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%Sujet aimablement fourni par l'académie de la Martinique
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{13 septembre 2012}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}


{\Large \textbf{ Baccalauréat STI Antilles-Guyane 13 septembre 2012\\[4pt]
Génie mécanique (options A et F),
Génie civil, Génie énergétique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

Dans tout le sujet, on désigne par $\R$ l'ensemble des nombres réels.

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On donne $P(z) = z^3 - 6z^2 + 18z - 27$ où $z$ est un nombre complexe. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(3)$.
		 
Déterminer les nombres réels $a, b$ et $c$ tels que pour tout nombre complexe $z,\: P(z) = (z - 3)\left(az^2 + bz + c\right)$. 
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $z^2 - 3z + 9 = 0$ puis en déduire les solutions de $P(z) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item On considère les points A, B et F d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = 3 ,\quad  z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} \quad \text{et}\quad  z_{\text{F}} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la forme trigonométrique des nombres complexes $z_{\text{A}},\:z_{\text{B}}$  et $z_{\text{F}}$. 
		\item Justifier que les points A, B et F sont sur un même cercle de centre O dont on précisera le rayon. 
		\item Placer les points A, B et F dans le repère \Ouv. 
		\item Calculer les distances AB et AF ; quelle est la nature du quadrilatère OBAF ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip

On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-2\pi~;~2\pi]$ par 

\[f(x) = 2 \sin \left( 2x - \dfrac{\pi}{6}\right).\] 

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-4)(2.5,4)
\multido{\n=-4+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-6.28319,\n)(6.28319,\n)}
\multido{\r=-6.28319+1.570796}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\r,-4)(\r,4)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,trigLabels,xunit=3.14159265]{->}(0,0)(-2.5,-4)(2.5,4)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-6.282}{6.282}{x 2 mul RadtoDeg  30  sub  sin 2 mul}
\end{pspicture}
\end{center}
%
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, donner le nombre de solutions de l'équation 
		
$f(x) = 2$ dans l'intervalle $[-2\pi~;~2\pi]$.
 
		\item Résoudre l'équation $f(x) = 2$ sur l'intervalle $[0~;~\pi]$.
		
	\end{enumerate} 
\item On note $(E)$ l'équation différentielle $y^{\prime\prime} + 4y = 0$, où $y$ est une fonction définie et deux fois dérivable sur $\R$, et $y^{\prime\prime}$ sa fonction dérivée seconde. 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $(E)$. 
		\item Déterminer la solution particulière $g$ de $(E)$ qui vérifie $g(0) = - 1$ et $g^{\prime}(0) = 2\sqrt{3}$ où $g^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de $g$. 
		\item Comparer $f(x)$ et $g(x)$ pour $x \in  [-2\pi~;~2\pi]$.
		 
\emph{On rappelle que pour tous réels $a$ et $b$, on a : $\sin (a - b) = \sin a \cos b - \sin b \cos a$.}

\medskip
 
\emph{Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera en prise en compte dans la notation.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}
 
\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{6\text{e}^x}{\text{e}^x + 5}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm.

\medskip
 
\textbf{PARTIE A : Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath }

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que pour tout réel $x$ on a $f^{\prime}(x) = \dfrac{30\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 5 \right)^2}$  puis 
étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ pour $x$ dans $\R$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout réel $x$ on a : $f(x) = \dfrac{6}{1 + 5\text{e}^{- x}}$.  
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$ et en déduire l'existence de deux asymptotes $\Delta_{1}$ et $\Delta_{2}$ à la courbe $\mathcal{C}$. On précisera une équation de chacune de ces asymptotes.
	\end{enumerate} 
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$. 
\item Montrer que l'équation réduite de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ de $f$ au point d'abscisse $0$  est $y = \dfrac{5}{6}x + 1$. 
\item Dans le repère, tracer la courbe $\mathcal{C}$, ainsi que les droites $\mathcal{T},\:\Delta_{1}$ et $\Delta_{2}$ sur une feuille de papier millimétré.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B : Résolution d'une équation}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que l'équation $f(x) = 4$ admet une solution unique $x_{0}$ sur l'intervalle [1~;~5]. 
\item Graphiquement, donner un encadrement de $x_{0}$ à l'unité près, et placer $x_{0}$ sur le graphique. 
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la valeur décimale arrondie au centième de $x_{0}$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE C : Un calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $G$ définie sur $\R$ par 
		
		\[G(x) = \ln \left(\text{e}^x + 5\right)\]
		
est une primitive de la  fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 5}$. 
		\item En déduire une primitive $H$ de la fonction $h$ définie sur $\R$ par 
		
$h(x) = \dfrac{6\text{e}^x}{\text{e}^x + 5} - \left(\dfrac{5}{6}x + 1\right)$.  	 
		\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer sur le graphique, le domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$, la tangente $\mathcal{T}$ ainsi que les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$. 
		\item On admet que la fonction $h$ est positive sur l'intervalle [0~;~2]. 

Montrer que la valeur exacte, en unités d'aire, de l'aire $\mathcal{A}$ de ce domaine 
est $\mathcal{A} = 6\ln \left(\dfrac{\text{e}^2 + 5}{6} \right) - \dfrac{11}{3}$· 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}