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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small  Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole~\decofourright\\[5pt]septembre 2009}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

Indiquer si chacune des propositions P1, P2, P3 et P4 suivantes est vraie ou fausse.

\textbf{Justifiez vos réponses.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On considère un jeu de cartes classique de 32 cartes.

On tire au hasard une carte de ce jeu.
 
On considère les évènements suivants :
 
$C$ : \og la carte tirée est un c{\oe}ur \fg{}

$R$ : \og la carte tirée est un roi \fg{}
 
$C \cup R$ : \og la carte tirée est un c{\oe}ur ou un roi \fg.

Pour tout évènement $X$, on note $p(X)$ sa probabilité.
 
(P1) La probabilité de l'évènement $C \cup R$ est :
 
$p(C \cup R) = p(C) + p(R) = \dfrac{8}{32}+\dfrac{4}{32} = \dfrac{12}{32}$  c'est-à-dire $p(C \cup R) = \dfrac{3}{8}$. 

\medskip

\item  Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.
 
On considère la conique d'équation cartésienne : $x^2 + 4 y^2 = 16$.
 
(P2) Cette conique est une ellipse dont les foyers sont F$\left(2\sqrt{3}~;~ 0\right)$ et F$'\left(-2\sqrt{3}~;~0\right)$. 
\item  On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $] 0~;~ + \infty[$ par: $F(x) = 5 - x + x \ln (x)$.
 
(P3) 	$F$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln (x)$. 
\item  On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = x^2 - 2 x + 2$.
 
Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm est donnée ci-dessous. 

(P4) L'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$ est égale à $\dfrac{8}{3}$ en cm$^2$.  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On a tracé ci-dessous, dans un même repère orthonormal d'origine O, les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par : 

\[f(x) = x - \text{e}^x \quad  \text{et} \quad  g(x) = (1 - x)\text{e}^x\]

ainsi qu'une droite $D$ passant par l'origine O.
 
\medskip
\begin{figure}
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-5.5,-5)(4.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray](0,0)(-5.5,-5)(4.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5.5,-5)(4.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](4.25,0){$x$} \uput[l](0,3.25){$y$}\uput[dr](3,3){$D$}
\uput[ur](0.5,-1.2){\textcolor{blue}{$\mathcal{C}_{1}$}}\uput[dr](1.4,-1.5){\textcolor{red}{$\mathcal{C}_{2}$}}
\psplot{-5}{3.5}{x}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.8}{1.95}{x 2.71828 x exp sub}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-5.5}{1.85}{2.71828 x exp 1 x sub mul}
\end{pspicture*}
\end{center} 
\end{figure}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Attribuer à chaque fonction sa courbe représentative, en justifiant la réponse. 
\item  Calculer la limite de $f(x) - x$ quand $x$ tend vers $- \infty$.
 
En déduire alors que la courbe représentative de la fonction $f$ admet une asymptote oblique et en donner une équation.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude de la fonction \boldmath $g$\unboldmath.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer les limites de la fonction $g$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. 
\item  Déterminer la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ puis établir le tableau de variations de la fonction $g$. 
\item  Indiquer si la fonction $g$ admet des extremums sur $\R$. 
\end{enumerate}

\bigskip 
 
\textbf{Partie C : Intersection des courbes représentatives de \boldmath $f$\unboldmath et \boldmath $g$\unboldmath}

\medskip
 
On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par : $h(x) = f(x) - g(x)$.
 
\begin{enumerate}
\item  Vérifier que pour tout réel $x  : h'(x) = 1 - g(x)$ où $h'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $h$. 
\item  En utilisant l'étude de la fonction $g$, déterminer pour tout $x$ réel le signe de $h'(x)$. Donner alors le tableau de variations de la fonction $h$. 

Les limites de la fonction $h$ en $+ \infty$ et $- \infty$ ne sont pas demandées. 
\item  Justifier que l'équation $h (x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $]1~;~2[$.

À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. 
\item  Déduire de la question précédente que les deux courbes admettent un unique point d'intersection sur l'intervalle $]1~;~2[$. 
\end{enumerate}
\end{document}