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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil Antilles--Guyane~\decofourright\\[5pt]juin 2010}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.

\end{center}
  
\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\C$ les équations d'inconnue $z$ suivantes:
	\begin{enumerate}
		\item  $z^2 = - 1$ ; 
		\item  $z^2 - 4z  + 13 = 0$ ;
		\item  $z - 3\text{i} = - 2\text{i}z + 4$.
	\end{enumerate}
	 
\item Soient A, B et C les points d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = \text{i},~ z_{\text{B}} = 2  + 3\text{i} \quad \text{et}~~z_{\text{C}} = \dfrac{4 + 3\text{i}}{1 + 2\text{i}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A et B dans le repère \Ouv. 
		\item Calculer la distance AB.
		\item Montrer que $z_{\text{C}} = 2 - \text{i}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le module et un argument de $z_{\text{C}} - z_{\text{A}}$.
		\item En déduire l'écriture exponentielle de $z_{\text{C}} - z_{\text{A}}$.
		\item Déterminer géométriquement l'ensemble $E$ des points $M$ d'affixe $z$ du plan qui vérifient $\left|z - z_{\text{A}}\right| = 2\sqrt{2}$. 
		\item Justifier que les points B et C appartiennent à l'ensemble $E$ puis tracer cet ensemble dans le plan.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
 
Un concessionnaire propose à ses clients, au moment d'acheter un véhicule neuf, d'équiper celui-ci avec des options :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  La peinture métallique (option A) pour un coût de 500~euros 
\item  La climatisation (option B) pour un coût de \np{1000}~euros 
\item  Un système GPS embarqué (option C) pour un coût de \np{1500}~ euros
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Le client est libre de choisir zéro, une ou plusieurs options parmi les trois proposées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de combinaisons d'options qu'il est possible de faire. 
\item N'ayant aucune information sur le choix des clients, le concessionnaire suppose les combinaisons d'options équiprobables. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'un client équipe son véhicule en choisissant au moins une option.
		\item Calculer la probabilité qu'un client équipe son véhicule en choisissant au moins l'option B.
 	\end{enumerate} 
\item On note $X$ la variable aléatoire associée au coût total (en euros) des options que peut choisir un client qui achète un véhicule chez ce concessionnaire. 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier puis compléter le tableau suivant :
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$k$			&0	&500&\np{1000}	&\np{1500}	&\np{2000}	&\np{2500}	&\np{3000}\\ \hline
$p(X = k)$	&	&	&			&			&			&			&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

		\item Calculer la probabilité qu'un client achète pour plus de \np{1500}~euros d'options. 
		\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$, qui représente le co\^ut moyen (en euros) d'une combinaison d'options pour un véhicule.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Le concessionnaire propose la promotion : \og l'option C au prix de l'option B \fg.
 
Calculer le pourcentage de baisse de son chiffre d'affaire moyen sur la vente des combinaisons d'options pour un véhicule.
 
(Comme à la question 2., on supposera les combinaisons d'options équiprobables.) 
\end{enumerate}
 
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm.
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}+ 2x.\] 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par 

\[h(x) = 1 - \ln x + 2x^2.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item On note $h'$ la fonction dérivée de $h$.
		 
Montrer que $h'(x) = \dfrac{4x^2 -1}{x}$ puis déterminer le signe de $h'(x)$ pour $x$ dans $]0~;~+\infty[$. 
		\item Calculer $h\left(\dfrac{1}{2}\right)$ puis dresser le tableau de variations de $h$.
		 
On ne déterminera pas les limites de $h$ aux bornes de son ensemble de définition. 
		\item En déduire le signe de $h(x)$ pour $x$ dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0}{x > 0}} f(x)$. Que peut-on en déduire graphiquement ? 
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
		\item Montrer que pour tout $x > 0,~ f'(x) = \dfrac{h(x)}{x^2}$ puis dresser le tableau de variations de $f$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$.
 	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1. 
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$, et les droites $\mathcal{T}$ et $\Delta$ dans le repère \Oij. 
\item Soit $G$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $G(x) = \dfrac{1}{2}(\ln x)^2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{\ln x}{x}$. 
		\item Hachurer la partie du plan délimitée par les droites d'équation $x= 1,$
		
$x = \text{e}$, la courbe $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses. 
		\item Calculer, en cm$^2$, la valeur exacte de l'aire de cette partie hachurée. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}