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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat  STI Génie mécanique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2000}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole juin 2000~\decofourright\\[4pt]Génie mécanique, civil, Génie énergétique} \end{center}
    
\vspace{0,5cm}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item i est le complexe de module 1 et d'argument 
$\dfrac{\pi}{2}$.

On considère les nombres complexes suivants :

\[a = \sqrt{3} + \text{i} \qquad  b = \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}.\]

Déterminer le module et un argument de $a,~ b$ et 
$\dfrac{a}{b}$.
\item Soit $z = \cos \dfrac{5\pi}{12} + \text{i} \sin \dfrac{5\pi}{12}$. Le plan complexe 
est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} avec $4$~cm comme unité graphique. On considère les points $M_{1},~ M_{2},~ M_{3},~ M_{4}$ d'affixes respectives $z,~z^2,~z^3,~z^4$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer le module et un argument de $z,~z^2,~z^3,~z^4$.
		\item En laissant vos traits de construction sur la copie, placer les points $M_{1},~ M_{2},~ M_{3}$ et  $M_{4}$ dans le plan complexe.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Un professeur organise un tournoi de football entre des équipes d'élèves de seconde et des équipes d'élèves de première. Voici les résultats des huit matchs joués le premier jour du tournoi.

\begin{center}
\begin{tabular}{| *{3}{c |}}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c |}{} & équipe de seconde &équipe de première \\ \hline
1\up{er} match 	&2 buts	&1 but \\ \hline
2\up{e} match	&2 buts	&0 but\\ \hline
3\up{e} match	&3 buts	&3 buts\\ \hline
4\up{e} match	&1 but	&3 buts\\ \hline
5\up{e} match	&0 but	&1 but\\ \hline
6\up{e} match	&0 but	&0 but\\ \hline
7\up{e} match	&1 but	&4 buts\\ \hline
8\up{e} match	&3 buts	&2 buts\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
On choisit un match au hasard parmi les huit matchs du premier jour du tournoi ; tous les matchs ont la même probabilité d'être choisis

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la probabilité $p_{1}$ qu'aucun but n'ait été marqué au cours de ce match est égale à $\dfrac{1}{8}$.
		\item Quelle est la probabilité $p_{2}$ que le match soit nul (c'est-à-dire que chaque équipe ait marqué le même nombre de buts) ?
	\end{enumerate}
\item Pour chaque match, on calcule la différence entre les nombres de buts marqués par  les deux équipes, de façon à trouver un nombre positif ou nul. On définit ainsi une variable aléatoire $X$. Par exemple, pour le $5^{\text{e}}$ match, la valeur de $X$ est égale à 1 et pour le $8^{\text{e}}$ match, elle est aussi égale à 1.
	\begin{enumerate} 
		\item Donner les quatre valeurs possibles de $X$.
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}
 
\medskip
 
Dans tout le problème, le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère 
orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm.

 Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{x + 2 + \ln x}{x}.\]

La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans le repère \Oij est tracée à la dernière page (à compléter au fur et à mesure et à rendre avec la copie).

\bigskip

\textbf{Partie I - étude de la fonction}\boldmath  $f$ 
\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate} 
\item D'après le graphique, il semble que l'axe des ordonnées soit asymptote à la courbe  $\mathcal{C}$.

Le prouver par le calcul.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que pour tout $x$ de $]0~;~+ 
\infty[,\:f(x) = 1  + \dfrac{2}{x} + \dfrac{\ln x}{x}$.
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item En déduire l'existence d'une asymptote D à la courbe $\mathcal{C}$. Donner son équation et la tracer sur la dernière page.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Prouver que, pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[,\:f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$.
		\item Montrer que $f'(x)$ s'annule en changeant de signe en e$^{-1}$.
		\item Établir le tableau de variations de $f$. Dans ce tableau, on donnera la valeur exacte du maximum de $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie II - Position relative de deux courbes}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ 
par $g(x) = \dfrac{x + 2}{x}$ et $\mathcal{H}$ la courbe représentative de $g$  dans le repère \Oij.

	\begin{enumerate} 
		\item Étudier rapidement la fonction $g$ sur $]0~;~ + \infty[$ (dérivée,  limites, tableau de variations).
		\item Donner les équations des deux asymptotes de la courbe 
$\mathcal{H}$.
	\end{enumerate}
\item	
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f (x) - g(x)$ et étudier son signe.
		\item Montrer que les deux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{H}$ se coupent en un point K d'abscisse 1.
		\item Étudier la position relative des deux courbes $\mathcal{C}$ 
et $\mathcal{H}$.
	\end{enumerate}
\item Placer le point K et construire la courbe $\mathcal{H}$ sur la dernière page.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie III - Calcul d'une aire}
 
\medskip
 
Soit $\alpha$ un réel tel que $\alpha > 1$.

On note $\mathcal{A}(\alpha)$ l'aire du domaine limité par les courbes $\mathcal{C}$  et $\mathcal{H}$ et par les droites d'équation $x = 1$ et $x = \alpha$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $u$ la fonction définie sur $] 0~;~+ \infty[$ 
par $u'(x) = \dfrac{1}{2} (\ln x)^2$. Vérifier que $u$ est une
primitive de $\dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0~;~ + \infty[$.
\item Calculer $\mathcal{A}(\alpha)$ en cm$^2$.
\item En remarquant que $\ln \alpha$ est strictement positif, 
calculer $\alpha$ pour que $\mathcal{A}(\alpha) = 8$ cm$^2$. Hachurer
l'aire correspondante sur le graphique (dernière page) à rendre avec la copie.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{Document à rendre avec la copie}  \end{center}

\psset{unit=1.5cm}
\rput[b]{90}(8,-7){ \begin{pspicture}(0,-1)(11,6)
\psgrid[gridlabels=0](0,0)(0,-1)(11,6) \uput[dl](0,0){O}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-1)(11,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,plotstyle=curve,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.109}{11}{ x 2 add x ln add x div}
\rput(5,7){Courbe représentative de la fonction $f$}
\end{pspicture}}
\end{document}