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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie civil Métropole juin 1999~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

i désigne le nombre complexe du module 1 dont $\frac{\pi}{2}$ est l'un des arguments.

\begin{enumerate}
\item On considère le nombre complexe $z_1 =-\sqrt{3} + \text{i}$.

Calculer le module de $z_1$, et un argument de $z_1$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes
l'équation suivante : 

\[z^2 - 2\sqrt{2} z + 4 = 0.\]

		\item Écrire les solutions de l'équation sous forme trigonométrique.
	\end{enumerate}

\item Le plan est muni d'un repère orthonormal direct
\Ouv{} d'unité graphique $1$ cm. On considère les nombres complexes
$z_2 = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}$ et $z_3 = \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}$

On note $M_1$ , $M_2$ et $M_3$ les points d'affixes respectives $z_1$, $z_2$ et $z_3$
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points $M_1$, $M_2$ et $M_3$ appartiennent au cercle de centre O et de rayon $2$.
		\item Placer les points $M_1$, $M_2$ et $M_3$ dans le plan.

(Faire le dessin \textbf{sur la copie} et non sur du papier millimétré.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
\begin{enumerate}
  \item Une    agence de publicité veut tester l'efficacité d'une campagne
d'affichage d'un nouveau produit $A$ et pour cela réalise une étude
auprès de 1000 personnes. Les résultats sont les suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 650    personnes ont vu une affiche ;
\item 300 personnes ont acheté le produit    $A$ ;
\item 100 ont acheté le produit sans avoir vu d'affiche.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

  \item Recopier et compléter le tableau suivant :
  
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Nombre de personnes qui}  &  \textbf{ont acheté $A$} &
\textbf{n'ont pas acheté $A$} & \textbf{Total}  \\ \hline
     ont vu une affiche     &               &                    & $650$  \\
\hline
     n'ont pas vu d'affiche &     $100$     &                    &        \\
\hline
           Total            &     $300$     &                    & $1000$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Une personne est choisie au hasard parmi les 1000 personnes. Toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :

$E_1$ : \og la personne choisie a acheté le produit $A$ \fg ;

$E_2$ : \og la personne choisie a    vu une affiche \fg.
		\item Définir par une phrase l'évènement $E_1 \bigcap E_2$.

Déterminer la probabilité de l'évènement $E_1 \bigcap E_2$.
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement $E_1 \bigcup E_2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 10 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le but du problème est d'étudier la position relative de deux courbes et de calculer l'aire du domaine plan compris entre ces dernières.

Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques $5$ cm sur l'axe des abscisses et  $2$ cm sur l'axe des ordonnées.

Sur la feuille réponse ci-jointe (cf. en dernière page), ont été tracées les courbes représentatives $C$
et $\Gamma$ respectivement des deux fonctions $f$ et $g$, définies pour tout
    réel $x$ de l'intervalle $]0~;~3]$, par : 
\[f(x) = x- \ln x \quad \text{et}\quad g(x) = x -(\ln x)^2.\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

{ \large {\textbf{Partie 1 : Étude des fonctions $f$ et
$g$.}}}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en justifiant vos calculs, la limite de $f$ en $0$. Que peut-on en déduire pour la courbe $C$ ?
		\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0~,~3]$. Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur $]0~,~ 3]$.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $g'$ la fonction dérivée de $g$ sur $]0~;~3]$. Calculer $g'(x)$.
		
En admettant que $(x - 2\ln x)$ est positif sur $]0~;~3]$, en déduire que
 $g$ est strictement  croissante sur $]0~;~3]$.
\item Désigner sur la feuille-réponse (cf. dernière page), la courbe $C$ et la courbe $\Gamma$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

{ \large {\textbf{Partie 2 : Position relative des deux
courbes.}}}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre sur $]0~;~3]$, l'équation $g (x) = f(x)$.
		\item En déduire les coordonnées des points d'intersection $M$ et $N$ des courbes $C$ et $\Gamma$. Placer $M$ et $N$ sur la feuille-réponse.
	\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre sur $]0~;~3]$, l'inéquation $g (x) \geqslant f(x)$.
		\item En déduire la position relative des courbes $C$ et $\Gamma$ sur l'intervalle $[1~;~\text{e}]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

{ \large {\textbf{Partie 3 : Calcul d'une aire.}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $D$ l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan tels que :
 
\[(1\leqslant x \leqslant
\text{e})\quad   \text{et} \quad   (f(x)\leqslant y \leqslant g(x)).\]

et par $A$ son aire exprimée en $\rm{cm}^2$.

 On admet que, en unités d'aire, on a : $A = \displaystyle\int_1^{\text{e}}(g(x) - f(x)\:\text{d}x$
\item Hachurer $D$ sur la    feuille-réponse.
\item Soit la fonction $H$ définie sur $[1~;~\text{e}]$ par :
$H(x)  = - x(\ln x)^2 + 3x\ln x - 3x$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la fonction $H$ est une primitive de la fonction $g -f$ sur $[1~,~\text{e}]$.
		\item Calculer, en unités  d'aire, la valeur exacte de $A$.
		\item En donner une valeur approchée  au mm$^2$ près par excès.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Feuille réponse à rendre impérativement avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(3.5,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-1)(3.5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0.052}{3}{x x ln sub }
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0.316}{3}{x x ln dup mul sub }
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}