\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} 
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multicol}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-circ,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'intégrale 2004}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI  2004~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de juin à  novembre 2004  }}

\vspace{0,25cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\hyperlink{Metroappli}{Métropole Arts appliqués juin  2004} \dotfill \pageref{Metroappli}\\
\hyperlink{Metroapplisep}{Métropole Arts appliqués septembre  2004} \dotfill \pageref{Metroapplisep}\\
\hyperlink{Reunioncivil}{La Réunion  Génie civil juin  2004} \dotfill \pageref{Reunioncivil}\\
\hyperlink{Metrocivil}{Métropole Génie civil juin  2004} \dotfill \pageref{Metrocivil}\\
\hyperlink{Polynesiecivil}{Polynésie Génie civil  juin  2004}  \dotfill \pageref{Polynesiecivil}\\
\hyperlink{Metrocivilsep}{Métropole Génie civil septembre  2004} \dotfill \pageref{Metrocivilsep}\\
\hyperlink{Caledocivil}{Nouvelle-Calédonie Génie civil  novembre  2004}  \dotfill \pageref{Caledocivil}\\
\hyperlink{Metroelectro}{Métropole Génie électronique  juin  2004} \dotfill \pageref{Metroelectro}\\
\hyperlink{Polynesieelectro}{Polynésie Génie électronique  juin  2004}  \dotfill \pageref{Polynesieelectro}\\
\hyperlink{Metroelectrosep}{Métropole Génie électronique  septembre  2004} \dotfill \pageref{Metroelectrosep}\\
\hyperlink{Caledoelectro}{Nouvelle-Calédonie Génie électronique  novembre 2004}  \dotfill \pageref{Caledoelectro}\\
\hyperlink{Metromateriaux}{Métropole Génie des matériaux  juin  2004} \dotfill \pageref{Metromateriaux}\\
\hyperlink{Metromateriauxsep}{Métropole Génie des matériaux  septembre  2004} \dotfill \pageref{Metromateriauxsep}\\
\end{tabularx}
\newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%  Métropole Arts appliqués juin 2004
\hypertarget{Metroappli}{} 

\label{Metroappli}
\lhead{\small Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués-- Métropole juin 2004~\decofourright\\ }

\end{center} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}
 
\medskip
 
Sophie et Luc jouent très mal aux échecs, c'est pourquoi ils ont 
inventé le jeu suivant :

Sophie possède un sac contenant cinq pièces blanches : une reine, 
une tour, deux cavaliers et un pion.

Le sac de Luc contient cinq pièces noires : une reine, deux tours, 
et deux pions.

\textbf{Principe du jeu :}

Chacun tire une pièce de son sac, celui qui a la pièce la plus 
forte gagne la partie.

Une reine bat toutes les autres pièces.

Une tour bat un cavalier ou un pion.

Un cavalier bat un pion.

Deux pièces identiques font partie nulle.

Exemples :	

Sophie tire une reine et Luc une tour : Sophie gagne la partie.

Sophie et Luc tirent tous les deux un pion : il y a partie nulle.

\begin{enumerate} 
\item Dans le tableau ci-dessous, chaque case correspond à une issue  possible du jeu.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{Sophie}{Luc} & R & T$_1$ &T$_2$ & P$_1$ & P$_2$\\ \hline
R 		& & & & & \\ \hline
T 		& & & & & \\ \hline
C$_1$	& & & & & \\ \hline
C$_2$ 	& & & & & \\ \hline
P 		& & & & & \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Recopier ce tableau et compléter chaque case :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  Par un S lorsque Sophie gagne.
\item  Par un L lorsque Luc gagne.
\item  Par un N lorsque la partie est nulle.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On suppose les tirages équiprobables.

\item Calculer les probabilités des évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item A : \og La partie est nulle \fg.
		\item B : \og Sophie gagne \fg.
		\item C : \og Luc gagne \fg.
	\end{enumerate}
\item Y a-t-il, du point de vue du contenu des sacs, un joueur avantagé 
par rapport à l'autre ?

Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

\medskip

Un musée souhaite orner ses publications d'un motif en filigrane.

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité 
graphique $5$~cm.

L'axe des ordonnées sera centré sur la feuille de papier millimétré.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par :
 
\[f(x) = 2\text{e}^x - 4x.\]

On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la 
fonction $f$ dans le  plan muni du repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item $f'$ désignant la fonction dérivée de $f$, 
calculer $f'(x)$ et étudier  son signe. Dresser le tableau de variations 
de $f$.
\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point  A d'abscisse $0$.
\item Tracer avec soin la courbe $\mathcal{C}_f$ et sa tangente T en A.
\item Calculer l'intégrale I$_f = \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par :
 
\[g(x) = \ln(x + 1).\]

On appelle $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le  plan muni du repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier les variations de la fonction $g$. Dresser son tableau de  variations.
\item Tracer avec soin la courbe $\mathcal{C}_g$ dans le même repère \Oij{} que  précédemment.
\item Soit $G$ la fonction définie sur [0~;~1] par 

\[G(x) = (x + 1)\ln (x + 1) - (x + 1).\]

	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~1].
		\item Calculer l'intégrale I$_g =  \displaystyle\int_0^1 g(x)\:\text{d}x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : constitution du motif}

\medskip

On nomme P le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $1$ et Q le point de $\mathcal{C}_g$ d'abscisse $1$.

La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées transforme les 
courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, respectivement en courbes $\mathcal{C}'_f$ et $\mathcal{C}'_g$ (les points P et Q ayant pour images 
respectives P$'$ et Q$'$).

Tracer les courbes $\mathcal{C}'_f$  et $\mathcal{C}'_g$ ainsi que les segments [PQ]  et [P$'$Q$'$].

Le domaine limité par les courbes $\mathcal{C}_f,~\mathcal{C}'_f,~\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}'_g$ ainsi que par les segments [PQ] et [P$'$Q$'$] constitue le motif que cherche à reproduire le musée.

Expliquer comment on peut calculer l'aire de ce motif et calculer 
cette aire en cm$^2$ (on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près).
%%%%%%%%%%%%    fin Arts appliqués Métropole juin 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%    Métropole  Arts appliqués septembre 2004
\hypertarget{Metroapplisep}{}

\label{Metroapplisep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués Métropole~\decofourright\\[5pt]septembre 2004}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill  8 points}

\medskip

\textsl{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Parmi les réponses proposées à chaque question ou sous-question, une seule est correcte. Dans chaque cas une seule réponse est attendue : on indiquera seulement sur la copie la réponse exacte (aucune justification n'est demandée). Toutes les questions sont indépendantes. Cha\-que réponse exacte rapporte un point.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Des jetons contenus dans une urne peuvent être de $3$ formes (ronds, carrés ou triangulaires) et de $4$ couleurs (rouge, bleu, vert ou jaune). Toutes les possibilités de formes et de couleurs sont présentes dans l'urne. Le nombre de jetons différents est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
81&	7&	12& 	64\\
\end{tabularx}

\medskip

\item  On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes, la probabilité de l'évènement \og tirer une dame ou un c{\oe}ur \fg{} est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$\dfrac{12}{32}$ & 	$\dfrac{1}{11}$	& $\dfrac{11}{32}$ & $\dfrac{1}{12}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item On considère un repère \Oij{} du plan. Soit $\mathcal{C}$ la représentation graphique, dans ce repère, de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = - x^3 + 6x^2 - 9x +20$ . Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$y = 2x + 14$ &	$y = 3x$ &	$y = 18$ &	$y = 3x + 12$\\
\end{tabularx}

\medskip
\item On considère un repère \Oij{} du plan. Soit $\mathcal{C}$ la représentation graphique, dans ce repère, de la fonction $f$ définie sur $]2~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{3x - 4}{x - 2}$ . Cette courbe admet comme asymptote la droite d'équation :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$y = 2$ &$y=3x-4$ &	$x=2$ &	$y=x-2$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item L'équation $\ln (x + 3) + \ln (x + 5) =  \ln 15$ admet pour ensemble de solutions :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$\left\{\dfrac{7}{2}\right\}$	&	$\left\{0\right\}$	&  $\left\{0~;~-8\right\}$  &	$\left\{1~ ;~\text{e}^{-8}\right\}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} on considère la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $25x^2 + 36y^2 - 900 = 0$. 
	\begin{enumerate} 
		\item  La courbe $\mathcal{C}$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
une ellipse&	un cercle&	une hyperbole& 	une parabole\\
\end{tabularx}

\medskip
		\item Un de ses foyers F a pour coordonnées dans le repère orthonormal \Oij{}:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$\text{F}\left(0~; ~\sqrt{11}\right)	$&	$\text{F}\left(\sqrt{11}~;~ 0\right)	$& $\text{F}\left(0~;~\sqrt{61}\right)$ 	&	$\text{F}\left(\sqrt{61}~;~0\right)$\\
\end{tabularx}

\medskip

		\item Un de ses sommets A a pour coordonnées :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
A(0~;~5)	&A(5~;~0) &A(36~;~0)&A(0~;~36)\\
\end{tabularx}

\medskip
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^{2x} - 5\text{e}^x  + 4.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques $2$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur l'axe des ordonnées.

\begin{enumerate} 
\item Recopier et compléter le tableau suivant, en donnant pour chaque valeur de $x$ une valeur approchée de $f(x)$ à $10^{-1}$ près.

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$			&$-4$&$-3$&$-2$&$-1$&	0	&1&1,5& 	2\\ \hline
$f(x)$	& 			& 			& 			&  		& 		& 	& 		& \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $D$ dont on donnera une équation.
\item	
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que pour tout réel $x,~ f (x) = \text{e}^{2x}\left(1 - 5\text{e}^{-x} + 4\text{e}^{-2x}\right)$. 
		\item En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, calculer $f'(x)$ et vérifier que pour tout $x$ réel $f'(x) = \text{e}^x\left(2\text{e}^x - 5\right)$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$.
		\item Dresser le tableau de variation de $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $X^2 - 5X + 4 =  0$ d'inconnue $X$.		
		\item À l'aide de la question \textbf{a.} et en posant $X= \text{e}^x$, résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$	d'inconnue $x$.	
		\item En déduire les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des	abscisses.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et l'asymptote $D$ dans le repère \Oij.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$.	
		\item Hachurer sur le graphique la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses	et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 4$. On appelle $\mathcal{A}$ cette partie du plan.	
		\item On admet que la fonction $f$ est négative sur l'intervalle $[0~;~ \ln 4]$.

Calculer, en cm$^2$, la valeur exacte de l'aire de $\mathcal{A}$ puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%    Métropole  Arts appliqués septembre 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%    La Réunion Génie Civil juin 2004
\hypertarget{Reunioncivil}{}

\label{Reunioncivil}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie civil}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie civil La Réunion juin 2004 ~\decofourright}}

\end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, d'unité graphique 1~cm. 

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
Soit $P(z) =  z^3 - 8z - 32$, où $z$ est un nombre complexe. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(4)$. 
		\item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^2 + 4z + 8 = 0$. 
		\item Déterminer les réels, $a,~b,~c$ tels que : $P(z) = (z - 4)\left(az^2 + bz + c\right)$. 
		\item Déduire des questions précédentes la résolution de l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item 	Dans le plan complexe, on considère les points A, B, C d'affixes respectives :
 
\[z_{\text{A}} = 4 \quad ;\quad z_{\text{B}} -2 + 2\text{i} \quad; \quad z_{\text{B}} =  -2 - 2\text{i}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure, sur la copie, représentant les points A, B, C dans le repère. 
		\item  Déterminer le module et un argument des nombres complexe $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$. 
		\item  Déterminer, en justifiant, la nature du triangle OBC. 
	\end{enumerate}
\item Soit $\Omega$ le point d'affixe $z_{\Omega} = \dfrac{2}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les modules des nombres complexes $z_{\text{A}} - z_{\Omega},\: z_{\text{B}} - z_{\Omega},\: z_{\text{C}} - z_{\Omega}$. 
		\item  Que représente $\Omega$ pour le triangle ABC ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip
 
Dam un atelier de réparation un technicien s'occupe des ordinateurs \textbf{en panne} qui lui arrivent. Les composants à l'origine de la panne peuvent uniquement être : l'alimentation, la carte graphique ou le processeur.
 
Une panne simultanée de deux ou trois composants est possible.
 
Le technicien chargé de la détection des pannes établit le diagnostic d'un ordinateur à l'aide d'un triplet utilisant les initiales des composants, surmontées d'une barre en cas de panne.
 
Par exemple, $\left(\text{A}~;~\text{CG}~;~\overline{\text{P}}\right)$ signifie que l'alimentation et la carte graphique fonctionnent et que la panne provient du processeur.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir la liste des sept diagnostics possibles sur un ordinateur en panne. 
\item On suppose que les sept diagnostics ont la même probabilité d'être établis. Quelle est la probabilité pour qu'un seul des composants soit en panne ? 
\item Le tableau suivant donne le coût des composants à remplacer : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\emph{Composant}	&Alimentation	&Carte graphique&  Processeur\\ \hline  
\emph{Prix en} \euro&80				&160			&80\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

Le coût d'une réparation est celui du remplacement des pièces auquel il faut \textbf{ajouter} un forfait de main-d'{\oe}uvre de 25~\euro{} \textbf{indépendant du nombre de composants à remplacer}. 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque ordinateur en panne associe le coût de la réparation.
		
Donner la liste des valeurs possibles de $X$. 
		\item  Donner dans un tableau la loi de probabilité de $X$. 
		\item  Calculer l'espérance mathématique de $X$. Arrondir le résultat à l'unité. 
		\item  Quel devrait être le coût du forfait de la main-d'{\oe}uvre, arrondi à l'unité, pour que le prix moyen d'une réparation soit de 200~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip 

Ce problème a pour  but de montrer un exemple de courbes représentatives de deux fonctions qui  sont asymptotes, puis de calculer une aire comprise entre deux courbes. 

\medskip

\textbf{Partie A : Détermination d'une fonction}

\medskip
 
On considère la courbe représentative $\mathcal{C}$, d'une fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$, dans le plan rapporté à un repère orthogonal d'unités graphiques 2~cm en abscisse et 1,5~cm en ordonnée.

Cette courbe est représentée sur le document fourni en annexe.
 
Les points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses ont pour coordonnées respectives  (1~;~0) et (3~;~0).

\medskip
 	 
\begin{enumerate}
\item Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que, pour tout réel  $x \in  ]0~;~+\infty[$,

\[g(x) = \dfrac{x^2 + ax + b}{x}.\] 
 
En utilisant les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses, déterminer les nombres $a$ et $b$. 
\item Montrer que $g(x)$ peut s'écrire : $g(x) = x - 4 + \dfrac{3}{x}$.  
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B  Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit la fonction $h$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 

\[h(x) = x^2 + 1 - 2 \ln x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $h$ et dresser son tableau de variations. 
\item Calculer $h(1)$. En déduire que $h(x)$ est strictement positif pour tout nombre réel $x$ de $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Étude de fonction}

\medskip
  
On définit la fonction $f$ par, 

\[f(x) = x - 4 + \dfrac{1 + 2\ln x}{x}\]

sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. On appellera $\Gamma$, la courbe représentative de $f$ dans le repère orthogonal du document 1.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers zéro. En déduire que $\Gamma$ admet une asymptote que l'on précisera. 
\item Calculer la limite de $f(x)$ en $+ \infty$. 
\item Pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$ montrer que $f'(x) = \dfrac{h(x)}{x^2}$. En déduire le tableau de variations de $f$. 
\item Courbes asymptotes.  On rappelle que $g(x) = x - 4 + \dfrac{3}{x}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite en $+ \infty$ de $f(x) - g(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat. 
		\item  Déterminer,  par le calcul, les coordonnées du point d'intersection des courbes $\Gamma$ et $\mathcal{C}$. 
		\item  Sur $]0~;~+ \infty[$ déterminer la position de la courbe $\Gamma$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate} 
\item 	Construire la courbe $\Gamma$ sur le document fourni en annexe et \textbf{que l'on rendra avec  la copie}.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie D : Calcul d'une aire comprise entre deux courbes}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(x) - g(x)$ admet pour primitive sur $]0~;~+ \infty[$ la fonction $K$ définie par : 

\[K(x) = (\ln x - 1)^2.\]
 
\item Sur le document fourni en annexe, hachurer l'aire comprise entre les deux courbes et les droites d'équations $x = \text{e}$ et $x = \text{e}^2$. 
\item 	Calculer la valeur de cette aire en cm$^2$. 
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{landscape}

\textbf{\large Document à rendre avec la copie}

\vspace{0.25cm}

\psset{xunit=1.6cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-3)(10,6.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.7pt,gridcolor=orange,linestyle=dotted](0,-3)(10,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(10,6.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](10,0){$x$}\uput[l](0,6.4){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.31}{9.69}{x 4 sub 3 x div add}
\end{pspicture}
\end{landscape}
\end{center} 
%%%%%%%%%%%%%%  fin Génie civil La Réunion juin 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%  Métropole Génie Civil juin 2004
\hypertarget{metrocivil}{} 

\label{Metrocivil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie civil Métropole juin 2004 ~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

\end{center}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, d'unité graphique $2$~cm.

Le nombre i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument  $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit trois nombres complexes 

\[z_1 = \sqrt{3} +  \text{i} \qquad ;\qquad z_2 =  \dfrac{z_1^2}{2} \qquad 
\text{et} \quad  z_3 = \dfrac{4}{z_2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de $z_1$.
		\item Écrire sous la forme $a + b\text{i}$ les complexes $z_2$ et $z_3$.
	\end{enumerate}
\item Soit quatre nombres complexes 

\[z_{\text{A}} = \sqrt{3} +  \text{i},~ z_{\text{B}} = 1 + 
\text{i}\sqrt{3},~ z_{\text{C}}= - \sqrt{3} + \text{i} \quad \text{et} 
\quad z_{\text{D}} = 1 -\text{i}\sqrt{3}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_{\text{A}}, z_{\text{B}}, z_{\text{A}}$ et $z_{\text{D}}$ sont sur un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

Tracer le cercle dans le plan complexe et placer les points A, B, C et D.
		\item Calculer $\left|z_{\text{C}} - z_{\text{B}}\right|$ et  
$\left|z_{\text{D}} - z_{\text{A}}\right|$.
		\item Calculer les affixes des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{CD}}$ ; vérifier que 
$\vect{\text{CD}} = -\left(\sqrt{3} + 2\right)\vect{\text{AB}}$.
		\item Indiquer si les propositions suivantes sont justes ou fausses ; justifier vos réponses.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] AD = BC ;
\item[$\bullet~~$] CD =  3AB ;
\item[$\bullet~~$] ABCD est un trapèze isocèle.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Une association de randonneurs organise un repas. Elle fixe le prix de la 
manière suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] le tarif pour un enfant âgé de 10 ans ou moins est de $5$~\euro{} ;
\item[$\bullet~~$] le tarif pour un jeune âgé de 11 à $16$~ans est de $8$~\euro{} ;
\item[$\bullet~~$] dans les autres cas le tarif est de $10$~\euro.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

De plus, tout membre de l'association bénéficie d'une réduction de $20\,\%$  appliquée au tarif le concernant. Ainsi, un membre âgé de 11 à 16 ans 
paiera $6,40$~\euro.
 
Les participants au repas, au nombre de $600$, sont répartis
selon le tableau ci-dessous :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}}\hline
Participant& 10 ans ou moins& entre 11 et 16 ans& plus de 16 ans& 	Total
\\ \hline
membre		&50		&40		&110	&200\\ \hline
non-membre	&110	&100	&190 	&400\\ \hline
Total		&160	&140	&300	&600\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A}

On choisit au hasard une personne ayant participé au repas.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Quelle est la probabilité qu'elle soit membre de l'association ?
\item Quelle est la probabilité qu'elle paye plus de $7$~\euro ?
\item On considère la variable aléatoire $X$ égale au prix du repas pour un  participant choisi au hasard. Vérifier que la probabilité pour que $X$
 prenne la valeur $6,40$ est égale à $\dfrac{1}{15}$.
\item Déterminer les valeurs prises par $X$, puis donner la loi de probabilité de $X$. 
\item Déterminer l'espérance mathématique de $X$, notée E($X$)
(calculer la valeur exacte sous forme de fraction, puis une valeur décimale approchée à $0,01$ près).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Calculer la recette totale perçue par l'association à l'occasion de ce repas.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la  fonction définie sur $]-1~;~+ \infty[$ par

\[f(x) =  - x + \ln (2x + 2) - \ln (x + 2).\]

On appelle ($\mathcal{C}$) la courbe représentative 
de la fonction $f$ dans un repère orthogonal ($4$~cm pour une unité en abscisses et $8$~cm pour une unité en ordonnées).

\bigskip

\textbf{Préliminaires :}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que sur $]-1~;~+ \infty[,\,(2x + 2)  > 0$ et $(x + 2) > 
0$.
\item Étudier le signe de $x^2 + 3x + 1$ sur $\R$ et en déduire que sur 
$]-1~;~+ \infty[,\,x^2 + 3x + 1$ s'annule pour une et une seule valeur $\alpha$ dont on donnera la valeur exacte.
\end{enumerate}

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie A : Limites et asymptotes}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - 1} f(x)$. Que peut-on en déduire graphiquement ?
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $f(x)$ peut s'écrire sous la forme $f(x) = -x + \ln  2 + \ln \left(\dfrac{x + 1}{x + 2}\right)$.
		\item Déterminer alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = -x + \ln (2)$ est asymptote oblique à ($\mathcal{C}$) en $+ \infty$.
		\item Déterminer la position de ($\mathcal{C}$) par rapport à la droite $\mathcal{D}$ sur $]-1~;~+ \infty[$.	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude des variations}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et montrer que $f'(x) = - \dfrac{x^2 + 3x + 1}{(x + 1)(x + 2)}$.
\item À l'aide des résultats obtenus dans les préliminaires, étudier le signe de $f'$ sur $]-1~;~+ \infty[$.
\item Construire le tableau de variations de la fonction $f$ 
(on se contentera d'une valeur décimale approchée à $10^{-1}$ près de 
l'extremum de $f$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Représentation graphique}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Justifier que l'équation $f(x) =  0$ admet, dans l'intervalle $[- 0,8~;~- 0,4]$, une solution unique notée $\beta$.

Donner un encadrement de $\beta$ à $10^{-2}$ près.
\item Déterminer une équation de la droite T tangente à ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse $0$.
\item Reproduire et compléter le tableau suivant : (on donnera les résultats arrondis à $10^{-1}$ près) :

\[\renewcommand{\arraystretch}{2.5}\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		& $-0,8$&$\dfrac{\sqrt{5} - 3}{2}$	&0	& 0,5	& 1	& 2\\ \hline
$f(x)$	&					&				&	&		&	&\\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Représenter graphiquement la droite T, les asymptotes et ($\mathcal{C}$) dans le repère donné.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Génie civil Métropole juin 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Polynésie Génie civil juin 2004
\hypertarget{Polynesiecivil}{} 

\label{Polynesiecivil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie juin 2004~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal 
direct \Ouv, unité graphique : $2$~cm.

On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument 
$\dfrac{\pi}{2}$.

On considère les points A, B, C, D et E d'affixes respectives :

\[a = \text{i} \quad ;\quad  b = 1-2\text{i}\quad  ;\quad  c = 3+2\text{i}\quad ; \quad  d = -1+4\text{i}\quad  ; \quad e = -3.\]

On considère aussi l'application $f$ qui, à tout point $M$ d'affixe 
$z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = \text{i}z - 
1 + \text{i}$.

\begin{enumerate} 
\item Placer les points A, B, C, D et E clans le repère \Ouv.
\item Étude de quelques cas particuliers. 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que l'image de A par $f$ est le point A lui-même et que l'image de B est le point C. 
		\item Déterminer les images de C, D et E par $f$.
	\end{enumerate}
\item Étude du quadrilatère BCDE.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer	$\dfrac{b + d}{2}$ et $\dfrac{c + e}{2}$ ; qu'en déduit-on pour le  quadrilatère BCDE ?			
		\item Calculer $|d - b|$ et $|e - c|$. Quelle information supplémentaire 
obtient-on sur le quadrilatère BCDE ? 	
		\item Montrer BC = BE et en déduire la nature exacte du quadrilatère BCDE.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

Une urne opaque contient $25$ boules de deux couleurs, indiscernables au 
toucher : $6$ rouges et $19$ jaunes.

Parmi les rouges, trois portent le nombre $0$, deux le nombre $5$ et une le nombre $10$ ; parmi les jaunes, dix portent le nombre $0$, cinq le nombre $1$, deux le nombre  $5$ et deux le nombre $10$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On tire une boule de l'urne, au hasard ; tous les tirages 
sont équiprobables.

Déterminer les probabilités des évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item A : \og la boule tirée ne porte pas le nombre $0$ \fg.
		\item B : \og la boule tirée est rouge et porte un nombre pair \fg. 
		\item C : \og la boule tirée est jaune ou porte un nombre impair \fg.

(\textsl{Les résultats seront donnés sous forme décimale exacte})
	\end{enumerate}
\item On organise une tombola. 

Pour participer à une partie, un joueur doit miser $2$~euros. Il tire ensuite une boule de l'urne. Si cette boule est jaune, il  reçoit une somme en euros égale au nombre inscrit sur la boule ; si elle est rouge, il reçoit une somme en euros égale au double du nombre inscrit sur la  boule.

On appelle \og gain \fg{} du joueur la différence entre la somme reçue et la mise :

\textbf{Exemples} : 

si le joueur tire une boule jaune portant le nombre $1$, son \og gain \fg{} est égal à $- 1$~euro.

si le joueur tire une boule rouge portant le nombre $5$, son \og gain \fg{} est égal  à $8$~euros.

On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le \og gain \fg{}  du joueur.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $X$. 
		\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Calculer, en détaillant le calcul, l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.

Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{I. Première partie}

\begin{enumerate} 
\item Découverte d'une fonction $f$
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre l'équation différentielle $y'- 2y = 0$ où $y$ est une fonction  dérivable sur l'ensemble des nombres réels. 
		\item Déterminer la solution particulière $f$ de cette équation différentielle vérifiant $f(0) =1$.
	\end{enumerate}	
\item Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par $g(x) = 
3\text{e}^x + 2x - 4$. 

Vérifier que $g$ est solution de l'équation différentielle $y'- y = 6- 2x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II. Deuxième partie : étude de la fonction} \boldmath  $h = f - g$ \unboldmath

\medskip

On considère la fonction $h$ définie pour tout nombre réel $x$ par 

\[h(x) =  \text{e}^{2x} -  3 \text{e}^x- 2x + 4,\]

 et on appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un 
repère orthogonal \Oij{} unités graphiques : $2$~cm sur l'axe des abscisses  et $1$~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Vérifier que $h(x) = \text{e}^x\left(\text{e}^x - 3 - 
2\dfrac{x}{\text{e}^x} + \dfrac{4}{\text{e}^x}\right)$ pour tout réel $x$ et en déduire la limite de $h$ en $+ \infty$

\item Étude en $- \infty$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $h$ en $- \infty$.
		\item Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = -2x + 4$ est asymptote oblique  à $\mathcal{C}$ en $- \infty$.
		\item On pose pour tout réel $x,\: d(x) = h(x) +2x - 4$ ;

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Vérifier que $d(x) = \text{e}^x(\text{e}^x - 3)$.
\item[$\bullet~$] Étudier le signe de $d(x)$ pour tout nombre réel $x$.
\item[$\bullet~$] En déduire la position relative de la 
courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\end{enumerate}
\item Étude de la dérivée de $h$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $h'(x)$ pour tout réel $x$ et vérifier que $h'(x) = \left(\text{e}^x -2\right)\left(2\text{e}^x + 1\right)$.
		\item Étudier le signe de $h'(x)$ pour tout nombre réel $x$, en déduire les  variations de $h$ et dresser son tableau de variations ; on donnera la valeur exacte du minimum de $h$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère  \Oij{} pour $x$ appartenant à l'intervalle $[-4~;~1,5]$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{III. Troisième partie : calcul d'une aire}

\medskip

On considère le domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite 
$\mathcal{D}$, l'axe  des ordonnées et la droite d'équation $x = \ln 3$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Hachurer le domaine sur le graphique précédent.
\item Calculer en cm$^2$ la valeur exacte de l'aire du domaine J.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin Génie civil Polynésie juin 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%   Métropole génie civil septembre 2004
\hypertarget{Metrocivilsep}{}

\label{Metrocivilsep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2004}}  
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie Mécanique Métropole~\decofourright\\[5pt]septembre 2004 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Une feuille de  papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, d'unité graphique $1$~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.\\
Soit $P(z) = z^3 - 8z -32$ , où $z$ est un nombre complexe.

\begin{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $P(4)$.
		\item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^2 + 4z + 8 = 0$.
		\item Déterminer les réels $a,\: b,\: c$ tels que : $P(z) = (z - 4)\left(az^2 + bz + c\right)$.
		\item Déduire des questions précédentes la résolution de l'équation 
$P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Dans le plan complexe, on considère les points A, B, C d'affixes 
respectives :

\[z_{\text{A}}  = 4 \quad ; \quad z_{\text{B}} = - 2 + 2\text{i} \quad ; 
\quad z_{\text{C}} = - 2 - 2\text{i}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Faire une figure, sur la copie, représentant les points A, B,  C dans le repère.
		\item Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{B}}$  et $z_{\text{C}}$.
		\item Déterminer, en justifiant, la nature du triangle OBC.
	\end{enumerate}
\item Soit $\Omega$ le point d'affixe $z_{\Omega} = \dfrac{2}{3}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les modules des nombres complexes $z_{\text{A}} -  z_{\Omega},~z_{\text{B}} - z_{\Omega},~z_{\text{C}} - z_{\Omega}$.
		\item Que représente $\Omega$ pour le triangle ABC ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Dans un atelier de réparation un technicien s'occupe des ordinateurs en panne qui lui arrivent. Les composants à l'origine de la panne peuvent uniquement  être : l'alimentation, la carte graphique ou le processeur.

Une panne simultanée de deux ou trois composants est possible.

Le technicien chargé de la détection des pannes établit le 
diagnostic d'un ordinateur à l'aide d'un triplet utilisant les initiales des
 composants, surmontées d'une  barre en cas de panne.
 
Par exemple : (A ; CG ; $\overline{\text{P}}$) signifie que l'alimentation et la carte  graphique fonctionnent et que la panne provient du processeur.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Établir la liste des sept diagnostics possibles sur un  ordinateur en panne.
\item  On suppose que les sept diagnostics ont la même probabilité 
d'être établis. Quelle est la probabilité pour qu'un seul des composants 
soit en panne ?
\item  Le tableau suivant donne le coût des composants à remplacer :

\begin{center} \begin{tabular}{|*{4}{c|}}\hline
Composant 		& Alimentation & Carte graphique 	& Processeur\\ \hline
Prix en \euro	&	80 					&	160 	&	80 \\ \hline
\end{tabular} \end{center}

Le coût d'une réparation est celui du remplacement des pièces  auquel il faut ajouter un forfait de main-d'oeuvre de 25 \euro{} indépendant du nombre de  composants à remplacer.
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque ordinateur en panne associe le coût de la réparation. Donner la liste des valeurs possibles  de $X$.
		\item Donner dans un tableau la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$. Arrondir le résultat à  l'unité.
		\item Quel devrait être le coût du forfait de la main-d'{\oe}uvre, 
arrondi à l'unité, pour que le prix moyen d'une réparation soit de $200$ ~\euro ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Ce problème a pour but de montrer un exemple de courbes représentatives de deux fonctions qui sont asymptotes, puis de calculer une aire comprise entre deux  courbes.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A : Détermination d'une fonction}

\medskip

On considère la courbe représentative $\mathcal{C}$, d'une fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$, dans le plan rapporté à un repère orthogonal d'unités  graphiques $2$~cm en abscisse et $1,5$~cm en ordonnée.

Cette courbe est représentée sur le document fourni en annexe.
 
Les points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses ont pour  coordonnées respectives (1 ; 0) et (3 ; 0).

\begin{enumerate} 
\item Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que, pour tout réel $x \in ]0~;~+ \infty[,$

$g(x) = \dfrac{x^2 + ax + b}{x}$.

En utilisant les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses, déterminer les nombres $a$ et $b$.
\item Montrer que $g(x)$ peut s'écrire : $g(x) = x - 4 + \dfrac{3}{x}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit la fonction $h$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par  : $h(x) =  x^2+ 1 - 
2\ln x$.

\begin{enumerate} 
\item Étudier les variations de $h$ et dresser son tableau de  variations.
\item Calculer $h(1)$. En déduire que $h(x)$ est strictement positif pour 
tout nombre réel $x$ de $]0~;~ + \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Étude de fonction}

\medskip

On définit la fonction $f$ par : 

\[f(x) = x - 4 + \dfrac{1 + 2\ln x}{x}\]

sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. On appellera $\Gamma$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthogonal du document 1.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers zéro. En déduire que $\Gamma$ admet une asymptote que l'on précisera.
\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item Pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$ montrer que $f'(x) = 
\dfrac{h(x)}{x^2}$. En déduire le tableau  de variations de $f$.
\item Courbes asymptotes. On rappelle que $g(x) =  x - 4 + \dfrac{3}{x}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite en $+ \infty$ de $f(x) - g(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat.
		\item Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point 
d'intersection des courbes $\Gamma$ et $\mathcal{C}$.
		\item Sur $]0~;~ + \infty[$ déterminer la position de la courbe $\Gamma$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item Construire la courbe $\Gamma$ sur le document fourni en annexe et que 
l'on rendra avec la copie.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D : Calcul d'une aire comprise entre deux courbes}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $f(x) - g(x)$ admet pour primitive sur $]0~;~ + \infty[$ la  fonction $K$ définie par :

\[K(x) = (\ln x - 1)^2.\]

\item Sur le document fourni en annexe, hachurer l'aire comprise 
entre les deux courbes et les droites d'équations $x =  \text{e}$ et $x= 
\text{e}^2$.
\item Calculer la valeur de cette aire en cm$^2$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Document à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.05cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(10,7)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-3)(10,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](9.7,0){$x$} \uput[r](0,7.1){$y$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.28}{10}{3 x  div x add 4 sub}
\uput[u](9,5.3){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%   fin Métropole génie civil septembre 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Génie civil Nouvelle-Calédonie novembre 2004
\hypertarget{Caledocivil}{}

\label{Caledocivil}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2004}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft ~Baccalauréat STI -- Nouvelle--Calédonie novembre 2004~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, civil, énergétique }}
\end{center} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, 
unité graphique : $2$~cm.

On appelle $a,\: b,\: c$ les nombres complexes suivants 

\[ a = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}, \quad  b = \sqrt{2} + 
\text{i}\sqrt{2} \quad \text{et} \quad  c = ab.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Écrire $b$ et $c$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $r$ est un nombre réel positif et $\theta$ un nombre réel.
\item Donner la forme algébrique des nombres complexes $a$ et $c$.
\item En déduire la valeur exacte de $\cos \dfrac{7\pi}{12}$ et de $\sin \dfrac{7\pi}{12}$.
\item On considère les points B d'affixe $b$ et C d'affixe $c$.

Placer les points B et C dans le repère \Ouv{} et montrer que le 
triangle OBC est équilatéral.
\item On appelle D le point d'affixe $d = b + c$. Placer le point D sur la 
figure et montrer que le quadrilatère OBDC est un losange.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 } \hfill 4 points}

\bigskip

\textbf{I. Première partie}

\medskip

Une entreprise fabrique des appareils susceptibles de présenter deux 
types de pannes \og a \fg{} ou \og b \fg. On admettra que $5\:\%$ des appareils sont concernés par la panne \og a \fg, $3\,\%$ par la panne \og b \fg{} et $1\:\%$ par les deux pannes.

On prélève au hasard un appareil dans la production. On note A 
l'évènement : l'appareil présente la panne \og a \fg{} et B l'évènement : l'appareil  présente la panne \og b \fg.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que la probabilité pour cet appareil de présenter la panne  \og a \fg{} ou la panne \og b \fg{} est $0,07$.
\item Quelle est la probabilité pour cet appareil de présenter la panne \og a \fg{} et pas la panne \og b \fg{}?
\item Quelle est la probabilité pour cet appareil de ne présenter aucune des deux pannes ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II. Deuxième partie}

\medskip

L'entreprise fabrique un grand nombre d'appareils par semaine. Chaque appareil a un coût de fabrication de $200$~\euro. La réparation d'une panne \og a \fg{} coûte  $60$~\euro{} à l'entreprise, la réparation d'une panne \og b \fg{} coûte $40$~\euro{} et la réparation des deux pannes coûte $100$~\euro.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque appareil, associe  son prix de revient total (coût de fabrication et coût de la réparation éventuelle).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Quelles sont les valeurs prises par la variable 
aléatoire $X$ ?
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
\item Calculer l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$.
\item Que représente E($X$) pour l'entreprise ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\bigskip

\textbf{I. Première partie}

\medskip

Le but de cette partie est de trouver des solutions de l'équation différentielle (L) :

\[y' -  2y = - 2x -5\]

où $y$ désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des nombres réels.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $h$ la fonction définie pour tout nombre réel 
$x$ par $h(x) = x + 3$. Montrer que $h$ est solution de l'équation (E).
\item Résoudre l'équation différentielle (E$_0) : \quad y'-2y = 0$. On 
notera $g$ la  solution générale de (E$_0$).
\item Recherche d'une solution particulière de l'équation (E).

On considère la fonction $\varphi$ définie pour tout réel $x$ par $\varphi(x) =  g(x) + h(x)$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $\varphi$ est solution de l'équation différentielle (E).
		\item Déterminer la solution particulière $\varphi_0$ de l'équation (E) qui vérifie  $\varphi'(0) = 2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II. Deuxième partie : étude d'une fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par 

\[f(x) = - \text{e}^{2x} + x + 3.\]

On appelle ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère  orthogonal \Oij, unités graphiques : $3$~cm  sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur  l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étude en $-\infty$.
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
		\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = x + 3$ est asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$) en $- \infty$.
		\item Étudier la position de la courbe ($\mathcal{C}$) par rapport à la  droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item étude en $+ \infty$.
	\begin{enumerate} 
		\item Justifier que pour tout nombre réel $x$ non nul, 

\[f(x) = \left[\dfrac{\text{e}^x}{x}\left(\text{e}^{-x}\right) + 1 + 
\dfrac{3}{x}\right]x.\]

		\item Étudier la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item Étude des variations de $f$
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. Donner la valeur exacte de son maximum.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse 0.
\item Tracer dans le repère \Oij{} les droites $\Delta$ et (T) puis la courbe ($\mathcal{C}$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{III. Troisième partie :  calcul d'une aire}

\medskip

Soit $a$ un nombre appartenant à l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{3}{2}\right]$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer en unité d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan limitée par la courbe ($\mathcal{C}$), la droite $\Delta$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x =  a$.
\item Déterminer $a$ pour que $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Génie civil Nouvelle-Calédonie novembre 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%  Métropole Génie électronique, optique juin 2004
\hypertarget{Metroelectro}{} 

\label{Metroelectro}
\lhead{\small Baccalauréat Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique Métropole~\decofourright\\[5pt]juin 2004 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le nombre i est le nombre complexe de module $1$ et d'argument 
$\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans, l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation  d'inconnue $z$ :

\[z^2 -4z\sqrt{2} + 16 = 0.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère les nombres complexes

\[z_{\text{A}} = 4\text{i} \qquad ; \qquad z_{\text{B}} = 2\sqrt{2}(1 - 
\text{i}) \qquad ; \qquad z_{\text{C}} = 2\sqrt{2}(1 + 
\text{i}).\]

Déterminer  le module et  un  argument de chacun de ces nombres.
		\item Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.

Placer dans le repère \Ouv{} les  points A, B et C d'affixes respectives 
$z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$.
	\end{enumerate}
\item À tout nombre complexe $z$, on associe le nombre complexe $z'$ par la formule 

\[z' = \text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}} \times z.\]

On définit la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le  point $M'$ d'affixe $z'$.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est cette transformation ? Donner ses éléments  caractéristiques.
		\item Montrer  que $z'_{\text{B}} = z_{\text{A}}$.	Que peut-on en déduire  pour les points  A et  B ?
		\item Calculer  $z'_{\text{A}}$	sous forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ (avec $r > 0$), puis placer, dans le repère \Ouv{} le
point D d'affixe $z_{\text{D}} = z'_{\text{A}}$.
		\item	Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un cercle dont on précisera le centre et le  rayon.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 4 points}
 
\medskip

Un organisme de voyages prépare en Logoland un circuit de découverte qui doit passer une et une seule fois dans chacune des quatre villes notées 
respectivement I, L, O et Z.

Pour établir l'ordre des visites des villes, l'organisme doit tenir compte 
de deux impératifs

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Le circuit ne peut partir que de I, L ou Z car la ville O ne possède pas  d'aéroport international. 
\item[$\bullet~$] La fin du voyage devant être en bord de mer,
le circuit doit se terminer par I ou Z.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Un circuit possible est I, L, O et Z. Il sera noté (I, L, O, Z) .

Un exemple de circuit impossible est I, O, Z, L. Il est noté (I, O, Z, L).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Expliquer pourquoi ce dernier circuit est impossible.
\item Déterminer les huit circuits possibles.
\item On choisit un circuit au hasard (chaque circuit a la même probabilité  d'être choisi). 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité pour que le circuit se termine à I ?
		\item Quelle est la probabilité pour que le circuit commence à L ?
	\end{enumerate}
\item L'agence de voyages s'intéresse au nombre de kilomètres parcourus en bus  entre la ville de départ et la ville d'arrivée pour chaque circuit. Les distances exprimées en kilomètres entre les quatre villes sont indiquées dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{}	&L		&I		&Z		&0\\ \hline
L						&0		&500	&600	&300 \\ \hline
I						&500	&0		&500	&700\\ \hline
Z						&600	&500	&0		&600 \\ \hline
O						&300	&700	&600	&0  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Par exemple, on peut lire que la distance entre O et I est de $700$~km.

On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque circuit associe le nombre de kilomètres parcourus.
	\begin{enumerate}
		\item En s'aidant du tableau fourni, déterminer l'ensemble des valeurs prises  par la variable aléatoire $X$.
		\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ par

\[f(x) = \left(ax^2 + bx + c\right)\text{e}^{-x}\]

où $a,~ b$ et $c$ désignent trois nombres réels que l'on se propose de déterminer dans cette partie.
 
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni du
repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques $2$~cm sur l'axe des abscisses  et $0,5$~cm sur l'axe des ordonnées.

\vspace{0,5cm}

\begin{center} \psset{xunit=1.1cm,yunit=3mm}
\def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$}
\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$}
\begin{pspicture}(-4,-10)(6,12)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.15pt](-4,-10)(6,12)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-10)(6,12)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ul](0,3){B} \uput[ul](-3,0){A}
\rput(-2.9,9){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\rput(5,8.5){$\mathcal{D}$}
\psline(-4,-1)(6,9)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.22}{6}{x 2 exp 4 x mul add 3 add 2.71828 x neg exp mul}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

On admet que la droite $\mathcal{D}$ passe par A et est tangente à la courbe  $\mathcal{C}_{f}$ au point B.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une lecture graphique,    déterminer les coordonnées entiéres des points A et B.

En déduire $f(-3)$ et $f(0)$.
		\item Montrer qu'une équation de la droite (AB) est : $y = x + 3$. En déduire la valeur de $f'(0)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à $\R$ ,
		
$f'(x) = \left[- ax^2 + (2a - b)x + b - c\right]\text{e}^{-x}$.
		\item En déduire $f '(0)$, en fonction de $b$ et $c$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant les questions précédentes, montrer que les réels  $a,~b$ et $c$ sont solutions du système :

\[\left\{\begin{array}{r c l}
9a-3b+c	&=	&0\\
b-c		&=	&1 \\
c		&=	&3\\
\end{array}\right.\]

\item Résoudre le système et en déduire l'expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On suppose que $f$ est définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \left(x^2 + 4x + 3\right)\text{e}^{-x}.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que pour $x$ différent de zéro, $f(x) = \left(1 + \dfrac{4}{x} +  \dfrac{3}{x^2}\right)x^2\text{e}^{-x}$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. En déduire une asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout $x$ appartenant à $\R~f'(x) =  (-x^2 - 2x +  1)\text{e}^{-x}$.
		\item Pour tout $x$ réel, étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
		\item Calculer une valeur approchée à $10^{-1}$ près de l'ordonnée de chacun des  points de la courbe $\mathcal{C}_{f}$, où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses. 
	\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une solution unique 
$\alpha$ pour $x$ appartenant à $[-1~;~0]$. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $F$ La fonction définie sur $\R$ par 

\[F(x) = (- x^2 - 6x - 9)\text{e}^{-x}.\]

Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
\item En déduire une primitive $G$ de la fonction $g$ sur $\R$ définie par $g(x) = x + 3 - f(x)$.
\item On considère la partie du plan comprise entre la droite 
$\mathcal{D}$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$, et les droites 
d'équations $x = 3$ et $x = 0$.

On désigne par $\mathcal{A}$ la valeur, exprimée en cm$^2$, de l'aire de 
cette partie.

Calculer $\mathcal{A}$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Génie électronique Métropole juin 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Polynésie Génie électronique juin 2004
\hypertarget{Polynesieelectro}{} 

\label{Polynesieelectro}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{novembre 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique Polynésie~\decofourright\\[5pt]juin 2004 }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.

On considère les nombres complexes :

\[z_1 = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3} \qquad	z_2 = 
	4\text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{6}} \qquad 	z_3  = 2 - 2\text{i}.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer le module et un argument de $z_1$ et de $z_3$.
\item Écrire $z_2$ sous forme algébrique.
\item Placer, dans le repère \Ouv, les points A, B, C d'affixes respectives $z_1,~z_2 ,~z_3$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le module et un argument de $\dfrac{z_2}{z_1}$.
		\item En déduire qu'il existe une rotation de centre O qui transforme A en B. On  précisera l'angle de cette rotation.
	\end{enumerate}
\item Soit D le point d'affixe $z_4 = z_3\text{e}^{\frac{\text{i}\pi}{6}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer D dans le repère \Ouv{} en expliquant la construction.
		\item Écrire $z_4$ sous forme algébrique.
		\item Écrire $z_4$ sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.
		\item En déduire les valeurs exactes de $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et de $\sin \dfrac{\pi}{12}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation
    différentielle $y'+ y = 0$ sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
		\item Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation précédente telle  que $f(0) = 1$.
		\item Déterminer la dérivée de $f$ et en déduire le sens de variation de  $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n} = f(n) = \text{e}^{-n}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{\text{e}}$.
		\item Étudier le sens de variations de la suite $\left(u_{n}\right)$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
		\item À partir de quelle valeur de $n$ a-t-on $u_{n} < 10^{-8}$ ?
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer, en fonction de $n$, la somme $S_{n} = 0 + 1 + 2 +  \ldots + n$.
		\item En déduire, en fonction de $n$, l'expression du produit $P_{n} = u_{0} \cdot u_{1} \cdot u_{2} \ldots u_{n}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\begin{center} \textbf{La feuille fournie en annexe sera rendue avec la 
copie} \end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A  :  détermination d'une fonction. Tangente à une courbe}

\medskip

\Oij{} est le repère orthonormal, d'unité graphique $4$~cm, donné en annexe.

La courbe $\mathcal{G}$, déjà tracée, représente une fonction $g$ de la  variable $x$ définie sur $[0~;~+ \infty[$  par
$g(x) = ax^2 + bx + c$ où $a,~b,~c$ sont des coefficients réels.

 $\mathcal{G}$ passe par les points E$\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$ 	A$(1~ ;~- 1)$ et B$(0~;~1)$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide des renseignements ci-dessus, écrire un système de trois équations vérifiées par $a,\: b$ et $c$.
		\item En déduire que, pour tout nombre réel positif $x,\: g(x) = - 2x^2 + 1$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La courbe $\mathcal{G}$ coupe l'axe des abscisses au point K. Déterminer la valeur exacte de l'abscisse de K.
		\item Écrire une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{G}$ au point K et tracer $\mathcal{T}$ sur le graphique de l'annexe. On indiquera les points utilisés pour tracer $\mathcal{T}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'une fonction et tracé d'une courbe}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~ + \infty[$ par $f(x) = 1 - 2x^2 + 
\ln x$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère \Oij{}
donné en annexe.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite en $0$ de la fonction $f$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
		\item En remarquant que $f(x)$ peut aussi s'écrire sous la forme
		
$f(x) = 1 + x\left(- 2x + \dfrac{\ln x}{x}\right)$, déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la dérivée de $f$.
		\item Étudier le signe de cette dérivée sur $]0~ ;~ + \infty [$. Justifier.
		\item En déduire le tableau de variations de $f$ sur $]0~ ;~ + \infty [$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{G}$.
		\item Étudier les positions relatives de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{G}$ sur $]0~;~+ \infty [$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ sur le graphique après avoir complété le tableau de valeurs de $f$ donné en annexe.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C Calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $\mathcal{E}$ la partie du plan limitée par $\mathcal{G},~\mathcal{C}$ et les droites d'équations
$x = \dfrac{1}{\text{e}^2}$ et $x  = 1$.

Hachurer $\mathcal{E}$.
\item Soit $H$ la fonction définie sur $]0~ ;~ + \infty [$ par  $H(x) = x - 
x \ln x$. Déterminer la dérivée de $H$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en explicitant le calcul, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{E}$ en unités d'aire.
		\item Écrire l'arrondi au centième de l'aire $\mathcal{A}$ exprimée en cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center} 
\textbf{Cette feuille annexe est à rendre avec la copie}

\textbf{Annexes du problème}

\vspace{0,6cm}
\psset{unit=2.7cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-3)(4,2)
\psgrid[griddots=15,gridlabels=0pt](0,0)(-0.5,-3)(4,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-3)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ur](0,1){B} \uput[ur](0.5,0.5){E} 
\uput[ur](0.707,0){K} \uput[ur](1,-1){A}
\qdisk(0,1){1.5pt} \qdisk(0.5,0.5){1.5pt} 
\qdisk(0.707,0){1.5pt} \qdisk(1,-1){1.5pt} 
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.414}{1 x 2 exp 2 mul sub}
\end{pspicture}

\vspace{0,6cm}
Tableau de valeurs de $f$

\[\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule[-4mm]{0mm}{10mm}    $x$ & $\dfrac{1}{\text{e}^2}$ & $\dfrac{1}{\text{e}}$&$\dfrac{1}{2}$ &
    $\dfrac{3}{4}$ & 1& $\dfrac{5}{4}$& $\dfrac{3}{2}$\\ \hline
$f(x)$ & & & & & & & \\ \hline
\end{tabularx}\]
\end{center}
%%%%%%%%%%%  fin Génie électronique Polynésie  juin 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%   Génie électronique Métropole septembre 2004
\hypertarget{Metroelectrosep}{}

\label{Metroelectrosep}
\rfoot{\small{septembre 2004}}
\lfoot{\small{Métropole}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft ~Baccalauréat STI Génie électronique Métropole~\decofourright\\ [5pt]septembre 2004 }}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Une feuille de  papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\parbox[l]{0.68\textwidth}{On considère le circuit électronique ci-contre comprenant
un condensateur dont la capacité, exprimée en farads, a
pour valeur $C$, une bobine dont l'inductance, exprimée en
henrys, a pour valeur $L$ et un interrupteur. Le temps test
exprimé en secondes.

À l'instant $t = 0$, on ferme l'interrupteur et le 
condensateur se décharge dans le circuit.

On appelle $q(t)$ la valeur de la charge, exprimée en
coulombs, du condensateur à l'instant $t$.} \hfill
\parbox[l]{0.25\textwidth}{\begin{pspicture}(3,4)
\psline(0,0)(0,3)
\pnode(0,3){A} \pnode(3,3){B} \capacitor(A)(B){$C$}
\pnode(3,0){C} \switch(B)(C){}
\pnode(0,0){D} \coil[dipolestyle=curved](D)(C){$L$}
\end{pspicture}}

\bigskip

On définit ainsi une fonction $q$, deux fois dérivable sur 
l'intervalle $[0~;~ + \infty[$.

On admet que la fonction $q$ est solution de l'équation 
différentielle (E) :

\[y'' + \dfrac{1}{LC}y = 0.\]

où $y$ est définie et deux fois dérivable sur $[0~;~ + \infty[$ et de 
dérivée seconde $y''$.

Dans tout l'exercice, on prend  $C = 2 \times 10^{-3}$ et $L = 1,25 \times  10^{-2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Prouver qu'alors l'équation différentielle (E) 
s'écrit : 
\[y'' + 4 \times 10^4 y = 0.\]

\item Résoudre l'équation différentielle (E).
\item Déterminer la fonction $q$ sachant qu'elle est la 
solution particulière de (E) vérifiant :

\[q(0) = \dfrac{\sqrt{2}}{400} \quad \text{et} \quad  q'(0)= 
\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\]

\item Montrer que pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[0 
~;~+ \infty[,~ q(t)$ peut se mettre sous la forme :

\[q(t) = \dfrac{1}{200} \times  \sin\left(200t + \dfrac{\pi}{4}\right).\]

\item Calculer la valeur moyenne $q_m$ de la fonction $q$ sur 
l'intervalle $\left[0~;~ \dfrac{\pi}{800}\right]$.

On donnera une valeur exacte.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

Dans le hall d'accueil d'une gare téléphérique, trois appareils 
automatiques, (numérotés 1, 2 et 3) délivrent des tickets identiques d'une valeur  de $20$~\euro.

Deux personnes, que l'on désigne par les lettres M et N, se 
présentent dans cet ordre, chacune devant un appareil (éventuellement le même) choisi aléatoirement pour acheter un ticket.

On convient de noter $(a,~ b)$ l'évènement élémentaire suivant : la 
personne M choisit l'appareil $a$ et la personne N choisit l'appareil $b$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliciter les neuf évènements élémentaires. On pourra s'aider d'un arbre ou d'un tableau.
\item On suppose que les neuf évènements élémentaires sont  équiprobables.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité des évènements suivants :

A : \og seul l'appareil 2 a été utilisé \fg{} ;

B : \og un seul des trois appareils a été utilisé \fg{} ;

C : \og l'appareil 2 n'a pas été utilisé \fg.
		\item Les évènements A et C sont-ils contraires ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item L'appareil 1 est déréglé, il réclame seulement $10$~\euro{} pour le 
paiement d'un ticket d'une valeur de $20$~\euro. Les clients l'ignorent jusqu'au paiement de leur ticket.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque évènement 
élémentaire, associe la somme totale, exprimée en euros, payée par les deux personnes.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les valeurs prises par la variable 
aléatoire $X$.
		\item Calculer la probabilité : $P(X =20)$.
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Calculer son espérance mathématique E($X$).

On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée au centième 
près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} 	\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : Introduction d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit la fonction $g$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par :

\[g(x) = \text{e}^x + x - 1.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ puis dresser son tableau de variations (les limites en $+ \infty$ et en $- \infty$ ne sont pas demandées).

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que $g(0) = 0$.
		\item En déduire le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à $\R$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :  Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = x - 3 - x\text{e}^{-x}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère  orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Vérifier que, pour tout $x$ réel non nul :

\[f(x) = x\left(1- \dfrac{3}{x} -  \text{e}^{-x}\right).\]

En déduire $\displaystyle \lim_{x \to - \infty}  f(x)$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer : $\displaystyle \lim_{x \to + \infty}  f(x)$.
		\item Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ admet pour asymptote la 
droite D  d'équation : $y = x-3$.
		\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite D.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate} 
		\item Pour tout nombre réel $x$, calculer $f'(x)$, puis vérifier 
que :

\[f'(x) = g(x) \text{e}^{- x}.\]

		\item En utilisant les résultats de la \textbf{partie A}, déterminer le signe de $f'(x)$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item À l'aide d'une calculatrice, donner une valeur décimale 
approchée à $10^{-2}$ près de $f(3)$ et de $f(4)$.
		\item Prouver qu'il existe un nombre $\alpha$, compris entre 3 et 4, tel que : $f(\alpha) = 0$.
		\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ au centième près.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la droite D dans le plan muni du repère  \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Calcul d'aire}

\medskip

Soit la fonction $h$ définie sur $\R$ par :

\[h(x) = -(x + 1)\text{e}^{-x}.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On note $h'$ la fonction dérivée de la 
fonction $h$. Calculer $h'(x)$ pour $x$ appartenant à $\R$.
\item On appelle $\mathcal{A}$ la valeur, exprimée en unités d'aire, de l'aire de  la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite D, l'axe des ordonnées et la  droite d'équation $x = 2$.

Donner la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis une valeur décimale approchée par 
excès à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Génie électronique Métropole septembre 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie génie électronique novembre 2004
\hypertarget{Caledoelectro}{}

\label{Caledoelectro}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI -- Nouvelle
-- Calédonie novembre 2004~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}
\end{center} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, 
résoudre l'équation d'inconnue $z$ :

\[2z^2 + 10z + 25 = 0.\]

Écrire les solutions de cette équation sous la 
forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $r$ est un nombre
réel positif et $\theta$ un nombre réel.
\item Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv~ d'unité 
graphique 2 cm, on considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = - 
\dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{2}\text{i}$, le point B d'affixe $z_{\text{B}}
= - \dfrac{5}{2} - \dfrac{5}{2}\text{i}$ et le point C d'affixe
$z_{\text{C}} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Placer les points A, B et C dans le repère
\Ouv.
		\item Calculer le module de $z_{\text{A}} - z_{\text{B}}$
et celui de $z_{\text{B}} - z_{\text{C}}$. En déduire la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item On appelle A$'$ et B$'$ les images respectives des points A
et B par la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{12}$
 et on note $z_{\text{A}'}$ et $z_{\text{B}'}$ les affixes 
 respectives de A$'$ et B$'$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer le module et un argument de chacun
des nombres complexes  $z_{\text{A}'}$ et $z_{\text{B}'}$.
		\item Écrire les nombres complexes  $z_{\text{A}'}$ et $z_{\text{B}'}$
sous forme algébrique.
		\item Placer les points A$'$ et B$'$ dans le repère \Ouv. On expliquera la construction géométrique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre l'équation différentielle (E) : $y'' + 
\dfrac{1}{4}y = 0,~y$ désignant une fonction numérique définie sur 
l'ensemble $\R$ des nombres réels.
\item Déterminer la fonction $f$, solution de l'équation précédente, qui 
vérifie : 

$f(0) = 2$ et $f'(0) = \sqrt{3}$.
\item Vérifier, que pour tout nombre réel $x,~f(x) = 4 \sin 
\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{6}\right)$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item En utilisant l'équation différentielle (E), 
expliquer comment on peut obtenir la représentation graphique de $f''$, 
dérivée seconde de $f$, à partir de celle de $f$.
		\item Sur la feuille annexe est tracée la représentation graphique de $f$ sur l'intervalle $[0~;~4\pi]$. Tracer la représentation de $f''$ sur ce 
même graphique et sur ce même intervalle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par 

\[h(x) = x + 1 - \text{e}^x.\]

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la dérivée $h'$ de $h$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $1 - \text{e}^x = 0$ et l'inéquation 
$1 - \text{e}^x > 0$. En déduire le sens de variation de la fonction $h$.
\item Calculer $h(0)$. Dresser le tableau de variations de $h$ (on ne 
calculera pas les limites aux bornes de l'ensemble de définition).
\item Justifier que, pour tout nombre réel $x,~h(x) \leqslant 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \left(- 2x^2 - x + 1\right)\text{e}^{-x}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan 
rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
\item En remarquant que, pour tout nombre réel $x$ différent de $0$, on a 

\[f(x) = \left(- 2 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)x^2\text{e}^{-x},\]
déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $f'$ la dérivée de $f$. Démontrer que,  pour tout nombre réel 
		
		$x,~f'(x)=\left(2x^2 - 3x - 2\right)\text{e}^{-x}$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous. On donnera les 
valeurs arrondies au centième.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 		&$-1,3$ &$-1$ 	&$- 0,5$&0 	&0,5 	&1 	&2 	&3 &4 	&6\\ \hline
$f(x)$ 		& 		& 		& 		& 	& 		& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item On appelle A le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $0$ et 
$\mathcal{T}$ la tangente à $\mathcal{C}$ en A.
	\begin{enumerate} 
		\item Donner une équation de $\mathcal{T}$ ; on 
l'écrira sous la forme $y = g(x)$ où $g$ est une fonction définie 
sur $\R$.
		\item Démontrer que, pour tout nombre réel $x,~f(x) - g(x) = (1 - 
2x)h(x) \text{e}^{-x},~h$ étant la fonction étudiée dans le 
\textbf{partie A}.
		\item Étudier suivant les valeurs du nombre réel $x$, le signe de 
$f(x) - g(x)$. En déduire la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{T}$.
	\end{enumerate}
\item Tracer $\mathcal{T}$ et $\mathcal{C}$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer des nombres réels $a,~ b$ et 
$c$ pour que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = 
\left(ax^2 + bx + c\right)\text{e}^{-x}$ soit une primitive de la 
fonction $f$.
		\item Calculer, en cm$^3$, la valeur exacte de l'aire du domaine 
limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des 
ordonnées et la droite d'équation $x = \dfrac{1}{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie génie électronique novembre 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie des matériaux juin 2004
\hypertarget{Metromateriaux}{} 

\label{Metromateriaux}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie des matériaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie des matériaux Métropolee~\decofourright\\[5pt]juin 2004}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter  les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation  : 

\[z^2- 6z + 12 = 0.\]

		\item Écrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle.
	\end{enumerate}
\item Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv, placer les points A, B 
et I d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{3} \qquad 	z_{\text{B}} = 3 - 
\text{i}\sqrt{3} \quad \text{et} \quad  z_{\text{I}} =2.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B et O sont sur un cercle de centre I dont on  précisera le rayon.
		\item Donner, en le justifiant, la nature du triangle OAB. 
		\item Placer le point C d'affixe $z_{\text{C}} = -2\text{i}\sqrt{3}$. Montrer que les points A, C et I sont alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre l'équation différentielle (E) : $4y'' + 9y = 0.$
\item On désigne par $f$ la solution particulière de l'équation différentielle (E)  dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

\begin{center} \psset{xunit=0.6pt} \begin{pspicture}(-240,-2.67)(240,2.67)

\multido{\r=-2.67+1.33}{5}{\psline[linestyle=dotted](-240,\r)(240,\r)}
\multido{\n=-240+60}{9}{\psline[linestyle=dotted](\n,-2.67)(\n,2.67)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1000,Dy=10]{->}(0,0)(-240,-2.67)(240,2.67)
\uput[u](30,2){A} \uput[ul](0,2){2} \uput[d](30,0){$\frac{\pi}{6}$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](230,0){$x$}
\uput[dr](-240,-2.67){-2,67} \uput[dr](-240,-1.33){-1,33} 
\uput[dr](-240,2.67){2,67} \uput[dr](-240,1.33){1,33}
\psline{<->}(5,2)(55,2)
\psline[linestyle=dotted](30,0)(30,2)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-240}{240}{1.4142 3 x mul 2 div cos mul 1.4142 3 x mul 2 div sin mul  add} 
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,8cm}

Il est précisé que la courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point A de coordonnées $\left(\frac{\pi}{6}~ ;~ 2\right)$. Déterminer une  expression de $f(x)$.

\item Montrer que pour tout nombre réel $x~ :~ f(x) = 2 \cos 
\left(\dfrac{3x}{2} - \dfrac{\pi}{4}\right)$.
\item Calculer $\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{7\pi}{6}} f(x)\: 
\text{d}x$. Interpréter graphiquement le résultat.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie pour tout nombre réel $x$ par 

\[f(x) =  2 + (2 - x)\text{e}^{2x}.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques $4$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur l'axe des ordonnées)

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ (on pourra poser $X = 2x$).
		\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $\Delta$ dont on donnera une équation.
		\item Étudier les positions relatives de $\mathcal{C}$ et $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x,~ f'(x) = (3 -  2x)\text{e}^{2x}$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]-\infty~;~ +\infty[$.

\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}$ au point  d'abscisse $0$.
		\item Tracer $\Delta$, $\mathcal{T}$ puis $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $G$ la fonction numérique définie pour tout nombre réel $x$ par 

\[G(x) = - \dfrac{1}{2} x\text{e}^{2x} + \dfrac{5}{4}\text{e}^{2x}.\]

Montrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie pour
 tout nombre réel $x$ par $g(x) = (2 - x)\text{e}^{2x}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer la partie $\mathcal{A}$ du plan limitée par $\mathcal{C}$, la droite d'équation $y = 2$ et l'axe des ordonnées.
		\item Calculer l'aire de $\mathcal{A}$. En donner la valeur exacte en unités d'aire.
	
Donner une valeur arrondie de cette aire, en cm$^2$, à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie des matériaux juin 2004
\newpage
%%%%%%%%%%%   Métropole Génie des matériaux septembre 2004
\hypertarget{Metromateriauxsep}{}

\label{Metromateriauxsep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2004~\decofourright \\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

La question \textbf{4.} est indépendante des questions \textbf{1., 2.} et \textbf{3.}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\rho_{n}$ le terme général d'une suite géométrique de premier terme $\rho_{0} = 4$ et de raison $\dfrac{1}{2}$.

Déterminer $\rho_{n}$ en fonction de $n$.
\item Soit $\theta_{n}$ le terme général d'une suite arithmétique de premier terme $\theta_{0} = \pi$ et de raison $- \dfrac{\pi}{3}$.

Déterminer $\theta_{n}$ en fonction de $n$.
\item Soit $z_{n}$ le nombre complexe de module $\rho_{n}$ et d'argument $\theta_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une forme trigonométrique de $z_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer la forme algébrique de $z_{0},~ z_{1},~ z_{2}$ et $z_{3}$.
	\end{enumerate}
\item Dans le plan complexe muni du repère orthonormal \Ouv, (unité graphique : $2$~cm) on donne les points A, B, C et D d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = - 4, \quad  z_{\text{B}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3}, \quad z_{\text{C}} = 	\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}	 \quad  \text{et}  \quad 	z_{\text{D}} =  \dfrac{1}{2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Placer les point A, B, C et D dans le repère \Ouv.
		\item Soit B$'$ le projeté orthogonal de B sur l'axe des réels.

Donner l'affixe de B$'$ et placer B$'$ dans le repère \Ouv.
		\item Calculer la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire du triangle ABB$'$.
		\item Calculer la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire du trapèze B$'$BCD.
		\item En déduire la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire du quadrilatère ABCD.

Donner la valeur arrondie au mm$^2$ près de cette aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{flushright}\textbf{T. S. V. P.}\end{flushright}

\newpage

 \textbf{\textsc{ Exercice 2} \hfill  4 points}

\begin{center} \psset{xunit=4cm,yunit=6cm}
\begin{pspicture}(0,-0.25)(2.36,2)
\psline{->}(0,0)(2.36,0)
\psline{->}(0,0)(0,2)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2.36}{x 360 mul 3.14159 div sin 1 add}
\uput[d](0,0){$0$} \uput[d](0.785,0){$0,25\pi$} 
\uput[d](1.5708,0){$0,5\pi$} \uput[d](2.359,0){$0,75\pi$} 
\uput[l](0,-0.25){-0,25} \uput[l](0,0){0} \uput[l](0,0.25){0,25} 
\uput[l](0,0.5){0,5} \uput[l](0,0.75){0,75} \uput[l](0,1){1} 
\uput[l](0,1.25){1,25} \uput[l](0,1.5){1,5} \uput[l](0,1.75){1,75} 
\uput[l](0,2){2} 
\end{pspicture}
\end{center}

Soit $f$ la fonction numérique définie pour tout $x$ de l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{3\pi}{4}\right]$ par : 

\[f(x) = 1 + \sin 2x.\]

La représentation graphique $\Gamma$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessus dans un repère orthonormal \Oij{}(unité graphique $4$~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$.
		\item Démontrer que la courbe $\Gamma$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses aux points d'abscisses $\dfrac{\pi}{4}$	et $\dfrac{3\pi}{4}$.
	\end{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout $x$ de $\R,~ \sin ^2 (2x) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos 4x)$.
\item On appelle $V$ le volume du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe $\Gamma$ autour de l'axe des abscisses.

On admet que la valeur de $V$, en unités de volume, est donnée par : 
\[V= \pi\displaystyle\int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} [f(x)]^2\:\text{d}x.\]

Donner la valeur exacte de $V$ en cm$^3$, puis sa valeur décimale arrondie au mm$^3$ près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$,  par :

\[g(x) = 1 - x\ln x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $0$.
\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$.
\item Déterminer la fonction dérivée $g'$ de $g$ et étudier son signe sur $]0~;~+ \infty[$.
\item établir le tableau de variations de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$, en précisant la valeur exacte de l'extremum de $g$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $g(x) = 0$ a une solution $\alpha$ et une seule sur l'intervalle [1~;~e].
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
		\item En déduire, en fonction du nombre $x$ de $]0~;~+ \infty[$, le signe de $g(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel $x$ de $]0~;~+ \infty[$, par :

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{\text{e}^x}.\]

Soit $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : $2$~cm sur l'axe des abscisses, $10$~cm sur l'axe des ordonnées).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude du comportement de $f$ en $0$ :
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $0$. 
		\item En déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont on donnera une équation.
	\end{enumerate}
\item Étude du comportement de $f$ en $+ \infty$ :
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. On pourra écrire $f(x)$ sous la forme $f(x) = \left(\dfrac{\ln x}{x}\right) \left(\dfrac{x}{\text{e}^x}\right)$.
		\item En déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont on donnera une équation.
	\end{enumerate}
\item Étude des variations de $f$
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$. Montrer que pour tout $x$ de $]0~;~+~\infty[,$
		
$f'(x) = \dfrac{g(x)}{x\text{e}^x}$.
		\item Établir le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ en fonction de $\alpha$.

En prenant 1,76 comme valeur approchée de $\alpha$, donner une valeur approchée de $f(\alpha)$.
		\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
	\end{enumerate}
\item Dans le repère \Oij, tracer $\mathcal{T}$, les asymptotes à $\mathcal{C}$, puis la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie des matériaux septembre 2004
 \end{document} 