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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small  Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{21 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole--La Réunion~\decofourright\\[5pt]21 juin 2010}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'origine O, on considère l'ellipse (E) d'équation : 

\[x^2 + 9y^2 = 900.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées de ses sommets A, A$'$, B, B$'$ (A et A$'$ étant les sommets situés sur le grand axe de l'ellipse). 
\item Dans le repère joint en annexe 1, les quatre points marqués. D, G, H, K sont des points de (E). Construire (E) dans ce repère. 
\item Tracer dans ce repère la droite d'équation $y = 9$. Elle coupe l'ellipse (E) en deux points C et C$'$. 
	\begin{enumerate}
		\item Lire les abscisses de ces points, avec la précision permise par le dessin. 
		\item Résoudre l'équation : $x^2 + 9^3 = 900$.
		 
En déduire les valeurs exactes des abscisses des points C et C$'$.
	\end{enumerate} 
\item Tracer la droite d'équation $x = 8$. Elle coupe l'ellipse (E) en deux points J et J$'$. 
	\begin{enumerate}
		\item Lire les ordonnées de ces points, avec la précision permise par le dessin. 
		\item Résoudre l'équation : $8^2 +9y^2 = 900$.
		 
En déduire les valeurs exactes des ordonnées des points J et J$'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
L'ellipse (E) définie dans la partie A est la réunion de deux demi-ellipses. La demi-ellipse située au dessus de l'axe des abscisses représente une arche de pont au dessus d'une rivière (unité graphique du repère de l'annexe 1 : 1 carreau pour 1~m). Le segment [AA$'$] représente la surface de l'eau.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner en mètres, la largeur AA$'$ de la rivière et la hauteur OB sous le pont. 
\item Une péniche de section rectangulaire, de largeur $L$ et de hauteur $h$ doit passer sous cette arche. (Voir schéma ci-dessous). 
	\begin{enumerate}
		\item Si la péniche fait 9~m de haut. quelle peut être sa largeur maximale à 0,1~m près ? 
		\item Si la péniche fait 16~m de large. quelle peut être sa hauteur maximale à 0,1~m près ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.15cm,yunit=0.15cm}
\begin{pspicture}(-35,-17)(35,17)
\psaxes[Dx=50,Dy=50]{->}(0,0)(-35,-17)(35,17)
\psplot{0}{30}{100 x dup mul 9 div sub sqrt} 
\psplot{-30}{0}{100 x dup mul 9 div sub sqrt}
\psplot[linestyle=dashed]{0}{30}{100 x dup mul 9 div sub sqrt neg} 
\psplot[linestyle=dashed]{-30}{0}{100 x dup mul 9 div sub sqrt neg}
\uput[d](35,0){$x$} \uput[l](0,12){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psframe(-8,0)(8,8.5)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(-8,-4)(0,-4) \psline[linewidth=1pt]{<->}(0,-4)(8,-4)\uput[d](4,-4){$\frac{L}{2}$}\uput[d](-4,-4){$\frac{L}{2}$}
 \uput[u](-20,8){(E)}\uput[ur](30,0){A} \uput[ul](-30,0){A$'$}
\psline[linewidth=1pt]{<->}(-10,0)(-10,8.5)\uput[l](-10,4.25){$h$}
\psline[linewidth=1pt](-35,0)(-35,15)(35,15)(35,0)
\rput(0,4.25){péniche }
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = 1 + \ln (x + 2).\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$ ; étudier son signe et en déduire les variations de $f$. 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. 
\item Recopier et compléter le tableau suivant puis tracer la courbe $(\mathcal{C})$ représentant la fonction $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 2~cm. Les valeurs de $f(x)$ seront arrondies au dixième.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$		&0	&1	&2	&3	&4	&5\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[g(x) = (x + 2) \ln (x + 2).\]

 Vérifier que $g$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
\item Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine plan délimité par $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 5$.
 
En déduire une valeur approchée de cette aire en cm$^2$ à 1 mm$^2$ près. 
\item Ce domaine représente à l'échelle $\dfrac{1}{40}$ l'un des deux battants d'un portail.
  
Quelle est l'aire totale de ce portail en m$^2$ à 1 cm$^2$ près ? 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{landscape}

\begin{center}

\textbf{Annexe à l'exercice 1}

\vspace{1.5cm}
\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-35,-12)(35,13)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-35,-12)(35,13)
\uput[d](35,0){$x$} \uput[l](0,13){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](10,9.4281)(15,8.6603)(20,7.4536)(25,5.5277)
\uput[dl](10,9.4281){D} \uput[dl](15,8.6603){G} \uput[dl](20,7.4536){H} \uput[dl](25,5.5277){K} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}