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%Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil 21 juin 2012~\decofourright\\[4pt]Métropole }}
\end{center}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

\parbox{0.79\linewidth}{On considère le puzzle représenté ci-contre. Il est constitué de 3 pièces :
le triangle AEF et les quadrilatères AEBO et AFCO, découpés dans le triangle OBC.
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm, fourni en annexe 1. On note i le nombre complexe 
 de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$}\hfill
\parbox{0.18\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1.5)(3,1.5)
\psdots(0,0)(1,0)(2.2,-1.3)(2.2,1.3)(2.2,-0.65)(2.2,0.65)
\psline(0,0)(2.2,-1.3)(2.2,1.3)(0,0)(1,0)
\pspolygon(1,0)(2.2,-0.65)(2.2,0.65)
\uput[u](0,0){O} \uput[u](1,0){A} \uput[r](2.2,1.3){B} 
\uput[r](2.2,-1.3){C} \uput[r](2.2,0.65){E} \uput[r](2.2,-0.65){F} 
\end{pspicture}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue complexe z : 

\[z^2 - 8z\sqrt{3} + 64 = 0.\]
 
\item On considère les points B et C d'affixes respectives $z_{\text{B}} = 4\sqrt{3} + 4\text{i}$ et $z_{\text{C}} = 4\sqrt{3} - \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $z_{\text{B}} = 8\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$. 
		\item En déduire une écriture exponentielle du nombre complexe $z_{\text{C}}$. 
		\item Placer précisément les points B et C dans le repère défini précédemment.
		\item Démontrer que le triangle OBC est équilatéral.
	\end{enumerate} 
\item Le point A a pour coordonnées (3~;~0). Le point D a pour coordonnées $\left(4\sqrt{3}~;~0\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire les affixes des points $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{D}}$ des points A et D. 
		\item Calculer les affixes du point E milieu du segment [BD] et du point F milieu du segment [CD]. 
		\item Placer les points A, D, E et F dans le repère figurant en annexe 1. 
		\item Calculer l'aire exacte, en cm$^2$, du triangle AEF.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même si elle est incomplète, toute prise d'initiative, même si elle n'aboutit pas, sera prise en compte.}
 
Quelles sont les valeurs exactes, en cm$^2$, des aires des deux autres pièces du puzzle ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Un puzzle est constitué de trois pièces: un triangle et deux quadrilatères. 

Un forain propose le jeu suivant utilisant six boîtes :
 
Trois boîtes parmi les six contiennent une et une seule pièce de ce puzzle, les autres restant vides. 

Une partie consiste :
\begin{itemize}
\item à placer les six boîtes au hasard sur un plateau; 
\item à demander au joueur de choisir une boîte parmi les six.
\end{itemize}
 
Le jeu nécessite une mise de 2 euros. Il consiste à ouvrir une boîte au hasard parmi les six. 
\begin{itemize}
\item Si le joueur trouve la pièce triangulaire on lui remet 5 euros: son gain relatif est alors de 3 
euros. 
\item Si le joueur trouve une autre pièce on lui remet 3 euros. 
\item Si la boîte est vide on ne lui remet rien.
\end{itemize}
 
\begin{enumerate}
\item On considère la variable aléatoire $X$ qui prend comme valeurs les gains relatifs du jeu précédent, c'est-à-dire la somme reçue (éventuellement nulle) moins la mise de 2~euros. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ? 
		\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
1 
		\item Montrer que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est $- \dfrac{1}{6}$. Interpréter le résultat obtenu. 
		\item Le forain paie 45~euros par jour pour la location de son emplacement. Trouver le nombre minimum de parties qu'il doit organiser chaque jour en moyenne pour espérer ne pas perdre d'argent.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même si elle est incomplète, toute prise d'initiative, même si elle n'aboutit pas, sera prise en compte.}
 
Un joueur prétend qu'il peut modéliser ce jeu à l'aide d'un dé cubique équilibré. Proposer un modèle correspondant à son affirmation. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Vérifier que la fonction $g$ définie, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~3], par 

\[g(x) = 2\text{e}^{- 0,1x}\]
 
est solution de l'équation différentielle $y^{\prime} + 0,1y = 0$ où $y$ désigne une fonction inconnue de la variable réelle $x$, dérivable sur [0~;~3].
 
On a tracé $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le repère \Oij{} orthonormal d'unité graphique 2~cm donné en annexe (2). 

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie, pour tout nombre $x$ réel de l'intervalle $[-2~;~0]$, par 

\[f(x) = 2 \ln (\text{e} + x),\]
 
où e est le nombre réel tel que $ln(\text{e}) = 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer, en détaillant les calculs, que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-2~;~0]$, la dérivée $f^{\prime}$ de la fonction $f$ est définie par 

\[f^{\prime}(x) = \dfrac{2}{\text{e} + x}.\]
 
		\item Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~0]$.
	\end{enumerate} 
\item Établir, par la méthode de votre choix, que le nombre réel $1 - \text{e}$ est l'unique solution de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $[-2~;~0]$. 
\item Dans le repère \Oij, on a placé le point A$(- \text{e}~;~0)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe représentative de la fonction $f$ en B, son point d'abscisse $0$. 
		\item Vérifier que le point A appartient à $\mathcal{T}$. 
		\item Tracer précisément $\mathcal{T}$. 
		\item On appelle $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1 - \text{e}~;~0]$ dans le repère \Oij{} orthonormal d'unité graphique 2~cm donné en annexe 2. Tracer la courbe $\mathcal{C}_{f}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
Hachurer la partie $P$ du plan limitée par la réunion des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = 3$.
 
Représenter sur votre copie l'allure du solide $S$ engendré par la rotation de la partie hachurée $P$ autour de l'axe des abscisses. 

\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip
 
On rappelle que le volume $V$ du solide engendré par la rotation autour de l'axe (O$x$) de la partie du plan limitée par la courbe représentative d'une fonction $h$, l'axe (O$x$) et les droites d'équations $x = a$ et $x = b\: (a < b)$ est 

\[V = \pi \int_{a}^b (h(x))^2\:\text{d}x\quad  \text{unités de volume.}\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit: 

\[I = \int_{1 -\text{e}}^0 (f(x))^2\:\text{d}x.\]

On admet que $I = 4\text{e} - 8$. Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $I$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la fonction $H$ définie, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~3], par 

\[H : x \longmapsto  H(x) = - 20\text{e}^{-0,2x}\]
 
est une primitive de la fonction qui à tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~3J associe $(g(x))^2$. 
		\item On note 

\[J = \int_{0}^3 (g(x))^2\:\text{d}x.\]

Montrer que $J = 20 \left(1 - \text{e}^{-0,6}\right)$.
 
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $J$.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Cette question est à choix multiples (QCM). Une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ 
Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point. Indiquer sur la copie la réponse choisie.}
 
Dans le tableau ci-dessous, parmi les quatre réponses proposées pour le volume en cm$^3$ du solide $S$, une seule est valable, laquelle ? Expliquer votre choix. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A & Réponse B & Réponse C & Réponse D\\ \hline\hline
12 &285 &299 &37\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\end{enumerate}

\newpage
{\large\textbf{Annexe 1}}

\vspace{3cm}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-6.5)(9,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-3,-6.5)(9,7)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-6.5)(9,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[d](8.8,0){$x$}\uput[l](0,6.8){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center} 

\newpage
{\large\textbf{Annexe 2}} 
\vspace{3cm}
\begin{center}
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-2.5)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt,gridcolor=orange](-3,-2.5)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-2.5)(4,4)
\psdots(-2.71828,0)\uput[u](-2.71828,0){A}
\psline(0,2)(3,1.5)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}