démontrer que $f'(x) = \dfrac{(1 - 2x)(x + 1)}{1 - x}$ pour tout nombre réel $x$ strictement inférieur à $1$.
\item  étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$. Dresser le tableau de variations de $f$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant le tableau de variations, déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$.
		\item  On note $\alpha$ la solution appartenant à $]- \infty~;~- 1[$. Justifier que $\alpha$ appartient à $]-2~;~- 1,8[$.
	\end{enumerate}
\item Construire $\mathcal{D}$, $\mathcal{T}$ et $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie C :  calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soient $H$ et $h$ les fonctions définies sur $]- \infty~; 1[$  par :
\[H(x) = (x  - 1)\ln (1 - x) - x \quad 	\text{et} \quad 	h(x) = \ln (1 - 	x).\]
Démontrer que $H$ est une primitive de $h$ sur $]- \infty~; 1[$.
		\item En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]- \infty~; 1[$.
	\end{enumerate}
\item Calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = \alpha$ et $x = 0$.

On donnera la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en cm$^2$ en fonction de $\alpha$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{}}
	  { 
		\TR{}
		\TR{}
		\TR{}
	  }
	\pstree{\TR{}}
	  {
		\TR{}
		\TR{}
		\TR{}
	  }
	\pstree{\TR{}}
	  {
		\TR{}
		\TR{}
		\TR{}
	  }	
}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{Tableau des valeurs de X}

\vspace{1cm}

\renewcommand{\arraystretch}{2.}
\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{b}{a}	&0	&1	&2\\ \hline
$0$				&	&	&\\ \hline
$1$				&	&	&\\ \hline
$2$				&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie Génie électronique, optique juin 2003 
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie électronique septembre 2003
\hypertarget{Metroelectrosep}{} 

\label{Metroelectrosep}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole~\decofourright\\[5pt]Génie électronique juin 2003}} 
\end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans l'ensemble des nombres complexes $\C$, résoudre l'équation
 d'inconnue $z$

\[z^2 - 8z + 32 = 0.\]

		\item Écrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle.
	\end{enumerate}
\item Soit le nombre complexe $4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. Donner sa forme algébrique.
\item Dans le plan complexe rapporté à un repère  orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm, on donne les points A, B et C d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = 4  + 4\text{i} \qquad  z_{\text{B}} = 4 - 4\text{i} \qquad 
z_{\text{C}} = 2 + 2\text{i}\sqrt{3}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv.
		\item Montrer que le triangle ABC est rectangle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On considère un circuit électrique fermé comprenant un condensateur dont la capacité, exprimée en farads, a pour valeur C, une bobine dont l'inductance, exprimée en henrys, a pour valeur L et un interrupteur.

Le temps $t$ est exprimé en secondes. à l'instant $t = 0$, on suppose le condensateur chargé, on ferme l'interrupteur et le condensateur se décharge dans le circuit.

On appelle $q(t)$ la valeur de la charge, exprimée en coulombs, du condensateur  à l'instant $t$.

On définit ainsi une fonction $q$ , deux fois dérivable sur 
l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, dont la dérivée première est notée 
$q'$.

On admet que la fonction $q$ est solution de l'équation différentielle 

\[\text{(E)}  :\qquad  y'' + \dfrac{1}{\text{LC}}y   = 0\]

où $y$ est définie et deux fois dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et de dérivée seconde $y''$.

Dans tout l'exercice on prend C =$ 1,25 \times 10^{-3}$ et 
L = $0,5 \times 10^{-2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $q$ est alors solution de l'équation différentielle

\[\text{(E)}  : \qquad  y'' + 1,6 \times 10^5y = 0.\]

		\item Résoudre l'équation différentielle (E).
		\item Déterminer la solution particulière $q$ de (E) vérifiant :

\[q(0) = 6 \times 10^{-3} \quad \text{et} \quad q'(0)  = 0.\]

	\end{enumerate}
\item On sait que la valeur $i(t)$ de l'intensité, exprimée en ampères, du courant qui parcourt le circuit à l'instant $t$ vérifie $i(t) = - q'(t)$ . On définit ainsi une fonction $i$ sur l'intervalle $[0~ ;~  + \infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~  + \infty[$

\[i(t) = 2,4 \sin (400 t).\]

		\item Calculer : $\dfrac{400}{\pi} 
\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{400}} \cos (800t)\:\text{d}t$.
		\item On désigne par I$_{e}$ la valeur, exprimée en ampères, de l'intensité efficace dans le circuit. Son carré est donné par la formule :

\[\text{I}_{e}^2 = \dfrac{400}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{400}} i^2(t) \:\text{d}t.\]

Calculer I$_{e}^2$ (on pourra utiliser la formule $\sin ^2 a = 
\dfrac{1}{2} (1 - \cos 2a)$, puis donner une valeur approchée de I$_{e}$ à $10^{-3}$ près, sachant que I$_{e}$ est un nombre positif.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème }\hfill  11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On donne, dans le plan muni d'un repère orthogonal 
\Oij, d'unités graphiques $3$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur l'axe des ordonnées, la représentation graphique ($\mathcal{C}$) d'une fonction $g$ définie, dérivable et strictement croissante
sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ ainsi que deux droites (T) et (D). La droite (T) passe par les points de coordonnées respectives (2~;~0) et (0~;~$-3$). La droite (D) a pour équation $y = 1$.

\begin{center}
\psset{xunit=2.8cm}\begin{pspicture}(-0.3333,-6)(4,3)
\psgrid[gridlabels=0pt](0,0)(-0.3333,-6)(4,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.3333,-6)(4,3)
\psline(-0.3333,-3.5)(4,3)
\psline[linewidth=1.5pt](-0.3333,1)(4,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](3.6,2.5){(T)} \uput[u](3.6,1){(D)} \uput[d](3.6,0.7){\blue (C)}
\uput[u](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=400,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.232}{4}{1 2 x dup mul x sub div sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement $g(2)$.
		\item Sachant que la droite (T) est tangente à la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse $2$, déterminer graphiquement $g'(2)$.
		\item On admet que la droite (D) est asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$). Déterminer graphiquement la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
		\item Sachant que la courbe ($\mathcal{C}$) coupe l'axe des abscisses en un seul point, étudier graphiquement le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle  $]1~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item On définit les fonctions $g_{1},~g_{2}$ et $g_{3}$ sur l'intervalle
$]1~;~+ \infty[$ par :

\[g_{1}(x) = 1 - \dfrac{1}{x - 1} \quad ; \quad g_{2}(x) = 1 - 
\dfrac{2}{x^2 - x} \quad ; \quad g_{3}(x) = \ln (x - 1).\]

L'une d'elles est la fonction $g$ que l'on se propose d'identifier en utilisant les résultats de la première question.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g_{1}(2),~ g_{2}(2)$ et $g_{3}(2)$.

Ces résultats permettent-ils d'éliminer une des trois fonctions ?
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g_{1}(x)~;~\displaystyle\lim_{x \to + \infty}
g_{2}(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g_{3}(x)$.

Quelle fonction peut-on alors éliminer ?
		\item On note  $g'_{1}$ et  $g'_{2}$  les fonctions dérivées respectives de $g_{1}$ et $g_{2}$.

Calculer $g'_{1}(2)$ et $g'_{2}(2)$ puis conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = x + 1 + 2 \ln x - 2 \ln (x - 1).\]

On note $(\mathcal{C}_{f})$ la courbe représentative de la fonction 
$f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques $3$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle propriété de la fonction logarithme népérien permet de prouver que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]1~;~+ \infty[$,

\[f(x) = x + 1 + 2\ln \left(\dfrac{x}{x - 1}\right)~ ?\]

		\item Déterminer la limite de $f$ en 1. Que peut-on en déduire pour la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Justifier que la droite (D) d'équation $y = x + 1$ est asymptote oblique à la courbe $(\mathcal{C}_{f})$.
		\item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]1~;~ + 
\infty[,~\dfrac{x}{x - 1} >1$.

Quel est alors le signe de $\ln \left(\dfrac{x}{x - 1}\right)$ pour $x$ appartenant  à $]1~;~+ \infty[$ ?
		\item En déduire la position de la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ par rapport à la droite (D).
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la  fonction $f$ et vérifier que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]1~;~+ \infty[,\: f'(x) = g (x)$ où $g$ est la fonction trouvée dans la \textbf{partie A}.
		\item À l'aide des résultats graphiques obtenus dans la \textbf{partie A}, dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$, 
la fonction $H$ définie par

\[H(x) = x \ln x - (x - 1) \ln (x - 1)\]

est une primitive de la fonction $h$ définie par $h(x) = \ln 
x - \ln (x - 1)$ sur cet intervalle.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur la feuille annexe jointe, à rendre avec la copie, on a représenté la courbe $(\mathcal{C}_{f})$. Sur cette figure, représenter la droite (D) et hachurer la partie du plan comprise entre la droite (D), la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ et les droites 
d'équations $x = 2$ et $x = 3$.
		\item On désigne par $\mathcal{A}$ la valeur de l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan hachurée précédemment. Donner la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près par excès.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe : représentation de la courbe} \boldmath 
$(\mathcal{C}_{f})$ \unboldmath

\textbf{à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}
\psset{xunit=2.5cm}\begin{pspicture}(0,-1)(5,9)
\psgrid[gridlabels=0pt](0,-1)(5,9)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-1)(5,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.031}{5}{1 x add  x ln 2 mul  add x 1 sub ln 2 mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%   fin Génie électronique Métropole septembre 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%   Nlle-Calédonie Génie électronique novembre 2003
\hypertarget{Caledoelectronov}{} 

\label{Caledoelectronov}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{novembre 2003}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil novembre 2003}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté \`a un  repère orthonormal \Ouv.\\
On note i nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.\\
Pour tout nombre complexe $z$ on pose $P(z) = z^3 -  2z- 4$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Vérifier que pour tout nombre complexe $z$, on a 
$P(z) =  (z - 2)(z^2 + 2z + 2)$.

\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, 
l'équation $P(z) = 0$.

\item On appelle A, B, C et D les points de $\mathcal{P}$ 
d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = - 1 - \text{i}~;~z_{\text{B}} = 2 ~;~z_{\text{C}} = 3 + 
3\text{i}~;~z_{\text{D}} = 2\text{i}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Placer les points A, B C et D dans le repère \Ouv, unité graphique $2$~cm.

		\item Calculer $z_{\text{B}} - z_{\text{A}},~z_{\text{C}} - 
z_{\text{D}},~z_{\text{D}} - z_{\text{A}}$.
		\item Justifier alors que $\vect{\text{AB}}	= 
\overrightarrow{\text{CD}}$	et que AD =  AB.
		\item En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

On considère les intégrales I et J définies par I= $\displaystyle\int_0^{\pi} 
x (\cos x)^2\: \text{d}x$ et J =  $\displaystyle\int_0^{\pi} 
x (\sin x)^2\: \text{d}x$.

Le but de cet exercice est de déterminer les valeurs exactes de ces intégrales sans les calculer.

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la valeur exacte de I $+$ J.
\item On se propose dans cette question de rechercher de la 
valeur exacte de I $-$ J.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que I $-$ J = $\displaystyle\int_0^{\pi} x \cos(2x)\:\text{d}x$.
		\item On appelle $f$ la fonction numérique définie sur l'ensemble $\R$
 des nombres réels par :

\[f(x) = \dfrac{1}{2}	x \sin (2x) + \dfrac{1}{4} \cos(2x).\]

Démontrer que pour tout nombre réel $x,~ f'(x) = x \cos(2x)$.
		\item En déduire la valeur exacte de I $-$ J.
	\end{enumerate}
\item À l'aide des questions précédentes, déterminer les valeurs
 exactes des intégrales I et  J.
 
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{I) Première partie : étude d'une fonction $g$}

\medskip

On appelle $g$ la fonction numérique définie pour tout nombre réel $x$ par : 

\[g(x) = (x+1)\text{e}^x + 1.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $g$ en $- \infty$. (On 
pourra écrire $g(x)$ sous la forme $g(x) = x\text{e}^x+ \text{e}^x+ 1)$.
\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$.
\item Étude du signe de $g(x)$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ et étudier son signe sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
		\item En déduire le sens de variation de $g$ s It et dresser son tableau de variations dans lequel on précisera la  valeur exacte de l'extremum de $g$.
		\item Justifier que pour tout $x,~ g(x) >  0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\noindent \textbf{II) Deuxième partie : étude et représentation graphique d'une fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^x +x -  3$.

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative
 de $f$ dans un repère orthonormal  \Oij{} du  plan, unité graphique : $1$~cm.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ puis en $- \infty$.
\item On appelle (D) la droite d'équation $y = x-3$.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que la droite (D) est asymptote \'a la courbe $\mathcal{C}$.
		\item \'Etudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport \`a la
 droite (D). On précisera les coordonnées de leur point d'intersectian I.
	\end{enumerate} 
\item Étude des variations de $f$.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que pour tout réel $x,~ f'(x) = g(x)$.
		\item À l'aide des résultats obtenus dans la première partie, déterminer le sens de variations de $f$ et dresser son tableau de variations.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente (T) \`a la courbe
 $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 0.
\item Tracer la droite (D), la tangente (T) puis la courbe 
dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{III) Troisième partie :} le but de cette partie est de déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x) =  0$ et de donner un encadrement de celles-ci.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item En utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et en justifiant la
 réponse, déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)= 0$.
\item Localisation et encadrement d'une solution.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f(0)$ et $f(1)$.
		\item Justifier les trois affirmations suivantes :

 (1)   L'équation $f(x) = 0$ n'a pas de solution dans l'intervalle $]- 
 \infty~;~0]$.

 (2) L'équation $f(x) = 0$ n'a pas de solution dans l'intervalle $[1~ ;~+ 
 \infty[$.

(3)  L'équation $f(x) = 0$ a une solution unique notée $\alpha$ dans l'intervalle  [0~;~1].
		\item En expliquant brièvement la méthode utilisée, donner un 
encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Génie électronique Nouvelle-Calédonie novembre 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie des matériaux juin 2003
\hypertarget{Metromateriaux}{} 

\label{Metromateriaux}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 2003~\decofourright\\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\C$ l'équation :
 
\[z^2 + 2z + 2 = 0.\]

		\item Résoudre dans $\C - \{1\}$ l'équation : $\dfrac{z+1}{z-1} = 
2 - \text{i}$. On écrira la solution sous forme algébrique.
	\end{enumerate}

\item Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal 
\Ouv, on donne les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = -1 + \text{i},~ z_{\text{B}} = -1 - \text{i}$ et $z_{\text{C}} = 2 + \text{i}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Représenter les points A, B et C dans le repère \Ouv.
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ? Le justifier.
		\item En déduire l'affixe du point $\Omega$ centre du cercle 
circonscrit au triangle ABC et le rayon $r$ de ce cercle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Soit l'équation différentielle : $4y'' + \pi^2y = 0$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre cette équation différentielle.
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormal 
\Oij. Déterminer la fonction $g$ solution de cette équation différentielle qui satisfait aux conditions
 suivantes :

$\bullet~$ la courbe représentative de $g$ passe par le point N de coordonnées $\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ;

$\bullet~$la tangente à cette courbe en N est parallèle à l'axe des abscisses.
\item Vérifier que pour tout nombre réel $x~,~ 
 g(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(\dfrac{\pi}{2}x -  \dfrac{\pi}{4}\right)$.
\item Résoudre sur l'intervalle [- 2 ; 2 ] l'équation 
 $g(x) = - \dfrac{1}{2}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel $x$, par :

\[f(x) = \text{e}^{2x} + x.\]

Soit $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthogonal  \Oij. (Unités graphiques : $2$~cm sur l'axe des abscisses, $1$~cm sur l'axe des ordonnées).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étude du comportement de $f$ en $- \infty$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item Montrer que $\mathcal{C}$ admet pour asymptote la droite 
$\Delta$ d'équation : $y = x$.
		\item Étudier les positions relatives de $\Delta$ et de $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item Étude du comportement de $f$ en $+ \infty$ :

Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item étude des variations de $f$
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$.
		\item Établir le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente T à $\mathcal{C}$ au
 point d'abscisse 1. Vérifier que le point A $(1~;~\text{e}^2 + 1)$ appartient à T.
\item Dans le repère\Oij{} tracer $\Delta$, T et $\mathcal{C}$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ a une 
 solution $\alpha$ et une seule sur $[-1 ~;~ 0]$.
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. Justifier le résultat.
	\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{D}$ la partie du plan limitée par la courbe
 $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = \alpha$,~  et $x = 1$.
	\begin{enumerate} 
		\item Hachurer la partie $\mathcal{D}$.
		\item Calculer, en unités d'aire et en fonction de $\alpha$, la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}(\alpha)$ de la partie $\mathcal{D}$.
		\item Vérifier, en utilisant l'égalité $f(\alpha) = 0$, que 
$\mathcal{A}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^2 - \alpha ^2 + \alpha + 
1\right)$.
		\item Déterminer, au mm$^2$ près, une valeur approchée de 
$\mathcal{A}(\alpha)$ en prenant $- 0,43$ comme valeur approchée de 
$\alpha$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie des matériaux juin 2003
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole  Génie des matériaux septembre 2003
\hypertarget{Metromateriauxsep}{} 

\label{Metromateriauxsep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~STI Génie mécanique, génie des matériaux septembre 2003~\decofourright\\[5pt]Métropole}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}
 
\medskip

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal
\Ouv{} (unité graphique : $2$~cm). On considère les points E,
F et G d'affixes respectives :

\[z_{\text{E}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}\quad ;\quad z_{\text{F}} = 2 
z_{\text{E}}\quad;\quad  z_{\text{G}} = 3 + \text{i}\sqrt{3}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $z_{\text{E}},~ z_{\text{F}}$ et $z_{\text{G}}$ sous forme trigonométrique.
\item Placer les points E, F et G dans $\mathcal{P}$.
\item Montrer que le triangle EFG est équilatéral. Le tracer.
\item Montrer que le point I $\left(2~ ;~ \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\right)$ est le centre du cercle $\mathcal{C}$ circonscrit au triangle EFG. Tracer $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\parbox[l]{0.55\textwidth}{On considère que le disque déterminé par $\mathcal{C}$ forme une cible
décomposée en deux zones :

$\bullet~$ une zone triangulaire noire nommée N.

$\bullet~$ une zone blanche nommée B.

On suppose que la probabilité, pour un tireur, d'atteindre N est
$0,5$ et celle de rater la cible est $0,2$.} \hfill 
\parbox[l]{0.4\textwidth}{\begin{center}\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(3,3)
\pscircle(1.5,1.5){1.5}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0.25,0.7)(2.75,0.7)(1.5,3)
\uput[d](1.5,0){Cible}
\end{pspicture}\end{center}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité d'atteindre la cible ?
		\item Quelle est la probabilité d'atteindre B ?
	\end{enumerate}
\item On considère un tireur qui tire sur la cible.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item S'il atteint B, il gagne $5$~euros.
\item S'il atteint N, il gagne $2$~euros.
\item S'il rate la cible, il doit payer $8$~euros.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque tir associe le gain correspondant (positif ou négatif).
	\begin{enumerate} 
		\item Définir la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$. Le jeu est-il équitable ?
		\item Calculer la valeur arrondie à $10^{-2}$ près de l'écart type de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

Par la suite, on désigne par I l'intervalle  $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Soit $f$ la fonction définie, pour tout nombre réel $x$ de I, par

\[f(x) = \cos x + \sin x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ puis la fonction dérivée seconde  $f''$ de $f$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de I, $f''(x) < 0$.
		\item En déduire le tableau de variations de $f'$ sur I.
		\item Calculer $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$. En déduire le signe de $f'(x)$ pour $x$  appartenant à I.
		\item En déduire le tableau de variations de $f$ sur I.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentant $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Ouv. (Unités $4$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur celui des ordonnées).
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de I,
		
\[[f(x)]^2 = 1 + \sin 2x.\]

		\item En déduire une primitive sur I de la fonction qui, à tout
nombre réel $x$ de I, associe $[f(x)]^2$.
	\end{enumerate}
\item Soit V le volume du solide engendré par la rotation de $\mathcal{C}$
autour de l'axe des abscisses.

Calculer V en unités de volume.

(On rappelle que V $= \pi \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} [f(x)]^2\: 
\text{d}x$).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier, en fonction du nombre réel $x$, le signe de $x^2 - 1$.
\item Étudier, en fonction du nombre réel $x$, le signe de $\text{e}^x - 6$.
\item Déduire des questions précédentes, en fonction du nombre
 réel $x$, le signe de $(x^2 - 1)\left(\text{e}^x - 6\right)$. 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère les fonctions $g$ et $f$ définies, pour tout nombre réel
$x$, par :

\[g(x) = -2x^3+6x \quad \text{et} \quad f(x) = (x - 1)^2\text{e}^x + g(x).\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite de $g$ en $- \infty$.
		\item Calculer la limite de $f$ en $- \infty$. (On rappelle que $\left. \displaystyle \lim_{x \to - \infty}  x^2 \text{e}^x = 0\right)$.
\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ non nul,

\[f(x) = x\text{e}^x\left(x - 2  + \dfrac{1}{x} - 
2\dfrac{x^2}{\text{e}^x} + \dfrac{6}{\text{e}^x}\right).\]

		\item En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$,

\[f'(x) = (x^2 - 1)\left(\text{e}^x - 6\right).\]

\item Déduire de la troisième question de la \textbf{partie A} le tableau de
variations de $f$.
\item Soient $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ les courbes représentant respectivement $f$ et $g$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij, (Unités :
$2$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur celui des ordonnées).
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite de $f - g$ en $- \infty$,
		\item En déduire que $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ sont asymptotes.
		\item Étudier les positions relatives de $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ et préciser les  coordonnées du point E commun à $\mathcal{C}$ et $\Gamma$.
	\end{enumerate} 
\item La courbe $\Gamma$ est tracée sur la feuille annexe que l'on rendra
avec la copie. Compléter ce dessin en traçant $\mathcal{C}$ ainsi que les
tangentes à $\mathcal{C}$ aux trois points d'abscisses $- 1,~1$ et $\ln 6$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
	
\begin{enumerate} 
\item Déterminer les réels $a,~ b$ et $c$ tels que la fonction $H$ définie, pour tout nombre réel $x$, par 

\[H(x) = \left(ax^2 + bx + c\right)\text{e}^x\]

soit une primitive de la fonction qui, à tout nombre réel $x$,
 associe $\left(x^2 - 2x + 1\right)\text{e}^x$.
\item Soit D, la partie du plan limitée par $\mathcal{C}$,\:$\Gamma$ et les droites d'équation $x = - 1$ et $x = 1$.

Colorier D puis calculer les valeurs exactes de l'aire de D en
unités d'aire et en cm$^2$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
Figure annexée au sujet, à compléter et à rendre avec la copie

\medskip
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.1cm}
\begin{pspicture}(-3,-6)(4,14)    

\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(-3,-6)(4,14)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-6)(4,14)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](4,0){$x$} \uput[r](0,14){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2.426}{2.1035}{6 x mul x 3 exp 2 mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%  fin Génie des matériaux septembre 2003
\end{document}