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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small  Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués Antilles-Guyane juin 2010~\decofourright}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{
Un patron de PME souhaite un logo pour son entreprise. Celui qu'il a choisi est rectangulaire et une ellipse est inscrite dans le rectangle. Le nom de son entreprise sera placé à l'intérieur de l'ellipse. }\hfill
\parbox{0.58\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}
(1,0)(9,3.5)
%\psgrid
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2.2,0)(9,2.7)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.6,1.35)(3.4,1.35)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](3,1.1)(3.1,1.2)(4.75,2.4)(4.9,2.4)(4.15,1.1)(3.8,1.1)(3.95,1.3)(3.6,1.3)(3.3,1.1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](4.3,1.1)(4.8,2.05)(5.2,2.05)(5,1.8)(4.85,1.8)(4.5,1.1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](5.,1.2)(5.2,1.8)(5.1,1.8)(5.15,2)(5.2,2)(5.35,2.4)(5.55,2.4)(5.45,2)(5.6,2)(5.5,1.8)(5.4,1.8)(5.25,1.3)(5.35,1.3)(5.4,1.16)(5.3,1.14)(5.2,1.12)(5.1,1.1)(5.05,1.1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](5.6,1.4)(5.7,1.3)(5.8,1.16)(6,1.1)(6.2,1.15)(6.3,1.3)(6.2,1.5)(6,1.7)(5.9,1.72)(5.8,1.75)(5.85,1.85)(5.9,1.8)(6,1.78)(6.05,1.85)(6,1.95)(5.95,2)(5.8,2.06)(5.7,2.03)(5.65,2)(5.5,1.8)(5.6,1.6)(6,1.39)(6.1,1.35)(6,1.3)(5.85,1.4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](5.9,2.4)(6.05,2.4)(6.25,1.9)(6.1,1.9)
\rput(2.8,3){zone 1}\rput(1.6,1.6){zone 2}\rput(6,3){zone 3}
\psline{->}(2.8,2.9)(3,2.4)\psline{->}(2.1,1.6)(3,1.6)\psline{->}(6,2.8)(5.4,2.4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](3.9,1.6)(4.15,1.6)(4.4,2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](8.2,1.1)(8.1,1.2)(6.45,2.4)(6.3,2.4)(7.05,1.1)(7.4,1.1)(7.25,1.3)(7.6,1.3)(7.9,1.1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](7.3,1.6)(7.05,1.6)(6.8,2)
\end{pspicture}}

\medskip

\textbf{Partie A} Coloriage du logo 

\medskip

Ce logo délimite trois zones à colorier: Le fond rectangulaire (zone 1), l'intérieur de l'ellipse (zone 2) et le nom de l'entreprise composé de lettres d'une même couleur (zone 3). Pour colorier ces trois zones, on utilise deux ou trois des couleurs suivantes : le jaune, le noir et le rouge. Deux zones voisines doivent être de couleurs différentes : la zone 1 a donc une couleur différente de la zone 2 qui, elle-même, a une couleur différente de la zone 3.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il y a douze façons de colorier le logo. 

\emph{On pourra utiliser un arbre de dénombrement}. 
\item On choisit un des douze coloriages au hasard. En supposant l'équiprobabilité dans le choix des couleurs, déterminer la probabilité des événements suivants :

\medskip

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[] A : \og Le nom de l'entreprise est en rouge \fg 
\item[] B : \og Le fond rectangulaire et le nom de l'entreprise sont de la même couleur \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\emph{On donnera tous les résultats sous forme de fractions irréductibles}.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\parbox{0.40\linewidth}{L'ellipse de sommets A, A', B et B' et de foyers F et F' est inscrite dans le rectangle CDEG. La taille des lettres et leur position sont telles que le nom de l'entreprise \og Arts' A \fg{} est entièrement contenu dans le losange BFB$'$F$'$qui a pour sommets B, B$'$ et les deux foyers F et F$'$ de l'ellipse.}\hfill
\parbox{0.57\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}
(1,-0.5)(9,3.5)
%\psgrid
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2.2,0)(9,2.7)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.6,1.35)(3.4,1.35)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](3,1.1)(3.1,1.2)(4.75,2.4)(4.9,2.4)(4.15,1.1)(3.8,1.1)(3.95,1.3)(3.6,1.3)(3.3,1.1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](4.3,1.1)(4.8,2.05)(5.2,2.05)(5,1.8)(4.85,1.8)(4.5,1.1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](5.,1.2)(5.2,1.8)(5.1,1.8)(5.15,2)(5.2,2)(5.35,2.4)(5.55,2.4)(5.45,2)(5.6,2)(5.5,1.8)(5.4,1.8)(5.25,1.3)(5.35,1.3)(5.4,1.16)(5.3,1.14)(5.2,1.12)(5.1,1.1)(5.05,1.1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](5.6,1.4)(5.7,1.3)(5.8,1.16)(6,1.1)(6.2,1.15)(6.3,1.3)(6.2,1.5)(6,1.7)(5.9,1.72)(5.8,1.75)(5.85,1.85)(5.9,1.8)(6,1.78)(6.05,1.85)(6,1.95)(5.95,2)(5.8,2.06)(5.7,2.03)(5.65,2)(5.5,1.8)(5.6,1.6)(6,1.39)(6.1,1.35)(6,1.3)(5.85,1.4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](5.9,2.4)(6.05,2.4)(6.25,1.9)(6.1,1.9)
\pspolygon[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](2.4,1.35)(5.6,2.7)(8.8,1.35)(5.6,0)%FBF'B'
\uput[u](2.4,1.35){F} \uput[u](5.6,2.7){B} \uput[u](8.8,1.35){F$'$} \uput[d](5.6,0){B$'$}
\uput[dl](2.2,0){C} \uput[l](2.2,1.35){A}\uput[ul](2.2,2.7){G}
\uput[ur](9,2.7){E}\uput[r](9,1.35){A$'$}\uput[dr](9,0){D}
\psdots[dotscale=1.25](2.4,1.35)(5.6,2.7)(8.8,1.35)(5.6,0)(2.2,0)(2.2,1.35)(2.2,2.7)(9,2.7)(9,1.35)(9,0) 
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](3.9,1.6)(4.15,1.6)(4.4,2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](8.2,1.1)(8.1,1.2)(6.45,2.4)(6.3,2.4)(7.05,1.1)(7.4,1.1)(7.25,1.3)(7.6,1.3)(7.9,1.1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](7.3,1.6)(7.05,1.6)(6.8,2)
\end{pspicture}}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'origine O, l'ellipse a pour équation cartésienne :

\[\dfrac{x^2}{169} + \dfrac{y^2}{25} = 1\] 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les dimensions du rectangle CDEG ainsi que les coordonnées des foyers F et F$'$. 
\item Calculer l'aire du losange (qui est la partie réservée à l'inscription du nom de l'entreprise) en unités d'aires.
 
\emph{On rappelle que l'aire d'un losange dont les diagonales ont pour mesures respectives $\ell$ et $L$ 
est égale à $\dfrac{\ell \times L}{2}$.} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\parbox{0.7\linewidth}{Sur l'ensemble des 4 rebords rectangulaires d'un couvercle de boîte ayant 60~cm de long, 30~cm de large et 3~cm de haut, on veut peindre une frise continue par juxtaposition d'un même motif.

\medskip
 
Les parties A et B ont pour objet la construction du motif de cette frise et la partie C porte sur le calcul de l'aire de la frise à peindre.}\hfill  
\parbox{0.28\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,4)
%\psgrid
\pspolygon(0.55,1.6)(0.65,1.1)(3,0)(3.8,0.8)(3.9,1.4)(3,0.6)
\psline(3,0)(3,0.6)
\pspolygon(3.05,0.8)(3.9,1.6)(1.6,2.3)(0.5,1.8)
\psline(0.55,1.6)(0.5,1.8)
\psline(3,0.6)(3.05,0.8)
\psline(3.9,1.4)(3.9,1.6)
\psline{<->}(0.45,2.2)(1.5,2.7)\rput{25}(0.975,2.7){30 cm}
\psline{<->}(1.52,2.7)(3.9,2)\rput{-17}(2.71,2.55){60 cm}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.75pt](0.55,1.7)(3,0.67)(3.85,1.46)
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~1] par : 

\[f(x) = 0,5x^2 - 2\text{e}^x + 3.\]
 
On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques 5~cm en abscisses et 2~cm en ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $f'(x)$. Étudier son signe et donner le tableau des variations de $f$. 
\item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
On désigne par $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~1] par : 

\[g(x) = 4x - 2\text{e}^x + 5.\]

Soit $(\Gamma)$ sa représentation graphique dans le repère orthogonal défini à la partie A.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(x)$ où $g'$, est la fonction dérivée de $g$. 
		\item Résoudre l'équation $g'(x) = 0$. 
		\item Étudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle [0~;~1] et en déduire le tableau des variations de $g$. On donnera la valeur exacte du maximum de $g$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous (arrondir au centième).
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&0	&0,2&0,4 	&0,6 	&0,8 	&1 \\ \hline
$g(x)$	&	&	&		&		&		&	 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Tracer $(\Gamma)$ dans le même repère que $(\mathcal{C})$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On admet que l'aire de la partie P$_{1}$ du plan limitée par les courbes $(\mathcal{C})$, $(\Gamma)$ et par les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ est égale à : $\displaystyle\int_{0}^1 [g(x) - f(x)]\:\text{d}x$ (en unités d'aire). 
\item Colorier P$_{1}$ sur le dessin et, en utilisant les parties A et B, donner la valeur exacte de son aire en cm$^2$ puis une valeur approchée au mm$^2$ près. 
\item Dessiner la partie P$_{2}$ du plan, symétrique de P$_{1}$ par rapport à la droite d'équation $x = 1$. Le motif de la frise est la réunion de P$_{1}$ et P$_{2}$.
 
Donner une valeur approchée en cm$^2$, arrondie à $10^{- 1}$, de l'aire de ce motif. 
\item Donner une valeur approchée en cm$^2$, arrondie au cm$^2$, de l'aire de la frise à réaliser sur le couvercle de la boîte. 
\end{enumerate}
\end{document}