\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-circ,pst-node,pst-coil}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small L'intégrale 2005}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI  2005~\decofourright \\[8pt]L'intégrale de juin à novembre 2005}}

\vspace{0,25cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\hyperlink{Metroappli}{Métropole  Arts appliqués juin  2005} \dotfill \pageref{Metroappli}\\
\hyperlink{LaReunioncivil}{La Réunion Génie civil juin 2005} \dotfill \pageref{LaReunioncivil}\\
\hyperlink{Metrocivil}{Métropole Génie civil  juin  2005}  \dotfill \pageref{Metrocivil}\\
\hyperlink{Polynesiecivil}{Polynésie Génie civil juin 2005}\dotfill \pageref{Polynesiecivil}\\
\hyperlink{Metrocivilsep}{Métropole Génie civil septembre 2005} \dotfill\pageref{Metrocivilsep}\\
\hyperlink{Caledocivilnov}{Nouvelle-Calédonie Génie civil  novembre 2005} \dotfill \pageref{Caledocivilnov}\\
\hyperlink{Antilleselectro}{Antilles Génie électronique  juin  2005}  \dotfill \pageref{Antilleselectro}\\
\hyperlink{Metroelectro}{Métropole Génie électronique  juin  2005}  \dotfill \pageref{Metroelectro}\\
\hyperlink{Polynesieelectro}{Polynésie Génie électronique juin 2005} \dotfill \pageref{Polynesieelectro}\\
\hyperlink{Antilleselectrosep}{Antilles-Guyane Génie électronique septembre 2005} \dotfill \pageref{Antilleselectrosep}\\
\hyperlink{Metroelectrosep}{Métropole génie électronique septembre 2005} \dotfill \pageref{Metroelectrosep}\\
\hyperlink{Caledoelectronov}{Nouvelle-Calédonie Génie électronique  nov. 2005} \dotfill \pageref{Caledoelectronov}\\
\hyperlink{Antillesmateriaux}{Antilles--Guyane Génie des matériaux  juin  2005}  \dotfill \pageref{Antillesmateriaux}\\
\hyperlink{Metromateriaux}{Métropole Génie des matériaux juin 2005}\dotfill \pageref{Metromateriaux}\\
\hyperlink{Antillesmateriauxsep}{Antilles-Guyane Génie des matériaux septembre 2005} \dotfill \pageref{Antillesmateriauxsep}\\
\hyperlink{Metromateriauxsep}{Métropole Génie des matériaux septembre 2005} \dotfill \pageref{Metromateriauxsep}\\
\end{tabularx}

 \newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%   Métropole arts appliqués juin 2005
\hypertarget{Metroappli}{}

\label{Metroappli}
\lhead{\small Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large \decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués-- Métropole juin 2005~\decofourright}

\end{center} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill }

\medskip

Lors d'un concours de karaoké, le public, composé de $450$~jeunes, dont $150$~garçons, a voté pour l'un des trois finalistes, Hatxi, Élodie et Machyl.

Les voix sont réparties de la façon suivante :
 
$\bullet~$ 45 garçons ont voté pour Hatxi ;
 
$\bullet~ $35\,\% des filles ont voté pour Élodie.
 
$\bullet~$  Parmi les $165$~jeunes qui ont voté pour Machyl, il y a 20\,\% de garçons.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Reproduire puis compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
 \multicolumn{1}{c|}{}	& Hatxi 	&Élodie & Machyl 	&	Total\\\hline
Garçons 				& 			& 		& 			& \\ \hline
Filles 					& 			& 		& 			& \\ \hline
Total  					& 			& 		& 			& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On choisit au hasard un jeune du public. On suppose que tous les choix sont équiprobables et on considère les évènements suivants :

$A$ : \og le jeune choisi est un garçon \fg{} ;

$B$ : \og le jeune choisi a voté pour Machyl \fg.

Les résultats demandés seront donnés sous forme décimale arrondie au centième. 

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les probabilités $P(A)$ et $P(B)$. 
		\item Définir par une phrase les évènements suivants : $A ~\cap~B$ et $A~\cup~B$.  
		\item Calculer $P(A ~\cap~B)$, en déduire $P(A ~\cup~B)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill }

\medskip

Un club sportif confie l'élaboration d'un logo à une agence. Celle-ci choisit un \og drapeau \fg{} pour motif.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-1~;~ 1]$  par

\[f(x) = x^3 - x + 2.\]

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 5~cm. On appelle $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans ce repère.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ ; calculer $f'(x)$.
\item Déterminer le signe de $f'(x)$ sur $[-1~;~ 1]$ sachant que $f'(x) = 3\left(x + \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(x - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 	et dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle.

On indiquera pour $f\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$  et  $f\left(- \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ des valeurs approchées décimales arrondies au centième.
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :

(on donnera des valeurs approchées décimales arrondies au centième).

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&$-1$	&$-0,8$	&$-0,6$	&$-0,4$	&$-0,2$	&0	&0,2	&0,4	&0,6	&0,8	&1\\ \hline
$f(x)$ 	& 		& 		&2,38 	& 		& 		& 	& 		&1,66 	& 		& 		& \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Tracer $\mathcal{C}_{f}$ sur la feuille de papier millimétré.
\item Calculer l'intégrale I$ = \displaystyle\int_{-1}^1 f(x)\,\text{d}x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-1~;~1]$ par 

\[g(x) = (x - 1)\text{e}^x + 2.\]

On appelle $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de $g$ dans le plan muni du repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-1~;~1],\: g'(x) = x\text{e}^x$  où $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$. 
\item Étudier le signe de $g'(x)$ sur $[-1~;~1]$ et dresser le tableau de variations de $g$. 
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera des valeurs approchées décimales arrondies au centième).

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ & $-1$ & $- 0,8$&$-0,4$&0&0,4&0,6&0,8&1\\ \hline
$g(x)$ & & 1,19 & & & & 1,27& & \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Tracer $\mathcal{C}_{g}$ dans le même repère \Oij{} que précédemment.
\item On considère la fonction $G$ définie sur l'intervalle $[-1~;~ 1]$ par 

\[G(x) = (x - 2)\text{e}^x + 2x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur $[-1~;~ 1]$. 
		\item Calculer l'intégrale J $ =  \displaystyle\int_{-1}^1 g(x) \,\text{d}x$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

La partie du plan $\mathcal{A}$ limitée par les courbes $\mathcal{C}_{f},~ \mathcal{C}_{g}$ et par la droite d'équation $x  = -1$ représente la toile du drapeau.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Placer les points P$(-1~;~2)$ et Q$(- 1~;~0)$ puis tracer le segment [PQ] pour achever le motif.
\item On suppose que, pour tout $x$ de l'intervalle $[-1~;~ 1],~ f(x) \geqslant  g(x)$ et que l'aire de la partie $\mathcal{A}$ du plan est donnée, en unités d'aires, par A = $\displaystyle\int_{-1}^1 [f(x) - g(x)] \,\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de A.
		\item En déduire une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'aire de $\mathcal{A}$ exprimée en cm$^2$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Arts appliqués juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%   La Réunion génie civil juin 2005
\hypertarget{LaReunioncivil}{}

\label{LaReunioncivil}
\lhead{\small{Baccalauréat  Génie mécanique, énergétique, civil}}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil~\decofourright\\[5pt] La Réunion juin 2005}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip

Une urne contient six billets numérotés de 1 à 6.

On tire au hasard deux billets successivement et sans remise. On suppose que tous les tirages sont équiprobables. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Chaque tirage peut être modélisé par un couple $(a~;~ b)$ de deux nombres distincts. Par exemple le tirage du billet numéroté 3 suivi du billet numéroté 5 sera noté (3 ; 5). 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il y a 30 couples possibles. 
		\item Soit A l'évènement : \og les deux numéros tirés sont pairs \fg{}.

Vérifier que la probabilité de A est égale à $\dfrac{1}{5}$.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement B : \og au moins l'un des numéros est impair \fg{}.
	\end{enumerate}
\item Soit $D$ la variable aléatoire, qui à chaque tirage associe la différence entre le plus grand et le plus petit des deux nombres du couple. Ainsi au couple (3 ; 5) comme au couple (5 ; 3) la variable aléatoire $D$ associe le réel 5 - 3 = 2. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs possibles de la variable aléatoire $D$ ? 
		\item Calculer les probabilités $P(D = 1)$ et $P(D = 3)$. 
		\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $D$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $D$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

Soit l'équation différentielle (E) : $y'' + 9y = 0$, où $y$ est une fonction de la variable $x$ définie sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item	Résoudre l'équation différentielle (E).
\item	La courbe $\mathcal{C}$, donnée ci-dessous, représente une solution particulière notée $f$ de l'équation différentielle (E). La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A(0 ; 1) et le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe $\mathcal{C}$ est égal à $- 3\sqrt{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item En déduire les valeurs exactes de $f(0)$ et de $f'(0)$.
		\item Déterminer cette solution particulière $f$.
		\item Vérifier que, pour tout réel $x,~ f(x) = 2\cos \left(3x + \dfrac{\pi}{3}\right)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que	$\dfrac{7\pi}{18}$ et $\dfrac{13\pi}{18}$	sont deux solutions de l'équation, d'inconnue $x,~ f(x) = 0$.

Déterminer deux autres solutions de cette équation.
		\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[\dfrac{7\pi}{18}~;~\dfrac{13\pi}{18}\right]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\psset{unit=1.714cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(3.5,2.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4](0,0)(-3.,-2.)(3.,2.)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{3}{x 180 mul 3.14159265 div 3 mul 60 add cos 2 mul}
\uput[u](3,0){$x$} \uput[r](0,2){$y$} 
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  12 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = 4 - \text{e}^{-x}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentant $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 4 cm en abscisses et 2 cm en ordonnées.

\bigskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. En déduire l'existence d'une asymptote $\Delta$ à la courbe $\mathcal{C}$ et donner son équation.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et justifier son signe sur $\R$.
		\item Donner le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre sur $\R$ l'équation d'inconnue $x,\: f(x) =  0$.
		\item Déterminer le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta$ dans le repère \Oij{} défini ci-dessus.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Résolution d'une équation}

\medskip

Soit (E) l'équation d'inconnue réelle $x : f(x) = 2x + 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $x =  0$ est une solution de (E).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $D$ d'équation $y = 2x  + 3$ sur le même graphique que la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Justifier graphiquement l'existence d'une deuxième solution notée $\alpha$ de l'équation (E).

Placer $\alpha$ sur l'axe des abscisses.
	\end{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-3}$ de $\alpha$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Hachurer le domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = \alpha$ et $x = 0$. On appelle $\mathcal{A}$ l'aire en cm$^2$ de ce domaine plan.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $\mathcal{A} = 8 \displaystyle\int_{\alpha}^0 f(x)\,\text{d}x$.
		\item Calculer $\mathcal{A}$ en fonction de $\alpha$.
		\item En utilisant l'équation (E) de la \textbf{partie B}, justifier que $\text{e}^{-\alpha} = 1 - 2\alpha$. 

En déduire que $\mathcal{A} = - 16\alpha$.
		\item à l'aide du résultat obtenu dans la \textbf{partie B}, déterminer une valeur de $\mathcal{A}$ arrondie au dixième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin La Réunion génie civil juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie  civil France juin 2005
\hypertarget{Metrocivil}{}

\label{Metrocivil}
\lhead{\small Baccalauréat Génie mécanique, énergétique, civil} 
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2005}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole  juin 2005~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil}}
\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter  les deux exercices et le problème.

\end{center}
  
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.

Le nombre i désigne le nombre complexe de module 
1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer sous forme algébrique le nombre complexe $z_{1}$, vérifiant :
		
\[z_{1}(1+\text{i}) + 3 + \text{i} = 0.\]

		\item Déterminer sous forme algébrique les nombres complexes $z_{2}$ et $z_{3}$ vérifiant le système :
		
\[\left\{\begin{array}{l c l}
2z_{2} + z_{3} &=&5\\
z_{2} + 3z_{3}&=& - 10 \text{i}\\
\end{array}\right.\]

\end{enumerate}
\item Soient A, B et trois points du plan d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 3+2\text{i},~ z_{\text{B}} =  -1 - 4\text{i}$ et
$z_{\text{C}} = - 2 + \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer ces trois points dans le plan complexe. 
		\item Calculer, les longueurs AB, BC et CA. 
		\item En déduire la nature du triangle ABC, puis calculer son aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Le Comité des fêtes d'un village organise une loterie à l'aide de deux urnes.

L'urne U$_{1}$ contient trois boules rouges notées $R_{1},~ R_{2},~ R_{3}$ et deux boules jaunes notées $J_{1}$ et $J_{2}$.

L'urne U$_{2}$ contient quatre boules bleues notées $B_{1},~ B_{2},~ B_{3},~ B_{4}$ et une boule verte $V$.

Pour participer à cette loterie, un joueur doit d'abord miser 3~\euro. Il tire ensuite au hasard une boule dans U$_{1}$, puis une boule dans U$_{2}$. Les boules sont indiscernables au toucher. On suppose que tous les tirages de couples de boules sont équiprobables.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  À l'aide d'un tableau ou d'un arbre montrer qu'il y a 25 couples de boules possibles.
\item  Une boule rouge fait gagner 2~\euro. Une boule jaune fait gagner $3$~\euro. Une boule bleue fait gagner $1$~\euro. La boule verte fait gagner $5$~\euro. À chaque tirage de 2 boules la variable aléatoire X associe le gain finalement réalisé par le joueur. Ainsi, en tenant compté de. la mise de $3$~\euro, le tirage d'une boule rouge et d'une boule verte occasionne finalement un gain de $4$~\euro.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X.
		\item  Démontrer que $P(\text{X} = 5) = \dfrac{2}{25}.$
		\item  Présenter en tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
		\item  Quelle est la probabilité que le gain du joueur ne dépasse pas finalement $1$~\euro{} ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. 
		\item Le Comité s'aperçoit que son jeu est déficitaire. Expliquer quelle est, en nombre entier d'euros, la mise minimale qu'il faudrait demander afin de rendre le jeu favorable au Comité.
	\end{enumerate}		
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

\emph{L'objectif est de déterminer une fonction dont la	représentation graphique est donnée sur la page annexe à joindre à la copie, puis d'étudier certaines propriétés de cette fonction.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Sur la page annexe, on a représenté dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm, la courbe $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$.

La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points de coordonnées A(0 ; 4) et B$(-1,5~;~1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner les valeurs de $f(0)$ et de $f(-1,5)$.
\item  On suppose que pour tout nombre réel $x,~ f(x)$ s'écrit sous la forme suivante :
 
\[f(x) = (ax + b)\text{e}^{-x} + 1,~ \text{où}~ a~ \text{et}~ b~ \text{sont deux nombres réels}.\]

Utiliser les résultats de la question \textbf{1.} pour déterminer la valeur des nombres réels $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans toute la suite du problème on étudie la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f (x) = (2x + 3)\text{e}^{-x} +1.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout nombre réel $x :  f(x) = 2\dfrac{x}{\text{e}^x} + \dfrac{3}{\text{e}^x} + 1$.
		\item  Déterminer alors la limite de $f$  en $+ \infty$.\\
En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ a une asymptote (D) dont on donnera une équation.
		\item  Démontrer que cette asymptote (D) coupe la courbe $\mathcal{C}$ au point B. 
		\item  Étudier, en le justifiant soigneusement, la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite (D).
	\end{enumerate}
\item Prouver que la dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie pour tout nombre réel $x$ par :

\[f'(x) = (-2x - 1)\text{e}^{-x}.\]

\item Étudier le signe de $f(x)$ sur $\R$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Déterminer une équation de la droite (T) tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On rappelle que, sur la feuille annexe jointe, à rendre avec la copie, on a représenté la courbe dans un repère orthonormal d'unité graphique $2$~cm.

Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point E d'abscisse $(-0~;~5)$.

Tracer sur la feuille annexe la tangente A.

Compléter cette figure en représentant l'asymptote (D) et la tangente (T).

Hachurer la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x =  - 1$ et $x = 0$.
\item  Montrer que la fonction $F$ définie par

\[ F(x) =  (- 2x -  5)\text{e}^{-x} +  x\]
 
est une primitive de la	fonction $f$ sur $\R$.
\item  Soit $\mathcal{A}$ l'aire en cm$^2$ de la partie hachurée précédemment. Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis en donner une valeur arrondie au centième.
\end{enumerate}

\vspace{2cm}

\begin{center}\textbf{Annexe du problème à  rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1.5)(6,5)

\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,griddots=10,gridwidth=0.5pt,subgriddots=10,subgridwidth=0.4pt](0,0)(-2,-1.5)(6,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-1.5)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psdots(0,4)(-1.5,1)
\uput[ur](0,4){A} \uput[ul](-1.5,1){B} \uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.725}{6}{2 x mul 3 add 2.71828 x exp div 1 add}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie  civil  juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Polynésie Génie civil juin 2005
\hypertarget{Polynesiecivil}{}

\label{Polynesiecivil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{8 juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie 8 juin 2005~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\textbf{I. Résolution d'une équation}

\medskip

On considère l'équation (E) d'inconnue $z : $

\[z^3 - 2z^2 + 25z -50 = 0.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que 2 est solution de l'équation (E).
\item En déduire que (E) peut s'écrire $(z - 2)\left(\alpha z^2 +\beta z + \gamma \right) = 0$ où $\alpha,~ \beta,~ \gamma$  sont trois nombres réels que l'on déterminera.
\item Résoudre alors l'équation (E) dans l'ensemble des nombres complexes.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II. étude d'une configuration du plan}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé direct \Ouv, unité graphique $1$~cm, placer les points A et B d'affixes respectives $a =  2$ et $b = 5$i.
\item Soit M le milieu du segment [AB]. Placer M dans le repère et déterminer son affixe $m$.
\item Soit P le point d'affixe $p = \dfrac{7\sqrt{2}}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.

Donner l'écriture algébrique de $p$ et placer P dans le repère.
\item Démontrer que le triangle BMP est rectangle et isocèle.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 } \hfill  5 points}

\medskip

Un mobile, de masse $1$~kg, est attaché à un ressort dont la constante de raideur vaut $k =  9$ N/m.

Si l'on écarte le mobile de sa position d'équilibre O, il effectue des oscillations autour de cette position.

\medskip

À chaque instant $t$, la position du mobile est repérée par son
abscisse $f(t)$ dans le repère $\left(O~;~\vect{\imath}\right)$.

Les lois de la Physique montrent que la fonction $f$ est solution de
l'équation différentielle 

(E) : $\dfrac{1}{9}y'' + y = 0$.

\parbox[l]{0.7\textwidth}{
\begin{enumerate}
\item Trouver la solution générale de l'équation différentielle (E).
\item  On suppose qu'à l'instant $t = 0$, le mobile est au point	$f(0) = 0,5$~m et a une vitesse initiale  $f'(0)= 1,5$ m/s.

Montrer que la fonction $f$ est définie par :

$f(t) = \dfrac{1}{2}(\cos 3t + \sin 3t).$\\
\item Vérifier que, pour tout nombre réel $t$ : 
$f(t)= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(3t - \dfrac{\pi}{4}\right)$.
\item Résoudre l'équation $f(t) = 0$ dans l'intervalle $[0~; \pi]$.
\item À partir de l'instant $t= 0$, au bout de combien de temps le mobile repassera-t-il pour la première fois à sa position d'équilibre ? (On donnera la réponse arrondie au millième de seconde.)
\end{enumerate}} \hfill \parbox[l]{0.27\textwidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(3,6)
\psline(0,0)(0,6)(3,6)
\cnode(1.5,3.1){0.01}{A} \cnode(1.5,6){0.01}{B}
\nccoil[coilwidth=0.5]{B}{A}
\cnode(3,6){0.01}{C} \cnode(3,1.1){0.01}{D}
\nccoil[coilwidth=0.3]{C}{D}
\psframe(1.4,2.9)(1.6,3.1) \psframe(2.9,0.9)(3.1,1.1) 
\psline[linestyle=dashed](1.4,3)(0,3) \psline[linestyle=dashed](2.9,1)(0,1) 
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,3)(0,2.2)
\uput[l](0,3){O} \uput[l](0,2.4){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,1){$f(t)$} 
\end{pspicture}}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A} Préliminaires

\medskip

On appelle $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par 

\[f(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}\]

où $a$ et $b$ sont deux nombres réels , qu'on se propose de déterminer.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe	représentative dans un repère orthonormal \Oij, unité graphique  : $2$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que $\mathcal{C}$ passe par Ie point A de coordonnées (0 ; 2)  et admet en ce point une tangente parallèle à la droite d'équation $y= -x$, déterminer $f(0)$ et $f'(0)$.
\item En déduire que $a = 1$ et que $b =2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B} Étude de la fonction $f$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude des limites
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f$ en  $+\infty$ et en $-\infty$.	
		\item En déduire la présence d'une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ et en donner une équation.
	\end{enumerate}
\item Étude des variations de $f$	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la dérivée $f'$ de $f$, puis étudier son signe.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Étude d'un problème de tangente
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite ($T$), tangente à  $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $-2$.	
		\item Factoriser l'expression $f(x) - x\text{e}^2 - 2\text{e}^2$	et  en déduire son signe.	
		\item En déduire la position de  la courbe $\mathcal{C}$	par rapport à la tangente ($T$).
	\end{enumerate}
\item Tracer dans le repère \Oij{} les tangentes et asymptote connues puis la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C} Un calcul de volume

\medskip

Soit $\mathcal{S}$	le solide obtenu par rotation  de la courbe $\mathcal{C}$ autour de l'axe $\left(\text{O}~\vect{\imath}\right)$, sur l'intervalle [0~;~3].

On se propose de calculer le volume $\mathcal{V}$ du solide $\mathcal{S}$.

On rappelle que $\mathcal{V} = \displaystyle\int_{0}^3 \pi [f(x)]^2\,\text{d}x$	en unités de  volume.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient $g$ et $G$ les fonctions définies pour tout nombre réel $x$ par :

\[g(x) = (x+2)^2 \text{e}^{-2x}\quad \text{et}\quad G(x) = \left(- \dfrac{1}{2}x ^2 - \dfrac{5}{2}x - \dfrac{13}{4}\right)\text{e}^{-2x}.\]

Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur  $\R$.
\item Calculer $\mathcal{V}$ en cm$^3. \left(\text{On donnera la valeur exacte du résultat puis une valeur arrondie au mm}^3\right)$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie Génie civil juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Métropole génie civil septembre 2005
\hypertarget{Metrocivilsep}{}

\label{Metrocivilsep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2005~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, civil, énergétique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Une feuille de  papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit (E) l'équation différentielle 

\[y' = - \dfrac{1}{a} y\]

où $y$ est une fonction de la variable $x$ définie et dérivable sur $\R$ et $a$ une constante réelle non nulle. Résoudre cette équation.

\medskip

\item Déterminer la solution $p$ de (E) qui vérifie $p(0) = 1$.
\item La pression atmosphérique de l'air (en bar) à l'altitude $x$ (en
mètre) au-dessus du niveau de la mer est donnée par

\[p(x) = \text{e}^{-\frac{x}{a}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la constante $a$ sachant que la pression au sommet de l'Éverest à l'altitude $x =  \np{8848}$ est de $0,331$ bars.
		
On arrondira $a$ à l'entier le plus proche. 
		\item On prend $a =  \np{8003}$. On mesure, en un lieu, une pression atmosphérique de $0,548$~bars, Calculer l'altitude du lieu.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On désigne pat i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.

On considère les points A, B et C d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = - 1 - \text{i}, \qquad z_{\text{B}} = 3\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\quad \text{et} \quad z_{\text{C}} = 7 - \text{i}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $z_{\text{B}}$ sous forme algébrique.
		\item Placer les points A, B et C dans le plan $\mathcal{P}$.
	 \end{enumerate}
\item Déterminer les longueurs AB, AC, BC et en déduire la nature du triangle ABC.
\item Déterminer l'affixe du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un carré.
\item Soit I le point d'affixe $z_{\text{I}} = 3 - \text{i}$.\\
	On considère l'ensemble (E) des points $M$ de $\mathcal{P}$ dont l'affixe $z$ vérifie

\[|z - (3 - \text{i})[ =  4.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Les points A, B, C et D appartiennent-ils à (E) ? 
		\item Quelle est la nature de (E) ?
		\item Tracer l'ensemble (E).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[g(x) = \ln x - \dfrac{1}{x^2} + 1.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la dérivée $g'$ de la fonction $g$ est définie sur $]0~;~+ \infty[$  par

\[g'(x) = \dfrac{x^2 + 2}{x^3}.\]

		\item  Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0~;~+ \infty[$.
	 \end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $g(1)$. 
		\item  En déduire que $\left\{\begin{array}{l c l}
		g(x) >0& \text{pour}& x > 1\\
		g(x) <0& \text{pour}& 0< x < 1.\\
		\end{array}\right.$
	  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = x \ln x + \dfrac{1}{x}.\]

On appelle $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln (x) = 0$ ; déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ ; en déduire que $\Gamma$ admet une asymptote verticale que l'on précisera. 
		\item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
 \end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[f'(x) =  g(x).\]

		\item  À partir des résultats de la \textbf{partie A} dresser le tableau de variations de $f$.
	 \end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\Gamma$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $H$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[H(x) = \dfrac{x^2}{2}\ln x + \ln x - \dfrac{x^2}{4}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Comparer $H'(x)$ et $f(x)$. En déduire une primitive de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
\item Montrer que $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x = \dfrac{\text{e}^2 + 5}{4}$.
\item  Calculer l'aire exprimée en cm$^2$ de la partie du plan délimitée
 par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses et les droites d'équation
$x = 1$ et $= \text{e}$.

On donnera la valeur exacte, puis approchée à $1$~mm$^2$ près par
excès.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin France génie civil septembre 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Nouvelle Calédonie génie civil novembre 2005 
\hypertarget{Caledocivilnov}{}

\label{Caledocivilnov}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

 {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI novembre
 2005 Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[5pt] Génie Mécanique - Génie énergétique - Génie Civil}}
\end{center}

\emph{Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que  le sujet. Une feuille de papier millimétré sera mise à la disposition des candidats.}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
\Ouv{}, unité graphique $2$\ cm.

On note $\mathrm{i}$ le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résolution d'une équation.
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :
\[  z^2 - 2 \sqrt{3}z + 4 = 0\]
		\item Calculer le module et un argument de chacune des solutions.
	\end{enumerate}

  Soient $A$ et $M$ les points d'affixes respectives
  $a = \sqrt{3}+\mathrm{i}$ et $m=\sqrt{3}-\mathrm{i}$.
\item Mise en place d'une configuration géométrique.
	\begin{enumerate}
		\item Placer $A$ et $M$ dans le repère \Ouv{}, en indiquant une
    méthode de construction.
		\item On appelle $B$ et $C$ les points d'affixes respectives
    $b=\mathrm{i}a$ et $c=\mathrm{i}b$.
    
    Calculer $b$ et $c$ sous forme algébrique, puis placer $B$ et $C$   dans le repère \Ouv.
		\item Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle.
		\item Déterminer l'affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un carré. Placer $D$ sur la figure.
	\end{enumerate}
\item Soient $N$ et $P$ les points d'affixes respectives
  $n= \mathrm{e}^{\frac{2\mathrm{i}\pi}{3}}m$ et
  $p= \mathrm{e}^{\frac{2\mathrm{i}\pi}{3}}n$  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme algébrique de $n$, puis démontrer que
 $P = C$.
		\item Démontrer que le triangle $MNP$ est équilatéral.
	\end{enumerate}
\item Calculer en cm$^2$ l'aire du carré $ABCD$, puis l'aire du
 triangle $MNP$. On donnera les valeurs exactes puis les valeurs
 approchées à l'unité.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip

Un sac contient des boules indiscernables au toucher : $1$ boule rouge, $3$ boules jaunes et $n$ boules noires.
 ($n$ désigne un entier naturel strictement positif).
 
Un club sportif organise un jeu consistant, pour chaque joueur, à
prélever dans le sac une boule au hasard. Si la boule tirée est rouge,
le joueur reçoit 5~\euro{}, si la boule est jaune, il reçoit 2~\euro{}
et si la boule est noire, il reçoit 1~\euro{}. Pour participer au jeu,
le joueur doit acheter un billet d'entrée coûtant $1,70$~\euro{}.

On note $X_n$ la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée dans le sac, associe le gain algébrique du joueur c'est à dire la somme reçue diminuée du prix du billet.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question seulement, on suppose $n=6$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire
  $X_6$ ?
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable a aléatoire 
  $X_6$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X_6$.
	\end{enumerate}

\hspace{-0.5cm}Dans toute la suite de l'exercice, on suppose que l'entier naturel $n$ est quelconque.
 
\item Étude de la variable aléatoire $X_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire
  $X_n$.
		\item Déterminer en fonction de $n$ l'espérance mathématique de la
  variable aléatoire $X_n$
		\item Le club souhaite que l'espérance de $X_n$ soit strictement
  négative. Quel doit être le nombre minimal de boules noires
  contenues dans le sac pour que cette condition soit remplie ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{}, unités
graphiques : $2$~cm en abscisses et $1$~cm en ordonnées.

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$
par : 

\[f(x)=\dfrac{1}{x} + \ln x.\]

On appelle $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans le repère
\Oij{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item étude de la limite de $f$ en $0$
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le résultat: $\displaystyle \lim_{x \to 0} x\ln x = 0$, déterminer la limite de $f$ en $0$.
		\item En déduire que $\mathscr{C}$ admet une asymptote dont on  donnera une équation.
	\end{enumerate}
\item Étude des variations de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle
  $]0~;~+ \infty[$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variation de $f$.
  \end{enumerate}
\item Tracer $\mathscr{C}$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

$k$ désigne un entier naturel non nul. On appelle $g$ la
fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[g(x)=\dfrac{1}{x} + k\ln x.\]

On appelle $\mathscr{C}_k$ la courbe
représentative de $g$ dans le repère \Oij. En particulier la courbe
$\mathscr{C}_1$ est la courbe tracée à la fin de la première partie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude des variations de $g$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle
  $]0~;~+ \infty[$
		\item Démontrer que $g'(x)$ s'annule pour $x=\dfrac{1}{k}$. Exprimer
  $g \left(\dfrac{1}{k} \right)$ en fonction de $k$.
		\item Étudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+
  \infty[$ et dresser le tableau de variations de $g$. On admettra que
  $g$ admet en $0$ comme en $+ \infty$ les mêmes limites que $f$.
	\end{enumerate}
\item On pose $x_k=\dfrac{1}{k}$ et $y_k=g \left( \dfrac{1}{k}\right)$. On appelle $S_k$ le point de $\mathscr{C}_k$ de
  coordonnées~$\left(x_k~;~y_k\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(x_k\right)$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(y_k\right)$.
		\item Vérifier que, pour tout entier naturel non nul $k$, le point
  $S_k$ est situé sur la courbe $\Gamma$ d'équation $y= \dfrac{1+\ln x}{x}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $H$ la fonction définie sur l'intervalle  $]0~;~+ \infty[$
  par :
   
\[H(x)= x \ln x - x.\]

Déterminer la fonction dérivée de $H$ et  en déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle  $]0~;~+ \infty[$.
\item Calcul d'aire.
  	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle
  $[1~;~2]$.
		\item Calculer l'aire du domaine plan compris entre la courbe
  $\mathscr{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$
  et $x = 2$. On donnera le résultat final arrondi au mm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie génie civil novembre 2005 
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Antilles génie électronique juin 2005
\hypertarget{Antilleselectro}{}

\label{Antilleselectro}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{Antilles}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique Antilles~\decofourright\\[5pt]juin 2005}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Soit (E) l'équation différentielle: $9y'' + \pi^2 y = 0 $ où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur $\R$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation (E).
\item Déterminer la solution particulière $f$ de (E) dont la courbe représentative passe par le point A de coordonnées $\left(0~; \sqrt{3}\right)$ et admet en ce point une tangente parallèle à la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y =  - \dfrac{\pi}{3}x$.
\item Montrer que, pour tout réel $x,~f$ peut s'écrire sous la forme : $f(x) = 2\cos \left(\dfrac{\pi}{3}x + \dfrac{\pi}{6}\right)$.
\item Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 3].
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Soit le nombre complexe $z = 1 - \text{i}\sqrt{3}$ et soit A le point d'affixe $z$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le module et un argument de $z$, donner leur interprétation géométrique puis en utilisant ces deux valeurs, placer le point A.
\item On considère les points B et C d'affixes respectives $z^2$ et $\dfrac{2}{z}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z^2$ et $\dfrac{2}{z}$.
		\item Écrire sous forme algébrique les nombres complexes $z^2$ et $\dfrac{2}{z}$.
		\item Placer dans le plan les points B et C.
	\end{enumerate}
\item Montrer que les points A, B et C appartiennent à un cercle dont le centre $\Omega$ a pour affixe $\omega = - \dfrac{3}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan est rapporte à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-3~;~2[$ par $f(x) = \ln\left(ax^2 +  bx + c\right)$.

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le but de cette partie est de déterminer les réels $a~ b$ et  $c$.

\medskip
	
\begin{enumerate}
\item Montrer que : pour tout $x \in ]- 3~;~2[,~f'(x) = \dfrac{2ax+b}{ax^2+ bx + c}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire les données ci-dessous par des relations entre $a,~ b$ et $c$.

$\bullet~$ La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A$(0~;~ \ln 6)$ et B$\left(- \dfrac{1}{2}~;~2\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)\right)$.

$\bullet~$ Au point B, la courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale.
		\item Déterminer $a,~b$ et $c$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - étude de la fonction \boldmath $f$\unboldmath}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[g(x) = - x^2 - x  + 6\]

et $f$ la fonction de la partie A définie sur
$]- 3~;~2[$ par $f(x) = \ln[g(x)]$. La courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ dans le repère précédent est donnée en \textbf{ANNEXE}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $g$ sur $\R$.
		\item Déterminer les limites suivantes : $\displaystyle\lim_{{x \to - 3}\atop{x > -3}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{{x \to 2}\atop{x < 2}} f(x)$.
		\item En déduire les équations des asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$
	\end{enumerate}
\item Montrer que : pour tout $x \in ]-3~;~ 2[,~ f'(x) = \dfrac{-2x - 1}{g(x)}$.
\item Étudier le signe de $f' (x)$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
\item Déterminer une équation de la tangente â $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, sur l'intervalle [0~;~1,9], l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $x_{0}$.
		\item À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de $x_{0}$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Calcul d'aire}

\medskip

Soit $F$ la fonction définie sur $]-3~;~2[$ par :

\[ F(x) = (x+3)\ln(x + 3) + (x - 2)\ln (-x + 2) - 2x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]-3~;~2[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser à l'aide du graphique le signe de $f$ sur l'intervalle [0~;~1].
		\item Calculer la valeur exacte $\mathcal{A}$ (en unités d'aire), de l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x =1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{ANNEXE : courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction \boldmath f \unboldmath}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(2,3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white](0,0)(-3,-3)(2,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1pt](0,0)(-3,0)(2,0)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[ur](0.6,1.5){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.99}{1.99}{6 x dup mul sub x sub ln}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%   fin Antilles génie électronique juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Métropole Génie électronique juin 2005
\hypertarget{Metroelectro}{}

\label{Metroelectro}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique Métropole~ \decofourright\\[5pt] juin 2005}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On considère $P(z) = z^3 - 4z^2 + 6z - 4$ où $z$ est un nombre complexe.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(2)$.
		\item Déterminer les nombres réels $a,~b$ et $c$ tels que $P(z) = (z - 2)\left(az^2 + bz + c\right)$.
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\C$ l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité $5$~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2,~z_{\text{B}} = 1 + \text{i},~z_{\text{C}} = 1 - \text{i}$.
		\item Déterminer le module et un argument de  $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$.
		\item Montrer que C est l'image de B par une rotation de centre O dont on précisera l'angle.
		\item Déterminer les affixes des points I et J, milieux respectifs des segments [OA] et [BC].
		\item Quelle est la nature du quadrilatère OBAC ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 

\[f(x) = 3x - 1 + \dfrac{1}{\text{e}^{2x}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction dérivée $f'$ est telle que $f'(x) = \dfrac{3\text{e}^{2x} - 2}{\text{e}^{2x}}$.
		\item Résoudre l'équation $f'(x) = 0$, puis justifier l'existence d'un minimum et en donner la valeur exacte.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ (les limites en $- \infty$ et $+ \infty$ ne sont pas demandées).
	\end{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle (E) : $y' + 2y = 6x + 1$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ et $y'$ sa dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre  l'équation différentielle $y' + 2y = 0$.
		\item Démontrer que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = 3x - 1$ est solution de l'équation (E).
		\item Vérifier que la fonction $f$ est solution de (E) et que $f(0) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

On donne dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} la représentation graphique $\Gamma$ d'une fonction $g$, définie, dérivable et strictement croissante sur l'intervalle $]0~;~+\infty]$.

La droite T passant par O et A(1~;~1) est tangente en A à la courbe $\Gamma$.

La courbe $\Gamma$ admet pour asymptote verticale l'axe des ordonnées.

\vspace{0,3cm}

\psset{unit=0.923cm}\begin{pspicture}(-4,-4)(9,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-4,-4)(9,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-4)(9,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) 
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[d](7.5,2.3){\blue $\Gamma$}
\psline[linewidth=1.5pt](-4,-4)(5,5)
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=3000,linecolor=blue]{0.336}{9}{x ln 2 x div add 1 x 2 exp div sub}
\uput[ul](4,4){T}
\end{pspicture}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{6}{X}}
\textbf{a.}& $\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x)$& \textbf{b.} & $g(1)$ & \textbf{c.}& $g'(1)$.\\
\end{tabularx}

\medskip

\item On admet que, pour tout réel de l'intervalle $]0~;~+\infty]$,

\[g(x) = \ln x + \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x^2},~\text{où}~a~\text{et}~b~\text{sont deux nombres réels.}\]

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $g(1)$ et $g'(1)$ en fonction de $a$ et $b$.
		\item Déterminer $a$ et $b$ en utilisant les résultats précédents.
	\end{enumerate}
\item On suppose que $g$ est définie sur $]0~;~+\infty]$ par $g(x) = \ln x + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [0,2~;~ 0,8] ; déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0,01 et en déduire une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près par excès.
		\item En déduire, en utilisant le sens de variations de $g$, le signe de $g(x)$ sur $]0~;~+\infty]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty]$ par

\[ f(x) = \text{e}^x \left(\ln x + \dfrac{1}{x}\right).\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Vérifier que l'on peut écrire, pour tout $x$,~appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty]$,

\[f(x)= \dfrac{\text{e}^x}{x}(x \ln x + 1).\]

		\item En déduire la limite de $f$ en $0$ (on admettra que $\displaystyle\lim_{x \to 0}  x \ln x = 0$).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ et vérifier que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[,~ f'(x) =g(x) \text{e}^x$.
		\item En utilisant le signe de $g$ obtenu précédemment, étudier le sens de variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente	$\Delta$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
		\item Sur la feuille annexe jointe, à rendre avec la copie, on a représenté la courbe $\mathcal{C}$. Sur cette figure, tracer la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $a$ un nombre réel tel que $0 <  a < 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $h$, définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 
		
$h(x) =  \text{e}^x \ln x$ est une primitive de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
		\item En déduire que $\displaystyle\int_{a}^1 f(x)\,\text{d}x  = - \text{e}^{a}\ln a$.
	\end{enumerate}
\item $\mathcal{D}$ désigne la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = \dfrac{1}{2}$ et $x = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Sur la feuille annexe, hachurer le domaine $\mathcal{D}$.
		\item Calculer la valeur exacte de la mesure, exprimée en unités d'aire, de l'aire de $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Feuille annexe}

\vspace{2cm}

\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(-6,-1)(9,8)

\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-6,-1)(9,8)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-6,-1)(9,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=3000,linecolor=blue]{0.106}{1.9195}{x ln 1 x div add 2.71828 x exp mul}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie électronique juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Polynésie Génie électronique juin 2005
\hypertarget{Polynesieelectro}{}

\label{Polynesieelectro}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{8 juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique Polynésie~\decofourright\\[5pt]8 juin 2005}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Un établissement scolaire propose à chaque élève des sorties culturelles. Celles-ci sont de trois types : théâtre, sport ou cinéma.

On considère que chaque élève choisit de façon aléatoire deux sorties culturelles. On suppose l'équiprobabilité des choix.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On s'intéresse aux différents choix possibles qui s'offrent à un élève. Ainsi participer à une sortie sport et une sortie théâtre correspond au choix [S ; T]. De même participer à deux sorties cinéma correspond au choix [C ; C]. On ne tient pas compte de l'ordre des sorties. Dresser la liste des six choix possibles.

\item Une sortie théâtre coûte 12 \euro, une sortie sport coûte $8$~\euro et une sortie cinéma coûte 4 \euro. On définit une variable aléatoire $X$ qui, à chaque choix, associe la dépense totale pour l'élève. Ainsi, au choix [S ; T], la variable aléatoire $X$ associe $20$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
		\item Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant, donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ :

\[\begin{array}{|c|*{5}{p{1.4cm}|}}\hline
x_{i}		& & & & & \\ \hline
P[X=x_{i}]	& & & & & \\ \hline
\end{array}\]

		\item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ de la variable aléatoire $X$. Que représente $E(X)$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

La figure sera construite sur la copie et complétée au fur et à mesure de la résolution de l'exercice. On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $4$~cm.

Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}}$ de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$,~ B le point d'affixe $z_{\text{B}}$ égale à i et C le point d'affixe $z_{\text{C}}$ égale à 1.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C (la construction du point A se fera uniquement avec le compas et on laissera apparents les traits de construction sur la copie).
		\item Construire le point $E$ tel que $\vect{\text{O}E} =  \vect{\text{OA}} + \vect{\text{OB}}$.
		\item Prouver que le quadrilatère OA$E$B est un losange.
	\end{enumerate}
\item On note $z_{E}$ l'affixe du point $E$. écrire le nombre complexe $z_{\text{A}}$ sous forme algébrique, en déduire que $z_{E} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2 + \sqrt{3}}{2}\text{i}.$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère l'application $f$ définie dans $\C$ par $f(z)= \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}z$. Caractériser la transformation
géométrique $r$ associée à $f$.
		\item Le point $E'$ est l'image du point $E$ par la transformation $r$. On note $z_{E'}$ l'affixe du point $E'$.

Sachant qu'un argument de $z_{E}$ est	$\dfrac{5\pi}{12}$	justifier qu'un argument de $z_{E'}$	est	$\dfrac{\pi}{4}$	et construire le point $E'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]- 1~;~+\infty[$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ est tracée dans l'annexe 1 (à remettre avec la copie). Les droites $\mathcal{D}_{1}$ et $\mathcal{D}_{2}$ sont asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de chacune des droites $\mathcal{D}_{1}$ et $\mathcal{D}_{2}$.
\item En déduire $\displaystyle\lim_{x \to - 1 \atop x > -1} f(x)$  et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
\item Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La fonction de la \textbf{partie A} est définie sur l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{2x}{x+1} - \text{e}^{-x}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item	
	\begin{enumerate}
		\item Retrouver par le calcul $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		\item Retrouver par le calcul $\displaystyle\lim_{x \to - 1 \atop x > -1} f(x)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$, déterminer $f'(x)$ et étudier son signe sur l'intervalle $]- 1 ;  + \infty[$.
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur cet intervalle.
		\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse zéro ; tracer cette tangente $T$ sur l'annexe 1 (à remettre avec la copie).
	\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet dans l'intervalle [0 ;  1] une solution unique $\alpha$ et donner une valeur du nombre réel $\alpha$, arrondie à $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$ on a : 

\[f(x) = 2 - \dfrac{2}{x+1} - \text{e}^{-x}.\]
	
\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$.
\item En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2]. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à $10^{-1}$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie Génie électronique juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%  Antilles génie électronique septembre 2005
\hypertarget{Antilleselectrosep}{}

\label{Antilleselectrosep}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft ~Baccalauréat STI Génie électronique Antilles~\decofourright\\[5pt] septembre 2005}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Un professeur d'Éducation Physique et Sportive s'adresse à un groupe de vingt élèves au sujet de leurs loisirs : intérêt pour le football dans la pratique de ce sport ou comme spectacle à la télévision.

Parmi ces vingt élèves, on sait que quinze regardent des matches à la television, huit pratiquent ce sport et cinq font les deux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que deux élèves dans ce groupe ne s'intéressent au football ni
dans la pratique, ni à la télévision.
\item  Un élève de ce groupe est choisi au hasard.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la probabilité qu'il ne s'intéresse au football ni dans la pratique ni à la télévision ? 	
		\item  Quelle est la probabilité qu'il s'intéresse au football à la télévision sans le pratiquer ? 
	\end{enumerate}
\item  On interroge au hasard un élève qui regarde les matches à la télévision.

Quelle est la probabilité qu'il pratique le football ?	
\item  On attribue au hasard un numéro à chacun des vingt élèves. Une urne comporte 20 jetons avec les numéros en question.\\
On tire deux fois au hasard un jeton en le remettant dans l'urne après le premier tirage.

À chaque tirage, l'élève désigné gagne un billet d'entrée au match de son choix à condition qu'il pratique le football et le suive à la télévision.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le nombre total de tirages de deux jetons. 
		\item  Déterminer le nombre total de tirages permettant d'obtenir deux billets.
		\item  Soit X la variable aléatoire définie par le nombre de billets gagnants.
		
Définir la loi de probabilité de X et son espérance mathématique. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions suivantes,  au moins une réponse est exacte. Indiquer la (ou les) réponse(s) exacte (s) sur votre copie. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère l'équation différentielle $y' = - 2 +  \ln x$. Parmi les courbes ci-dessous, où la droite T représente chaque fois la tangente à la courbe considérée au point d'abscisse $1$, quelle est celle susceptible de représenter une solution de cette équation différentielle ?
	\begin{enumerate}
		\item~ 
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.714cm} 
\begin{pspicture}(0,-12)(14,2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(0,-12)(14,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[Dx=20,Dy=20,linewidth=1pt](0,0)(0,-12)(14,2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{14}{x ln  x mul  x 3 mul sub}
\psline(1,-3)(5.5,-12)
\uput[dl](4,-9){T} \uput[u](7.389,0){e$^{2}$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](7.389,0)(7.389,-7.389)
\end{pspicture}
\medskip
		\item  
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.714cm} 
\begin{pspicture}(0,-12)(14,2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(0,-12)(14,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[Dx= 20,Dy=20,linewidth=1pt](0,0)(0,-12)(14,2)
\psline(1,-3)(7.75,-12)
\psline(1,-3)(5.5,-12)
\uput[dl](4,-9){T} \uput[u](7.389,0){e$^{2}$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](7.389,0)(7.389,-11.3)
\end{pspicture}
\medskip
		\item  
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.714cm} 
\begin{pspicture}(0,-12)(14,2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(0,-12)(14,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[Dx= 20,Dy=20,linewidth=1pt](0,0)(0,-12)(14,2)
\psline(1,-1)(7.389,-7.389)(10.3,2)
\uput[dl](3.5,-4){T} \uput[u](7.389,0){e$^{2}$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](7.389,0)(7.389,-7.389)
\end{pspicture}

\medskip

	\end{enumerate}
\item  Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Oij, on considère les points A et B d'affixes respectives $Z_{\text{A}}= - 1 + \text{i}$ et $Z_{\text{B}} = I + \text{i}$.

On appelle $\mathcal{C}$ le cercle de centre A et de rayon I et $\mathcal{C}'$ le cercle de centre B et de rayon I.

Soit $n$ un entier naturel non nul et $Z_{n}	 = \left(- \dfrac{\sqrt{2}}{4} - \dfrac{\sqrt{2}}{4} \text{i} \right)^{n}$.

Pour quelles valeurs de $n$, parmi celles proposées ci-dessous, l'image de $Z_{n}$
appartient-elle au domaine grisé ?

\begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-3,-1)(3,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-3,-1)(3,3)

\pscircle(-1,1){1} \pscircle(1,1){1}
\qdisk(-1,1){2pt}  \qdisk(1,1){2pt}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{
\psarc(-1,1){1}{-90}{0}\psarc(1,1){1}{-180}{-90}
\psline(1,0)(-1,0)
}
\uput[dl](0,0){O} \uput[ul](-1,1){A}
\uput[ur](1,1){B} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.8){$\vect{v}$} 
\uput[dr](-2.2,2.2){$\mathcal{C}$}  \uput[dl](2.2,2.2){$\mathcal{C}'$} 
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3,-1)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture} 
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item  $n = 1.$
		\item $n = 2.$
		\item $n = 3.$
	\end{enumerate}	
\item  La solution particulière $f$, définie sur $\R$, de l'équation différentielle
		\[y'' + 9y = 0\]
telle que $f(\pi) = - \sqrt{3}$	et $f'(\pi) = 3$ est :
	\begin{enumerate}
		\item  $f(x) = \sqrt{3}\cos (3x) - \sin (3x)$.
		\item  $f(x) = -\sqrt{3} \cos (3x)+ 3 \sin (3x)$.
		\item  $f(x) = 3\sin \left(\dfrac{x}{3}\right) + \sqrt{3}	\cos  \left(\dfrac{x}{3}\right)$.
	\end{enumerate}	
\item  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{2x}$.\\
La valeur moyenne $\mu$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[\ln 5~;~\ln 10]$ est :
	\begin{enumerate}
		\item $\mu = \dfrac{2 \ln 2}{75}.$
		\item $\mu = \dfrac{75}{2 \ln 5}.$
		\item $\mu = \dfrac{75}{\ln 4}.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} 

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :
 \[ g(x) =  x^2 + 1 - 2 \ln x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On désigne par $g'$ la fonction dérivée de $g$.\\
Déterminer $g'(x)$ et étudier son signe sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.\\
(L'étude des limites aux bornes de l'ensemble de définition n'est pas
demandée.) 	
\item  Calculer $g(1)$. En déduire que $g$ est strictement positive sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, par:

\[f(x) = \left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right) \ln x.\]

Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques graphiques
$2$~cm sur l'axe des abscisses et $4$~cm sur l'axe des ordonnées.\\
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ et par $\Gamma$ la courbe d'équation $y = \ln x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en zéro. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout réel $x$ strictement positif:

\[f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^{3}}.\]
 	
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	 \end{enumerate}
 \item   On définit sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, la fonction $h$ par :

	\[h(x) = f(x) - \ln x.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite en $+ \infty$ de la fonction $h$.	
		\item  Étudier le signe de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
		
En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la courbe $\Gamma$.
	\end{enumerate}
\item  Déterminer une équation de la tangente $\Delta$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A
	d'abscisse $1$.	
\item  Tracer les courbes  $\mathcal{C},~ \Gamma$ et la droite $\Delta$ dans le repère \Oij. 
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $H$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, par :

\[H(x) = - \left(\dfrac{1 + \ln x}{x}\right).\]

Montrer que $H$ est une primitive de $h$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
\item  Soit $\alpha$ un nombre réel strictement supérieur à $1$.

Calculer l'aire $\mathcal{A}(\alpha)$, en cm$^2$, du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, la courbe $\Gamma$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \alpha$. 
\item  Déterminer la limite de $\mathcal{A}(\alpha)$ quand $\alpha$ tend vers $+ \infty$. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Antilles génie électronique septembre 2005   
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Métropole génie électronique septembre 2005
\hypertarget{Metroelectrosep}{}

\label{Metroelectrosep}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
\lfoot{\small{Métropole}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2005~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Une feuille de  papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
\end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Le  plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité $2$~cm.

$\Gamma$ est le cercle de centre O et de rayon $1$.
 
A est le point d'affixe $a = \dfrac{\sqrt{3}}{ 2} - \dfrac{1}{2}\text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que le point A appartient au cercle $\Gamma$.
\item  Soit $r$ la transformation qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z' = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}} z$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que l'affixe $b$ du point B image de A par $r$ est égal, à $- \text{i}$. 
		\item Le point B appartient-il au cercle $\Gamma$ ? 
		\item Démontrer que le triangle OAB est équilatéral.
	 \end{enumerate}
\item  Donner l'affixe $c$ du point C diamétralement opposé au point A sur le cercle $\Gamma$.
\item Soit $t$ la transformation du plan qui, à tout point $M$ d'affixe
$z$, associe le point $M'$ d'affixe $z' = z + \dfrac{\sqrt{3}}{ 2} - \dfrac{1}{2}\text{i}$.

Démontrer que l'affixe $d$ du point D image de C par la transformation $t$ est égale à $\text{i}$.	
\item Tracer le cercle $\Gamma$ et placer les points A, B, C, D dans le	repère \Ouv.	
\item Démontrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire le nombre complexe $a$ sous forme exponentielle.	
		\item Déterminer la forme algébrique de $a^6$.	
		\item Le point d'affixe $a^6$ appartient-il à $\Gamma$ ?
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Un circuit est composé d'une bobine d'inductance $L$, mesurée en farads, d'un condensateur de capacité C, mesurée en henrys, et d'un interrupteur. L'unité de temps est la seconde

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,5)
\pnode(0,0){A} \pnode(7,0){B} \pnode(7,4){C} \pnode(0,4){D}
\pnode(4,4){E} \pnode(5.5,4){F} \switch(E)(F){~}
\coil[dipolestyle=curved](C)(B){L}
\capacitor(A)(D){C} 
\psline{->}(8,1.5)(8,3.5) \psline{->}(2,4)(3,4) 
\psline(0,0)(7,0) \uput[r](8.5,2.5){$u(t)$}
\psline(0,4)(2,4) \psline(5.5,4)(7,4) \psline(3,4)(4,4) 
\uput[u](2.5,4){$i(t)$}
\end{pspicture}
\end{center}

On sait que :

C $= 125\cdot 10^{-6}$	et L$ = 200 \cdot 10^{-3}$.

À l'instant $t = 0$, on ferme l'interrupteur, le circuit est alors parcouru par un courant.

On désigne par $q(t)$ la charge, mesurée en coulombs, du condensateur, $i(t)$, l'intensité, mesurée en ampères, du courant qui parcourt le circuit et $u(t)$ la tension, mesurée en volts, aux bornes de la bobine à l'instant $t$.
 
À l'instant $t =  0$, la charge du condensateur, mesurée en coulombs, est $10^{-3}$ et l'intensité du courant qui parcourt le circuit est nulle. On a donc les conditions initiales suivantes : $q (0) = 10^{-3}$ et $q'(0) =  0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la charge du condensateur est solution de l'équation différentielle (E) :

\[q''(t) + \dfrac{1}{\text{LC}} q(t) = 0.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre l'équation différentielle (E).
		\item  Démontrer que l'unique solution de l'équation différentielle (E) vérifiant  les conditions initiales est la fonction $q$ définie par $q(t) = 10^{-3} \cos (200t)$  où $t$ est un réel positif.
	 \end{enumerate}
\item Les fonctions $i$ et $u$ définies dans le préambule vérifient pour tout $t : i(t) = - q'(t)$ et $u(t) =  - L'(t)$, où $i'$est la dérivée de $i$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout $t,~  u(t) =  -8 \cos (200t)$.
		\item  La tension efficace U$_{\text{eff}}$ aux bornes de la bobine est définie par :

\[\left(\text{U}_{\text{eff}} \right)^2	 = \dfrac{100}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{100}} [u(t)]^2\: \text{d}t.\]

Déterminer la valeur exacte de U$_{\text{eff}}$

$\left(\text{on pourra utiliser la relation}~ \cos ^2 a = \dfrac{1 + \cos 2a}{2}\right)$.
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{A.  étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'ensemble des réels par 

\[g(x) = \dfrac{3}{2}\text{e}^{2x} - 5\text{e}^{x}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que : $g(x) = \text{e}^{x}\left(\dfrac{3}{2}\text{e}^{x} - 5\right)$. 
\item Étudier le signe de $g(x)$  sur $\R$.	
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{B. Étude de \boldmath $f$ \unboldmath et tracé de sa courbe représentative}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par
 
\[f(x) = \dfrac{3}{2}\text{e}^{2x} - 5\text{e}^{x}  - 2x + 1.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un
repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : $2$~cm sur l'axe
des abscisses et $1$~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que pour tout réel $x$ :

\[f(x) = \text{e}^{x}\left(\dfrac{3}{2}\text{e}^{x} - 5 - \dfrac{2x}{\text{e}^{x}} + \dfrac{1}{\text{e}^{x}}\right).\]

En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item  Montrer que la droite $D$ d'équation $y = - 2x + 1$ est une
asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de $-  \infty$.
		\item  Montrer que pour tout réel $x,~ g(x) = f(x) - (- 2x + 1)$.
		
En déduire la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $D$
sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$ et vérifier que, pour tout réel $x$,

\[f'(x) =  \left(3\text{e}^{x} + 1\right)\left(\text{e}^{x} - 2\right).\]
	
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de	$f$.
		
On précisera la valeur exacte du minimum.
	 \end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre dans $\R$ l'équation $3\text{e}^{2x} - 5\text{e}^{x} =  0$.		
		\item En déduire qu'il existe un unique point A de la courbe $\mathcal{C}$ où la tangente $T$ est parallèle à la droite $D$.	
	 \end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution
unique $\alpha$ dans l'intervalle [1~ ;~2].	
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	 \end{enumerate}	
\item Sur une feuille de papier millimètre, tracer $D$, $T$ et $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 	
\bigskip

\textbf{C. Calcul d'aire}

\medskip

On considère le domaine $\Delta$ du plan compris entre la droite $D$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équations $x =  0$ et $x =  \lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement négatif.

On note $\mathcal{A}(\lambda)$ la mesure, exprimée en unités d'aire, de l'aire de ce domaine.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Hachurer sur le graphique le domaine $\Delta$. 
\item  Démontrer que, pout tout réel strictement négatif $\lambda$,
\[\mathcal{A}(\lambda) = \left(\dfrac{17}{4} + \dfrac{3}{4}\text{e}^{2\lambda} - 5\text{e}^{\lambda}\right).\]
\item  Calculer $\displaystyle\lim_{\lambda \to - \infty} \mathcal{A}(\lambda)$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Métropole génie électronique septembre 2005
\newpage 
%%%%%%%%%%%%   Nouvelle--Calédonie Génie électronique novembre 2005
\hypertarget{Caledoelectronov}{}

\label{Caledoelectronov}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI novembre
 2005~\decofourright\\[5pt]Génie électrique Nouvelle Calédonie}}
\end{center}

\emph{Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même
  temps que le sujet.}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

Soit $\mathrm{i}$ le nombre complexe de module $1$ et d'argument
$\dfrac{\pi}{2}$. Pour tout nombre complexe $z$, on pose
$P(z)=2z^3 - 10z^2+21z - 18$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(2)$, puis déterminer les réels $a, b$ et  $c$ tels que
  pour tout nombre complexe $z$ on ait $P(z)=(z - 2)\left(az^2 + bz + c\right)$.
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation
  \mbox{$2z^2 - 6z + 9 = 0$}, puis en déduire les solutions de l'équation $P(z)=0$.
\item Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique  $2$ cm).

On considère les points $A$ et $B$, d'affixes respectives
  $z_A = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} \mathrm{i}$ et $z_B =
  \overline{z_A}$, ainsi que les points $C$ et $D$ d'affixes
  respectives $z_C$ et $z_D$ telles que $z_C=-z_A$ et
  $z_D=\mathrm{i}z_A$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire les nombres complexes $z_C$ et $z_D$ sous forme  algébrique.
		\item Sur la copie, placer les points $A, B, C,$ et $D$ dans le repère  \Ouv.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip

Une entreprise fabrique quatre type de pièces notées $P_1, P_2, P_3$ et $P_4$ et possède trois machines $A, B$ et $C$ pour procéder à leur conception.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] La fabrication de la pièce $P_1$ nécessite l'utilisation de chacune des machines $A$ et $B$.
\item[$\bullet~$] La fabrication de la pièce $P_2$ nécessite l'utilisation de
chacune des machines $B$ et $C$.
\item[$\bullet~$] La fabrication de la pièce $P_3$ nécessite l'utilisation de
chacune des machines $A$ et $C$.
\item[$\bullet~$] La fabrication de la pièce $P_4$ nécessite l'utilisation de
chacune des trois machines $A, B$ et $C$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On considère un échantillon de \np{2000} pièces où il y a $700$~pièces
de type $P_1$, \np{1000}~pièces de type $P_2$, $200$~pièces de type $P_3$ et $100$~pièces de type $P_4$.

On choisit au hasard une pièce dans l'échantillon. Il y a
équiprobabilité des choix.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité des événements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item \og la pièce choisie est de type $P_1$ \fg.
		\item \og la fabrication de la pièce choisie a nécessité l'utilisation
  de la machine~$B$ \fg.
	\end{enumerate}
\item  Pour produire une pièce, l'utilisation de la machine $A$ coûte
  $5$~\euro, celle de la machine $B$ coûte $4$~\euro{}  et celle de la
  machine $C$ coûte $2$~\euro. On appelle $X$ la variable aléatoire
  qui, à chaque pièce choisie dans l'échantillon, associe son coût de
  réalisation. Ainsi la réalisation de la pièce $P_1$ coûte $9$~\euro.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le coût de réalisation de  chacune des pièces $P_2,
  P_3$ et $P_4$.
		\item Donner, sous forme d'un tableau, la loi de probabilité de la
  variable aléatoire $X$.
		\item Quel est le coût moyen de fabrication d'une pièce dans
  l'échantillon ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème }\hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+
\infty[$ par : 

\[g(x)= x - 2 + \dfrac{1}{x}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $g$ aux bornes de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item Calculer la dérivée $g'$ de la fonction $g$ et étudier le signe
  de $g'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty [$.
\item Construire le tableau de variations de la fonction $g$.
\item Déterminer, en justifiant votre réponse, le signe de la fonction
  $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $] 0 ~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = x^2 - 4x - 1 + 2\ln x.\]

On appelle $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$
dans un plan muni d'un repère orthonormal \Oij{}  d'unité graphique $1$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. Interpréter
  graphiquement ce résultat.
\item En remarquant que $f(x)$ peut s'écrire $f(x)=x^2 \left( 1 -
    \dfrac{4}{x} - \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{2\ln x}{x^2} \right)$,
    déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
\item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[$, on
  a $f'(x) = 2g(x)$ (donner le détail des calculs).
\item étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son
  tableau de variations sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique
  notée $\alpha$ dans l'intervalle $[3~ ;~ 4]$.
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser $f'(1)$ et la tangente $T$ à la courbe $\mathscr{C}$
  au point d'abscisse $1$.
		\item Représenter graphiquement la tangente $T$ et la courbe
  $\mathscr{C}$ dans le repère \Oij.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[H(x) = x \ln x - x.\]
  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $H$ est une primitive de la fonction
  logarithme népérien sur l'intervalle $] 0~;~ + \infty[$.
		\item En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur
  l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item  Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[1 ; 3]$ :
  donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie au centième. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   Nouvelle--Calédonie Génie électrique novembre 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane génie des matériaux juin 2005
\hypertarget{Antillesmateriaux}{}

\label{Antillesmateriaux}
\lhead{\small Baccalauréat Génie mécanique, génie mécanique, génie des matériaux}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2005}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles--Guyane  juin 2005~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, génie des matériaux}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter  les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
 
Le plan complexe est muni du repère orthonormé \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.

On note A et B les points d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = 2 + 2\sqrt{3}\text{i}$ et $z_{\text{B}} = 6 + 2\sqrt{3}\text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. 
		\item  Que vaut la distance OA ? En déduire une construction du point A. (On expliquera la méthode de construction utilisée)
		 
Placer le point B.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle OAB est isocèle. 
		\item Donner une mesure de chacun des angles de vecteurs $\left(\vect{u},~ \vect{\text{OA}}\right)$ et $\left(\vect{u},~ \vect{\text{OB}}\right)$. En déduire la mesure de l'angle géométrique $\widehat{\text{AOB}}$, puis la mesure de chacun des angles géométriques $\widehat{\text{ABC}}$ et $\widehat{\text{OAB}}$.
	\end{enumerate}  
\item Soit F le point d'affixe $z_{\text{F}} = 4\sqrt{3}\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point F. 
		\item Démontrer que le triangle OBF est équilatéral. 
		\item Calculer $\left|z_{\text{A}} - z_{\text{F}}\right|$. Que représente le point A pour le triangle OBF ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
 
Dans une foire un forain propose le jeu suivant.
 
On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6, puis on fait tourner une roue portant les numéros 0, 1, 2, 3. On obtient ainsi un couple $(a~;~b)$ où le nombre $a$ est lu sur la face supérieure du dé, le nombre $b$ est indiqué par la roue.
 
On suppose dans tout l'exercice que tous les couples $(a~;~b)$, avec $a \in  \{1,~ 2,~ 3,~4,~ 5,~ 6\}$ et $b \in  \{0,~ 1,~  2,~ 3\}$, ont la même probabilité d'être obtenus.
 
Le résultat du jeu est le nombre $a \times b$, produit des nombres $a$ et $b$ du couple $(a~;~b)$ obtenu.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier le tableau suivant et le compléter en indiquant les résultats possibles pour un jeu.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
	&\multicolumn{6}{|c|}{Nombre $a$ lu sur le dé :}  \\ \hline
Nombre $b$ lu sur la roue	&1 	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 \\ \hline 
0 							&	&	&	&0 	&	& \\ \hline
1 							&	&	&	&	&	&  \\ \hline 
2 							&	&	&6	&	&	&   \\ \hline 
3 							&	&	&	&	&15 &  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip


\item Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  $A$ : \og Le résultat du jeu est un nombre qui appartient à l'intervalle [5~;~9]. \fg{} ; 
\item  $B$ : \og Le résultat du jeu a été obtenu à partir d'un numéro impair sur la roue. \fg{} ; 
\item $C = A ~\cap~ B$ ; 
\item $D = A ~\cup~ B$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item Si le résultat du jeu est égal à 18, le joueur reçoit 10 \euro{}; si le résultat du jeu appartient à l'intervalle [10~;~17] , le joueur reçoit 5 \euro{}; si le résultat du jeu appartient à l'intervalle [5~ ;~9], le joueur reçoit 1 \euro{}; dans les autres cas le joueur ne reçoit rien et ne perd rien.
 
Soit X la variable aléatoire qui, pour chaque jeu, prend pour valeur la somme reçue par le joueur.
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner, sous forme de tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique, notée $E(X)$, de la variable aléatoire $X$. 
		\item Sur l'ensemble de la durée de la foire, le forain compte avoir \np{2000}~participants à ce jeu. 
		
S'il demande 2 \euro{} de participation à chaque joueur, quel gain net pourra-t-il espérer à l'issue de la foire ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses et 4~cm sur l'axe des ordonnées.
 
On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies pour tout nombre réel $x$, par :
 
\[f(x) = 2x\text{e}^x - x^2 - 2x \quad  \text{et} \quad  g(x) = - x^2 - 2x.\]
 
On nomme $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{P})$ les courbes représentatives respectives des fonctions $f$ et $g$ relativement au repère orthogonal \Oij.

\medskip
 
\textbf{Partie A - Étude de la fonction} \boldmath $g$ \unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$ et sa limite en $- \infty$. 
\item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$. 
\item Donner le tableau des variations de la fonction $g$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ non nul, $f(x) = x^2\left(2\text{e}^x - 1 - \dfrac{2}{x}\right)$. En déduire la limite de la 
fonction $f$ en $+\infty$. 
		\item  Calculer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
		 
Montrer que, pour tout nombre réel $x,~f'(x) = 2(x + 1)\left(\text{e}^x - 1\right)$. 
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres réels l'inéquation : $\text{e}^x - 1  \geqslant 0$.
		
En déduire, à l'aide d'un tableau de signes, le signe de $f'(x)$ pour $x$ réel. 
		\item Établir le tableau des variations de la fonction $f$ ; y faire figurer les valeurs exactes des extremums.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C - Tracé des courbes} \boldmath $(\mathcal{C})$ \unboldmath \textbf{et} \boldmath $(\mathcal{P})$ \unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Pour tout $x$ réel, calculer $f(x) - g(x)$, puis $\displaystyle\lim_{x \to  \infty} [f(x) - g(x)]$. Quelle conclusion peut-on en tirer pour les courbes $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{P})$ ? 
		\item  Étudier le signe de $f(x) - g(x)$ selon les valeurs du réel $x$. En déduire les positions relatives de $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{P})$.
	\end{enumerate} 
\item On nomme $\alpha$ l'unique solution non nulle de l'équation $f(x) = 0$, et A le point de la courbe $(\mathcal{C})$ d'abscisse $\alpha$.
 
À l'aide d'une calculatrice, donner une valeur approchée décimale de $\alpha$ arrondie à $10^{-2}$. 
\item Recopier le tableau suivant et le compléter avec les valeurs approchées décimales de $f(x)$ et $g(x)$ arrondies à $10^{-2}$. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$-2,5$	&$-2$	&$-1$	&$-0,5$	&0	&0,5&1 \\ \hline
$f(x)$ 	&		&		&		&		&	&	&  \\ \hline
$g(x)$	&		&		&		&		&	&	&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans le repère \Oij, placer le point A défini à la question C. 2., puis tracer les courbes $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{P})$.

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie D - Calcul d'une aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Soit $h$ la fonction définie par : pour tout nombre réel $x,~ h(x) = (x - 1)\text{e}^x$.
 
	\begin{enumerate}
		\item On note $h'$ sa fonction dérivée. Pour tout $x$ réel, calculer $h'(x)$.
		\item En déduire une primitive sur $\R$ de la fonction : $x \longmapsto - 2x \text{e}^x$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $\mathcal{S}$ la surface plane délimitée par les courbes $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{P})$ et les droites d'équations respectives $x = -1$ et $x = 0$. On note $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en cm$^2$, de la surface $\mathcal{S}$.
 
Hachurer la surface $\mathcal{S}$ sur le graphique de la partie C.
 
Calculer $\mathcal{A}$. En donner la valeur exacte, puis une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%  fin Antilles matériaux juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%% Métropole Génie des matériaux juin 2005
\hypertarget{Metromateriaux}{}

\label{Metromateriaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie des matériaux Métropole~\decofourright\\[5pt] juin 2005}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter  les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Tous les résultats demandés seront justifiés.

Soit le nombre complexe $z_{1} = 3\left(\cos \dfrac{\pi}{6} + \text{i} \sin \dfrac{\pi}{6}\right)$. On pose :

$z_{2} = \overline{z_{1}}$, où	$\overline{z_{1}}$ désigne le nombre complexe conjugué de $z_{1}$,

$z_{3} = - z_{1}$ ,

$z_{4} = z_{1}\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la forme algébrique des nombres complexe $z_{1},~z_{2}$ et $z_{3}$.
\item Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{2}$ et $z_{3}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $z_{4} = 3\text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{6}}$
		\item En déduire le module et un argument du nombre complexe $z_{4}$.
		\item Quelle est la forme algébrique de $z_{4}$ ?
	\end{enumerate}
\item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (Unité graphique : 2 cm).

On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_{1},~ z_{2},~z_{3}$ et $z_{4}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. Construire ce cercle.
		\item Construire les points A, B, C et D en utilisant leurs ordonnées.
		\item Calculer les distances AC et BD.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle : $9 y'' + y = 0$.
\item Déterminer la solution $f$ de cette équation différentielle vérifiant les conditions initiales :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(0) &=&\sqrt{3}\\
f'(0) & = & - \dfrac{1}{3}\\
\end{array}\right.\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on peut écrire : $f (x) = 2\cos\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi}{6}\right)$. 
		\item Résoudre, dans l'ensemble des nombres réels, l'équation $f(x) = - \sqrt{2}$.
	\end{enumerate}
\item Calculer la valeur moyenne $m$ de $f$ sur l'intervalle $[0~;~\pi]$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel $x$, par :

\[f(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} + \text{e}^x - 2x.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} (Unité graphique $2$~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comportement de $f$ en $- \infty$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y= - 2x$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item Comportement de $f$ en $+ \infty$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ différent de $0$, on peut écrire :

\[f(x) x\left(\dfrac{\text{e}^{2x}}{2x} + \dfrac{\text{e}^x}{x} - 2\right).\]
		\item En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item Étude des variations de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ et vérifier que l'on a pour tout nombre réel $x, $

\[f'(x) = \left(\text{e}^x + 2\right)\left(\text{e}^x - 1\right).\]
 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$, lorsque $x$ décrit l'ensemble des nombres réels.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item Tracer la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
\item Calcul d'une aire.

Soit $\alpha$ un nombre réel strictement négatif.
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer la partie $\mathcal{H}$ du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x = \alpha$ et $x = 0$.
		\item Calculer, en fonction de $\alpha$ et en unités d'aire la valeur de l'aire de la partie $\mathcal{H}$, que l'on notera $\mathcal{A}(\alpha)$.
		\item Déterminer la limite de $\mathcal{A}(\alpha)$ quand $\alpha$ tend vers $- \infty$. Interpréter le résultat obtenu.
	\end{enumerate}  
\end{enumerate} 
%%%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole Génie des matériaux juin 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Antilles Génie des matériaux septembre 2005
\hypertarget{Antillesmateriauxsep}{}

\label{Antillesmateriauxsep}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles-Guyane septembre 2005~\decofourright\\[5 pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

Dans tout cet exercice, on note $g$ la fonction numérique définie pour tout nombre réel $x$, par :

\[g(x) = \sin \left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{3}\right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit (E) l'équation différentielle :

\[4y'' = - y,\]
	
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la solution générale de l'équation différentielle (E). 
		\item  On note $f$ la solution particulière de l'équation différentielle (E) qui vérifie : $f(0) = - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $f'(0) = \dfrac{1}{4}$.

Démontrer que la fonction $f$ est égale à la fonction $g$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\mu$ la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left[\dfrac{2\pi}{3}~;~\dfrac{14\pi}{3}\right]$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $\mu$.
		\item  Recopier et compléter le tableau ci-dessous en indiquant des valeurs exactes :
		
\renewcommand{\arraystretch}{2.4}
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ &$\dfrac{2\pi}{3}$&$\dfrac{5\pi}{3}$&$\dfrac{8\pi}{3}$&$\dfrac{11\pi}{3}$&$\dfrac{14\pi}{3}$\\ \hline
$\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{3}$&		&	&	&	&		\\ \hline
$\sin \left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{3}\right)$&		&	&	&	&		\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

\end{center}

		\item  Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left[\dfrac{2\pi}{3}~;~\dfrac{14\pi}{3}\right]$.
		
Tracer la couche $\mathcal{C}$. 
		\item  La valeur de $\mu$ trouvée en a. est-elle cohérente avec le graphique effectué en c ?
		
Pourquoi ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

Un jeu consiste à tirer une boule dans une urne qui contient des boules rouges, des boules vertes et des boules noires.

La règle du jeu indique que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  si la boule tirée est rouge, l'organisateur du jeu donne $1$~\euro{} au joueur
\item[$\bullet~$]  si la boule tirée est verte, l'organisateur du jeu donne $2$~\euro{} au joueur
\item[$\bullet~$]  si la boule tirée est noire, l'organisateur du jeu donne $0,50$~\euro{} au joueur.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On admet que lors de chaque tirage. toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées.

On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  $p_{\text{R}}$ la probabilité de tirer une boule rouge
\item[$\bullet~$]  $p_{\text{V}}$ la probabilité de tirer une boule verte
\item[$\bullet~$]  $p_{\text{N}}$ la probabilité de tirer une boule noire.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, on suppose que le nombre de boules rouges, le nombre de boules vertes et le nombre de boules noires contenues dans l'urne sont tels que

\[p_{\text{V}} = 2p_{\text{R}}\quad \text{et} \quad  p_{\text{R}} = 2p_{\text{N}}\]
On rappelle que, les boules contenues dans l'urne étant soit rouges, soir vertes, soit noires, on a l'égalité

\[p_{\text{R}} + p_{\text{V}} + p_{\text{N}} = 1 \]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $p_{\text{R}},~p_{\text{V}}$ et $p_{\text{N}}$. (Donner les valeurs exactes.) 	
\item  Sachant que l'urne contient 3 boules noires, calculer le nombre total de
boules contenues dans l'urne, ainsi que le nombre de boules rouges et le
nombre de boules vertes contenues dans l'urne.
\item  Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage d'une boule associe la somme reçue par le joueur.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$, puis calculer
l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire $X$.
		\item  Si l'organisateur du jeu vendait $1,50$~\euro{} un ticket donnant le droit
d'effectuer en tirage, quel bénéfice pourrait-il espérer avoir réalisé à l'issue de \np{1000} jeux. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

[Dans cette partie, on suppose que l'organisateur du jeu a rajouté des boules noires dans l'urne : l'urne contient 12 boules vertes, 6 boules rouges, $n$ boules noires.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Exprimer, en fonction de $n$, la probabilité de tirer une boule verte, la probabilité de tirer une boule rouge et la probabilité de tirer une boule noire. 
\item  Soit $Y$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe la somme reçue par le joueur.
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer, en fonction de $n$, l'espérance mathématique $E(Y)$ de la variable aléatoire Y. 
		\item  L'organisateur du jeu vend $1,50$~\euro{} le ticket donnant le droit d'effectuer un tirage.

Comment peut-il choisir le nombre $n$ de boules noires pour pouvoir espérer réaliser un bénéfice de $500$~\euro{} à l'issue de \np{1000} jeux ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 12 points}

\medskip

Le plan est rapporte à un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : $2$~cm sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur l'axe des ordonnées).

\medskip

\textbf{Partie A - étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soie $g$ la fonction numérique définie pour tout réel $x$ strictement positif, par :

\[g(x) = 2x^2 + 1 - \ln x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On nomme $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$.

Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ strictement positif.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$  et donner le tableau des variations de la fonction $g$ (les limites en $0$ et en $+ \infty$ ne sont pas demandées).	
		\item  Préciser la valeur exacte de $g\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et en déduire le signe de $g\left(\dfrac{1}{2}\right)$.
		\item  Donner le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - étude d'une fonction et tracé de sa courbe représentative}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie pour tout réel $x$ strictement positif, par

\[f(x) = 2x + 1 + \dfrac{\ln x}{x}.\]

On note sa courbe représentative dans le repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. Donner une interprétation graphique de ce résultat.	
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+  \infty$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
		
Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

\[f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^{2}},\]

où $g$ est la fonction définie dans la partie A.
		\item  Donner le tableau des variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item On nomme $\alpha$ l'unique solution de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide d'une calculatrice, donner la valeur approchée décimale de $\alpha$ arrondie à $10^{-2}$.
		\item  Préciser, dans un tableau, le signe de $f(x)$ pour $x$ réel strictement positif.	
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  On nomme $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = 2x + 1$ dans le repère \Oij.
		
Montrer que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote à la courbe  $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.	
		\item  La droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ se coupent au point I.
		
Déterminer les coordonnées du point I.	
		\item  étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.	
	\end{enumerate}
\item  Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$ qui est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1. 	
\item  Sur un même graphique, placer le point I, puis tracer $\mathcal{T},~\mathcal{D}$ et  $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C - Calcul d'aire}

\medskip

Soit $F$ la fonction numérique définie pour tout réel $x$ strictement positif, par :

\[F(x) = x^2 + x + \dfrac{1}{2}(\ln x)^2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item  Soit $\mathcal{S}$ la surface plane limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}$.
	\begin{enumerate}
		\item  On note $\mathcal{A}$ l'aire de la surface $\mathcal{S}$ exprimée en unités d'aires. Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$.	
		\item Donner une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près de l'aire de la surface $\mathcal{S}$ exprimée en cm$^{2}$.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   Antilles Génie des matériaux septembre 2005
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%   Métropole génie des matériaux septembre 2005
\hypertarget{Metromateriauxsep}{}

\label{Metromateriauxsep}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2005~\decofourright\\[5pt] Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres réels l'équation suivante :

\[ 2x^2 - 3x - 2 =  0.\]

\item  En déduire les solutions dans l'ensemble des nombres réels
des équations suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $2\sin x ^2 - 3\sin x - 2 = 0$.
		\item $2\text{e}^{2x} - 3 \text{ê}^x  - 2 =0.$
		\item $\ln x + \ln \left(x - \dfrac{3}{2}\right) =  0$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.	
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip
 
On désigne par I l'intervalle $\left[- \dfrac{\pi}{6}~;~\dfrac{\pi}{6}\right]$.

Soit $\Gamma$ la représentation graphique dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : $6$~cm), de la fonction $f$ définie, pour tout nombre réel de I, par :

\[ f(x) = \cos 3x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
		\item Déterminer le tableau de variations de $f$ sur I.
	 \end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le coefficient directeur de chacune des tangentes à $\Gamma$ aux points d'abscisses $- \dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{6}$.
		\item  Dans le repère \Oij, tracer les tangentes à $\Gamma$ aux points
d'abscisses $- \dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{6}$, puis tracer $\Gamma$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'aire de la partie (S) du plan comprise entre $\Gamma$
et l'axe des abscisses.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points} 

\bigskip

\textbf{A.}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel
$x$ de $ \left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$, tel, par :

\[f(x) =  \ln [h(x)] = \ln \left(\dfrac{2x - 1}{2x + 1} \right)\]

où ln désigne la fonction logarithme népérien.

Soit $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : $2$~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Étude du comportement de $f$ en $\dfrac{1}{2}.$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $h\left(\dfrac{1}{2}\right)$.	
		\item Déterminer la limite de $f$ en $\dfrac{1}{2}$.
		\item En déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote $\Delta$ dont on donnera une équation.
	 \end{enumerate}
\item étude du comportement de $f$ en $+ \infty$ :
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de la fonction $h$ en $\infty$	
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.	
		\item En déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont on donnera une équation.
	 \end{enumerate}
\item Étude des variations de $f$ :
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de $ \left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$

\[f(x) = \ln (2x - 1)  - \ln (2x + 1).\]
	
		\item En déduire la fonction dérivée $f'$ de $f$.
		\item Étudier le signe de $f'$ sur $ \left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$.	
		\item Établir le tableau de variations de $f$ sur $ \left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$.
	 \end{enumerate}	
\item Dans le repère \Oij, tracer $\Delta$, puis la courbe $\mathcal{C}$ sur
$ \left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$. On placera l'origine du repère au centre de la feuille).
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{B.}

\medskip

Soit $G$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel
$x$ de $ \left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$ par :

\[G(x) = (2x- 1) \ln (2x- 1) - (2x + 1) \ln (2x +  1).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la fonction dérivée $G'$ de $G$, pour tout nombre
réel $x$ de $ \left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$.
\item  En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$, pour tout
nombre réel $x$ de $ \left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$.
\item  Calculer, en unités d'aires, l'aire de la partie du plan limitée
par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, les droites d'équations $x = 1$ et $x = 3$.

Donner la valeur exacte de cette aire en cm$^2$, puis sa valeur
décimale arrondie au mm$^2$ près.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%   Métropole génie des matériaux septembre 2005
 \end{document} 