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\begin{document}
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\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{17 juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie mécanique, civil Métropole \decofourright\\[5pt]17 juin 2008}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.

\end{center}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

On considère les nombres complexes

\[ z_{\text{A}} = 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}},~~z_{\text{B}} = 4\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}\quad 	\text{et}\quad  z_{\text{C}} = 	- 2 + 2\text{i}.\]

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal.

\emph{Les parties I et II sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie I : Q. C. M.}

Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou D est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

\textbf{On ne demande aucune justification}

\textbf{NOTATION :} \emph{chaque réponse juste rapporte $0,5$ point ; une réponse fausse enlève $0,25$ point.}

\emph{Une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
 
\emph{Si le total des points est négatif, il est ramené à $0$.}

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item  Le nombre complexe $Z_{1} =  z_{\text{A}}z_{\text{B}}$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}\textbf{Réponse A :} un nombre réel positif&	\textbf{Réponse B :} un nombre réel négatif\\
\textbf{Réponse C :} un nombre imaginaire pur&	\textbf{Réponse D :} l'affixe d'un point du plan complexe pris hors des axes\\
\end{tabularx}
\item  Le nombre complexe $Z_{2} = z_{\text{A}}^6$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}\textbf{Réponse A :} un nombre réel positif&\textbf{Réponse B :} un nombre réel négatif\\\textbf{Réponse C :} un nombre imaginaire pur&\textbf{Réponse D :}	l'affixe d'un point du plan complexe pris hors des axes\\
\end{tabularx}\item   Le nombre complexe conjugué de $z_{\text{A}}$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}\textbf{Réponse A :}~~$- 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$&\textbf{Réponse B :}~~$4\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{6}}$\\\textbf{Réponse C :}~~$4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$&\textbf{Réponse D :}~~$\dfrac{1}{4}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$\\
\end{tabularx}
\item Le nombre complexe $z_{\text{C}}$ peut se mettre sous la forme :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}\textbf{Réponse A :}~~ $2\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$&\textbf{Réponse B :}~~ $2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$\\
\textbf{Réponse C :}~~$2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{4}}$&\textbf{Réponse D :}~~$4\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie II}

On considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}}$,\:$z_{\text{B}}$  et $z_{\text{C}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $M$ un point du plan d'affixe $z$.	\begin{enumerate}
		\item  Interpréter géométriquement $\left|z - z_{\text{A}}\right|$.
		\item  Quel est l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie l'égalité : $\left|z - z_{\text{A}}\right| = \left|z - z_{\text{B}}\right|$.		
		\item  Vérifier que le point C appartient à l'ensemble $\mathcal{D}$. 	
		\end{enumerate}
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.
\item Déduire des questions 1. et 2. la nature du triangle ABC.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$ par
 
\[f(x) =  \cos (x) + \dfrac{1}{2} \cos (2x) + 1.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.					
		\item  En utilisant la relation $\sin (2a) = 2\sin a \cos a$, montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0~;~2\pi],~f'(x) = - \sin (x) [1 + 2\cos (x)].$
	\end{enumerate}
\item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~2\pi]$, l'équation produit : $\sin (x) [1 + 2\cos (x)] = 0$.
\item	
	\begin{enumerate}
		\item En s'appuyant sur la représentation graphique de la fonction dérivée $f'$ donnée en annexe, dresser le tableau de signes de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$.
		\item Déduire des questions 2. et 3. a. le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$. 
		
Préciser les ordonnées des points dont l'abscisse $x$ vérifie $f'(x) = 0$.
 	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe représentative de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ 2\pi]$ dans le repère de l'annexe (où $f'$ est déjà représentée).
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

On considère la fonction $f$, définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 

\[f(x) = \text{e}^{2x} - 5 \text{e}^{x} + 4.\]

On désigne par ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{} (unités : 2~cm en abscisse, 1~cm en ordonnée).

\medskip

\textbf{Partie A: limites aux bornes de l'ensemble de définition}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la droite ($\mathcal{D}$) d'équation $y = 4$ est asymptote à ($\mathcal{C}$) en $- \infty.$ 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout nombre réel $x,~ f(x) = \left( \text{e}^{x} - 1\right)\left( \text{e}^{x} -  4\right)$.
		\item En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B : intersection de la courbe \boldmath$(\mathcal{C})$ \unboldmath avec l'axe des abscisses}

\medskip

En utilisant la forme factorisée de $f(x)$ donnée dans la partie A. 2. a., déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe ($\mathcal{C}$) avec l'axe des abscisses.

\bigskip

\textbf{Partie C : étude des variations de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item  Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$.
 	\end{enumerate}
\item Montrer en \textbf{détaillant vos calculs} que $f\left(\ln \dfrac{5}{2}\right) = - \dfrac{9}{4}$.
\item Déduire des questions précédentes le tableau de variations complet de la fonction $f$.\item À l'aide du tableau de variations et du résultat acquis à la partie B, donner le tableau de signes de la fonction $f$ sur $\R$.
\item Tracer la droite ($\mathcal{D}$) puis la courbe ($\mathcal{C}$), pour $x$ appartenant à l'intervalle $[-4~;~2]$, dans le repère défini en début de problème.
 \end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie D : calcul d'une aire}

\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = \ln 4$.
		\item Donner une valeur approchée au mm$^2$ près de cette aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE à l'exercice 2}

(à compléter et à rendre avec la copie)

La courbe préconstruite ci-dessous est la représentation graphique de la fonction dérivée $f'$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$.

\bigskip

\psset{unit=1.55cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(7,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.8pt,griddots=10](0,0)(-1,-2)(7,3)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-2)(7,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psset{algebraic=true}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{6.28}{0-sin(x)-sin(2*x)}
\uput[dr](1,0){1} \uput[ul](0,1){1}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}