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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{16 septembre 2010}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Génie civil  Métropole 16 septembre 2010~\decofourright\\}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée pour cette épreuve.

Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit le polynôme $P$ défini pour tout nombre complexe $z$ par : 

\[P(z) = z^3 - 27.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(3)$ ; en déduire une factorisation de $P(z)$. 
		\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation: 

\[z^2 + 3z + 9 = 0.\]
 
		\item En déduire la résolution dans $\C$ de $P(z) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item Soient M$_{1}$, M$_{2}$ et M$_{3}$ les points d'affixes respectives : 

\[z_{1} = 3, \quad  z_{2} = - \dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} \quad \text{et} \quad  z_{3} = - \dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item On propose dans le tableau ci-dessous trois écritures sous forme exponentielle des nombres complexes $z_{2}$ et $z_{3}$.
		
\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	Écriture 1& Écriture 2 &Écriture 3\\ \hline 
$z_{2} = 3\text{e}^{\frac{\pi}{6}\text{i}}$ ~et~$z_{3} = 3\text{e}^{-\frac{\pi}{6}\text{i}}$&
$z_{2} = 3\text{e}^{-\frac{2\pi}{3}\text{i}}$ ~et~$z_{3} = 3\text{e}^{\frac{2\pi}{3}\text{i}}$&
$z_{2} = 3\text{e}^{\frac{2\pi}{3}\text{i}}$ ~et~$z_{3} = 3\text{e}^{-\frac{2\pi}{3}\text{i}}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Déterminer celle qui convient en justifiant votre réponse. 
		\item Placer de façon précise les points M$_{1}$,  M$_{2}$ et M$_{3}$ dans le repère orthonormé \Ouv{} défini précédemment. (\emph{On laissera apparents les traits de construction.}) 
		\item Répondre par VRAI ou FAUX en justifiant votre choix à chaque proposition suivante :
		 
Proposition 1 : Les distances M$_{1}$M$_{2}$ et M$_{1}$M$_{3}$ sont différentes. 

Proposition 2 : L'aire du triangle M$_{1}$M$_{2}$M$_{1}$ est $\dfrac{27\sqrt{3}}{4}$~cm$^2$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip
 
Une entreprise fabrique des pots de peinture cylindriques en fer, dont l'étanchéité est assurée par un joint de caoutchouc. Tous les jours, le chef d'équipe prélève un échantillon au hasard dans la production, contrôle les dimensions de chaque pot et l'épaisseur du caoutchouc.

\medskip
 
\textbf{Partie A - Échantillon du lundi}

\medskip
 
Ce lundi, le chef d'équipe prélève 250~pots au hasard. Il les contrôle tous et il constate que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 232 pots ne présentent pas de défaut ; 
\item[$\bullet~$] 5 pots présentent au moins un défaut de dimension ; 
\item[$\bullet~$] 2 pots exactement présentent à la fois un défaut de dimension et un défaut d'épaisseur de caoutchouc.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Compléter sur l'annexe (à rendre avec la copie), le tableau d'effectifs suivant :

\medskip

{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
\textbf{Tableau du lundi}	& Pièces présentant un défaut de dimension&
Pièces ne présentant pas de défaut de dimension &Total\\ \hline 
Pièces présentant un défaut d'épaisseur de caoutchouc&&&\\ \hline 
Pièces ne présentant pas de défaut d'épaisseur de caoutchouc&&&\\ \hline  
Total& 5& & 250\\ \hline 
\end{tabularx}} 

\medskip

\item En déduire le pourcentage de pièces dans l'échantillon du lundi ne présentant pas de défaut d'épaisseur de caoutchouc.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B - Échantillon du mardi}

\medskip
 
Le lendemain mardi, le chef d'équipe prélève 200 pots au hasard dans la production et il les contrôle tous; la répartition des pièces suivant les défauts est donnée dans le tableau ci-dessous :

\medskip

\small{\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
\textbf{Tableau du mardi}& Pièces présentant un défaut de dimension&
Pièces ne présentant pas de défaut de dimension &Total\\ \hline 
Pièces présentant un défaut d'épaisseur de caoutchouc&1&10&11\\ \hline 
Pièces ne présentant pas de défaut d'épaisseur de caoutchouc&2&187&\\ \hline  
Total& 3&197 & 200\\ \hline 
\end{tabularx} }

\medskip

On admet que cette répartition reflète l'ensemble de la production de ce mardi, et que chaque pot a la même probabilité d'être prélevé. 
On prélève au hasard un pot de peinture produit ce jour, et on considère les événements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ] $D$ : \og le pot prélevé présente un défaut de dimension \fg{} ; 
\item[ ] $E$ : \og le pot prélevé ne présente pas de défaut d'épaisseur de caoutchouc \fg. 
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de chacun des événements $D$ et $E$. 
		\item Définir en une phrase chacun des événements $D \cap E$ et $D \cup E$, puis calculer sa probabilité.
	\end{enumerate}

\medskip
	 
\textbf{On admet désormais que cette répartition du mardi reflète parfaitement l'ensemble de la production journalière.}

\medskip
 
Sachant que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item tout pot avec le seul défaut d'épaisseur de caoutchouc est réparé avec un surcoût de 0,15 euro,
\item tout pot avec un défaut de dimension est invendable,
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
le tableau ci-dessous récapitule le coût de production et le prix de vente des pots suivant les défauts constatés :

\medskip

{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|} p{3cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline 
&Pot sans défaut& Pot avec le seul défaut d'épaisseur de caoutchouc &
Pot avec un dé\-faut de dimension (au moins)\\ \hline 
Coût de production &1,30 euros& 1,45 euros (car 0,15 euro de surcoût pour corriger le défaut)&1,30 euros\\ \hline 
Prix de vente& 1,50 euros &1,50 euros &$0$ euro (invendable)\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip
 
On note $X$ la variable aléatoire associant à chaque pot, le gain net en euros (différence entre le prix de vente et le coût de production) réalisé par l'entreprise lors de sa vente. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ ? 
		\item Vérifier que la probabilité pour que le gain net soit égal à 0,05 euro est :  

\[p(X = 0,05) = \dfrac{1}{20}\] 

		\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ ; interpréter le résultat obtenu.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\medskip

Un pont à une seule arche d'une longueur de 16~mètres, enjambe une route à double circulation. Dans un repère orthonormé, la figure ci-dessous représente à l'échelle $1/100$ une vue de l'une des deux façades de ce pont.
 
La partie supérieure du pont est à une hauteur de 5~mètres au dessus de la route. 

La partie de l'axe des abscisses comprises entre $-8$ et $+ 8$ représente la chaussée sur laquelle sont délimitées les zones de circulation des piétons, des cyclistes et des véhicules motorisés.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-8,-0.5)(8,6)
\psaxes(0,0)(-8,-0.5)(8,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](1,0){A}\uput[ur](0,1){B}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-8}{8}{5 2.71828 0.2 x mul exp 2.71828 0.2 neg  x mul exp add 2 div sub}
\psline(-8,5)(8,5) 
\uput[r](0,5.2){\scriptsize partie supérieure du pont}
\uput[r](0,3.6){\scriptsize partie inférieure du pont}
\uput[u](-2,0.5){\scriptsize zone véhicules motorisés}
\uput[u](-4.75,0.5){\scriptsize piste cyclable}
\uput[u](-7,0.5){\scriptsize zone piétons}
\uput[u](2,0.5){\scriptsize zone véhicules motorisés}
\uput[u](4.75,0.5){\scriptsize piste cyclable}
\uput[u](7,0.5){\scriptsize zone piétons}
\psline[linestyle=dashed](-5.5,0)(-5.5,3.35)
\psline[linestyle=dashed](-4,0)(-4,3.7)
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,3.7)
\psline[linestyle=dashed](5.5,0)(5.5,3.35)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-8}{8}{5 2.71828 0.2 x mul exp 2.71828 0.2 neg  x mul exp add 2 div sub}
\psline(8,5)(-8,5) }
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip
 
\textbf{Partie 1 - Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath représentée par la courbe } \boldmath $\mathcal{C}$ \unboldmath

\medskip
 
Soit la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$ par :
 
\[f(x) = a - \dfrac{\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{- 0,2x}}{2}\]
 
où $a$ désigne un nombre entier naturel.
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative donnée ci-dessus dans le repère orthonormé (O,~A,~B). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement $f(0)$. En déduire que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$,
 
\[f(x) = 5 - \dfrac{\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{- 0,2x}}{2}\]

\item Comparer $f(-x)$ et $f(x)$ pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$.
 
Que peut-on en déduire graphiquement ? 
\item Montrer que la fonction $f'$, fonction dérivée de la fonction $f$, est définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$ par : 

\[f'(x) = \dfrac{1}{10}\text{e}^{- 0,2x}\left(1 - \text{e}^{0,4x}\right).\] 

\item Calculer $f'(0)$. En déduire une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$. 
\item Résoudre algébriquement, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$, l'inéquation $f'(x) \geqslant  0$. 
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-8~;~8]$. 
\item Reproduire et compléter avec une précision de $10^{-2}$ par défaut le tableau suivant :

\medskip

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch {1.5}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&4	&5,5&8\\ \hline
$f(x)$	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
 
En déduire la hauteur maximale d'un véhicule motorisé pour qu'il puisse passer sous ce pont en tenant compte du fait que l'on doit laisser une hauteur de sécurité de 50~cm au dessus du véhicule.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2 - Calcul d'aire}

\medskip
 
On veut peindre les deux façades de l'armature du pont à arche. 
On appelle $\mathcal{A}$ l' aire de la partie hachurée sur la figure donnée au début du problème.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer l'intégrale $I = \displaystyle\int_{-8}^{8} \left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\:\text{d}x$. 
\item Calculer $\mathcal{A}$ l'aire (exprimée en m$^2$) de la partie hachurée sur la figure donnée au début du problème. 
\item En déduire que l'aire de la surface totale à peindre est égale à $10\left(\text{e}^{1,6} - \text{e}^{-1,6}\right)$ m$^2$, soit environ $47,52$~m$^2$. 
\item La peinture utilisée pour peindre les façades du pont est vendue par bidon de 30~litres. Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de 0,3~mètre carré par litre, combien de bidons sont nécessaires pour recouvrir les deux faces de cette construction? 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}
 
\begin{flushleft} \textbf{Exercice 2} \end{flushleft}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Tableau du lundi& Pièces présentant un défaut de dimension&
Pièces ne présentant pas de défaut de dimension &Total\\ \hline 
Pièces présentant un défaut d'épaisseur de caoutchouc&&&\\ \hline 
Pièces ne présentant pas de défaut d'épaisseur de caoutchouc&&&\\ \hline  
Total& 5& & 250\\ \hline 
\end{tabularx} 
\end{center}
\end{document}