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% Tapuscrit : Denis Vergès
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STI génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{14 septembre 2012}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Métropole 14 septembre 2012~\decofourright\\[4pt]  Génie mécanique, énergétique, civil}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation suivante: 

\[z^2 + 2z\sqrt{3} + 4 = 0.\]
 
\item On considère les points A et B du plan d'affixes respectives : 

\[z_{\text{A}} = - \sqrt{3} + \text{i},\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}} = - \sqrt{3} - \text{i}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. 
		\item  Écrire $z_{\text{A}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$,  où $r$ est un réel strictement positif et $\theta$ un réel de l'intervalle $]- \pi~;~\pi]$. 
		\item  Placer les points A et B dans le plan muni du repère \Ouv. (La figure sera réalisée sur la copie.) 
		\item  Démontrer que le triangle OAB est un triangle équilatéral.
	\end{enumerate} 
\item On considère l'équation d'inconnue $z$  : 

\[2z - 4\text{i} = \text{i}z + 2. \]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le nombre complexe 2i est la seule solution de cette équation. 
		\item On note C le point d'affixe 2i. Placer le point C dans le plan muni du repère \Ouv. 
		\item Démontrer que le quadrilatère OBAC est un losange. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses est correcte. Une absence de réponse ou une réponse erronée n'ôte pas de point.\\ 
On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la réponse choisie.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle 

\[y^{\prime\prime} + 4y = 0,\]

où $y$ représente une fonction de la variable $t$, définie et deux fois dérivable sur $\R$.
 
Une solution de l'équation différentielle est la fonction définie sur $\R$ par: 
	\begin{enumerate}
		\item $t \longmapsto \text{e}^{- 2t}$ ; 
		\item $t \longmapsto \cos (4t)$ ; 
		\item $t \longmapsto \sin (4t)$ ; 
		\item $t \longmapsto \cos (2t)$.
	\end{enumerate} 
\item $\left(u_{n}\right)$ est la suite arithmétique dont le terme de rang 1 est $u_{1} = 2$ et dont le terme de rang $3$ est $u_{3} = 8$. 
	\begin{enumerate}
		\item la raison de la suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ est égale à 2 ; 
		\item la raison de la suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ est égale à 3 ; 
		\item la raison de la suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ est $- 2$ ; 
		\item la suite arithmétique n'a pas de raison.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^x$. La fonction $f^{\prime}$ dérivée de la fonction $f$ est définie sur $\R$ par : 
	\begin{enumerate}
		\item  $f^{\prime}(x) = \text{e}^x$ ; 
		\item  $f^{\prime}(x) = (1 + x)\text{e}^x$ ; 
		\item  $f^{\prime}(x) = (1 - x)\text{e}^x$ ; 
		\item  $f^{\prime}(x) = (x - 1)\text{e}^x$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3\text{e}^{1 - x}$. La courbe représentative de $f$ admet pour tangente au point d'abscisse 1 dans un repère \Oij{}: 
	\begin{enumerate}
		\item la droite d'équation $y = 1$ ; 
		\item la droite d'équation $x = 1$ ; 
		\item la droite d'équation $y = - 3x + 6$ ;
		\item la droite d'équation $y = \dfrac{- 6}{\text{e}^2}x + \dfrac{9}{\text{e}^2}$ 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

Une cible est constituée d'un carré de 10 cm de côté. 
La surface de la cible est partagée en quatre zones délimitées par deux courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$. 

\medskip
\psset{unit=10cm}
\begin{center}
\begin{figure}
\begin{pspicture}(0.95,-0.05)(2.1,1.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=orange](1,0)(2.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=1,Dx=20,Dy=20]{->}(1,0)(0.95,-0.05)(2.1,1.1)
\psframe[linewidth=1.5pt](1,0)(2,1)
\psplot[plotpoints=6000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2}{x ln }
\psplot[plotpoints=6000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2}{2 x sub }
\rput(1.85,0.45){zone 1}\rput(1.5,0.25){zone 2}\rput(1.15,0.55){zone 3}\rput(1.55,0.85){zone 4}
\uput[u](1.2,0.19){$\mathcal{C}_{2}$} \uput[u](1.2,0.81){$\mathcal{C}_{1}$}
\uput[d](1.5,0){1,5} \uput[d](2,0){2} \uput[l](1,0.5){0,5} \uput[l](1,1){1}
\uput[u](2.08,0){$x$}\uput[l](1,1.08){$y$}
\end{pspicture}
\end{figure}
\end{center}
 
\textbf{Partie A : Étude de fonction}

\medskip
  
On admet que les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ représentent, dans un repère orthonormé d'unité 10~cm, les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [1~;~ 2] par 

\[f(x) = \ln (x)\quad  \text{et} \quad  g(x) = 2 - x.\]
 
\begin{enumerate}
\item Attribuer à chacune des fonctions $f$ et $g$ sa courbe représentative $\mathcal{C}_{1}$ ou $\mathcal{C}_{2}$, en justifiant votre choix. 
\item Résoudre graphiquement, sur l'intervalle [1~;~2] avec la précision permise par le dessin, l'équation $f(x) = g (x)$. 
\item On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle [1~;~2] par $h(x) = g(x) - f (x)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction dérivée $h^{\prime}$ de la fonction $h$ est définie sur l'intervalle [1~;~2]  
	par $h^{\prime}(x) = \dfrac{- x - 1}{x}$.  
		\item Déterminer le signe de $h^{\prime}(x)$ sur l'intervalle [1~;~2]. En déduire le tableau des variations de la fonction $h$. 
		\item Démontrer que l'équation $h (x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1~;~2]. Donner une valeur approchée de $\alpha$ au centième près. 
	\end{enumerate}
\item Donner le tableau de signe de la fonction $h$ sur l'intervalle [1~;~2], puis interpréter graphiquement le résultat.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Calculs d'aires}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item L'objet de cette question est de déterminer l'aire de la zone 3 sur le dessin.  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $H$ définie sur l'intervalle [1~;~2] par 
		
$H(x) = 3x - \dfrac{x^2}{2} - x \ln (x)$ est une primitive de la fonction $h$. 
		\item Montrer que : 

\[\int_{1}^{\alpha} h(x)\:\text{d}x = 3\alpha - \dfrac{\alpha^2}{2} -  \alpha \ln (\alpha) - \dfrac{5}{2}.\] 

		\item En déduire une valeur approchée au cm$^2$ près de l'aire $\mathcal{A}_{3}$ de la zone 3. On prendra $1,56$ pour valeur approchée de $\alpha$.
	\end{enumerate} 
\item  Déterminer une valeur approchée au cm$^2$ près de l'aire $\mathcal{A}_{2}$ de la zone 2.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Probabilités}

\medskip
 
On admet dans cette question que les zones 1, 2, 3 et 4 ont pour aires respectives $\mathcal{A}_{1} = 16$ cm$^2$, $\mathcal{A}_{2} = 23$ cm$^2$, $\mathcal{A}_{3} = 27$ cm$^2$ et $\mathcal{A}_{4} = 34$ cm$^2$.
 
Un joueur inexpérimenté, après un grand nombre d'essais, estime que la probabilité que sa fléchette se plante dans la cible est $\dfrac{4}{5}$. Il estime aussi que la probabilité que sa flèche atteigne l'une des quatre zones est proportionnelle à l'aire de cette zone.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité $P_{0}$ pour le tireur de ne pas atteindre la cible ? 
\item Les probabilités $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ et $P_{4}$ d'atteindre respectivement les zones 1, 2, 3 et 4 sont données dans le tableau ci-dessous. 

Vérifier qu'elles sont proportionnelles aux aires des zones $\mathcal{A}_{1}, \mathcal{A}_{2}, \mathcal{A}_{3}$ et $\mathcal{A}_{4}$.

\begin{center}

\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$P_{1}$	&$P_{2}$	&$P_{3}$	&$P_{4}$\\ \hline 
$0,128$	&$0,184$ 	&$0,216$ 	&$0,272$\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}

\item Chaque lancer de fléchette rapporte un certain nombre de points selon la zone qui est atteinte : 

atteindre la zone 1 rapporte 10 points, la zone 2 rapporte 5 points, la zone 3 rapporte 2 points et la zone 4 rapporte 1 point. 

Ne pas atteindre la cible ne rapporte aucun point.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui, à un lancer associe le nombre de points obtenus. 
	\begin{enumerate}
		\item Présenter la loi de $X$ sous la forme d'un tableau. 
		\item Déterminer la probabilité que $X$ soit au plus égal à $2$. 
		\item Déterminer l'espérance de $X$. 
		\item Estimer le nombre moyen de lancers que doit effectuer le lanceur pour espérer atteindre ou dépasser les $100$~points. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}