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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie Civil, énergétique, mécanique (A et F)}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 2001}}
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\thispagestyle{empty}


\begin{center}{\decofourleft~\Large \textbf{Baccalauréat STI Nouvelle Calédonie décembre 2000~\decofourright \\[4pt]Génie énergétique, civil, mécanique}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

On dispose de deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$.

L'urne $U_{1}$ contient $4$ boules rouges portant respectivement les numéros 0, 1, 2, 4 et l'urne $U_{2}$ contient $3$ boules vertes portant respectivement les numéros 1, 3, 5.

On tire au hasard et simultanément une boule de l'urne $U_{1}$ et une boule de l'urne $U_{2}$.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  $a$ désigne le numéro de la boule tirée de $U_{1}$ et $b$ celui de la boule tirée de $U_{2}$.
\item[$\bullet~$] $z$ est le nombre complexe dont la partie réelle est $a$ et la partie imaginaire $b$. On suppose que les écritures algébriques $z = a + \text{i}b$ possibles sont équiprobables.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Les probabilités demandées seront données sous forme de fractions irréductibles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dresser une liste de toutes les écritures algébriques possibles de $z$.
\item Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item  $E_{1}$~:~\og $z = 1 + 3\text{i}$ \fg,
		\item  $E_{2}$~:~\og $z + \overline{z} = 2$ \fg.
	\end{enumerate}
\item   On désigne par $A$ l'évènement \og  le module de $z$ est $5$ \fg, et par $B$ l'évènement \og $z$ est un imaginaire pur \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité de l'évènement $A$ puis celle de l'évènement $B$. 
		\item  Définir par une phrase l'évènement $A ~\cap~ B$. Calculer la probabilité de cet évènement.
		\item  En déduire la probabilité de l'évènement $A~\cup~ B$.
	\end{enumerate}
\item  On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe $a + b$.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
		\item  Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item  Calculer l'espérance mathématique E($X$) de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On appelle $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle [0~;~1] par :

\[f(x) = \text{e}^x - 1.\]

On désigne par ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} ; unité graphique $10$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la courbe ($\mathcal{C}$).
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$.
		\item En déduire que la valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur l'intervalle [0~;~1] est égale à e $- 2$. Donner l'arrondi au centième de $\mu$.
	\end{enumerate}
On désigne par ($\mathcal{P}$) la partie du plan limitée par la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses et la droite d'équation $x =1$, et par ($\mathcal{R}$) la partie du plan limitée par la droite d'équation $y = \mu$,  l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x =1$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Représenter ($\mathcal{P}$) et ($\mathcal{R}$) en utilisant des hachures.
		\item Justifier le fait que ($\mathcal{P}$) et ($\mathcal{R}$) ont la même aire.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $V_{1}$ le volume, exprimé en unités de volume, du solide engendré par la rotation de la partie ($\mathcal{P}$) autour de l'axe des abscisses et par $V_{2}$ celui du solide engendré par la rotation de la partie ($\mathcal{R}$) autour du même axe.

\[(\text{On rappelle que}~ V_{1} =\pi \int_{0}^1  ~(f(x))^2\:\text{d}x.\]

On se propose de comparer $V_{1}$ et $V_{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de $V_{1}$.
		\item Calculer la valeur exacte de $V_{2}$.
		\item Calculer la valeur exacte de $V_{1} - V_{2}$ puis donner un arrondi au millième. Conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.

\textbf{Partie A :  détermination d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $\varphi$, définie sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ par :
 
\[\varphi(x) = a - (bx + 1)\ln (x + 1),\:\text{où}\: a\: \text{et}\: b \: \text{sont deux nombres réels.}\]

La courbe $\left(\mathcal{C}_{\varphi}\right)$ représentative de la fonction $\varphi$ satisfait aux conditions suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\left(\mathcal{C}_{\varphi}\right)$ passe par le point A de coordonnées (0~;~e),
\item[$\bullet~$] $\left(\mathcal{C}_{\varphi}\right)$ passe par le point B de coordonnées $(\text{e}- 1~;~0)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $a$ puis $b$.
\item En déduire $\varphi(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :  étude d'une fonction et tracé de sa courbe représentative}

\medskip
On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ par :
 
\[f(x) = \text{e} - (bx + 1) \ln (x + 1).\]

On désigne par $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sa courbe représentative.

\medskip

\begin{enumerate}
\item   
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la limite de $f$ en $- 1$ est égale à e. (On admettra que 
		
$\displaystyle\lim_{X \to 0} X \ln X =  0$).
		\item Calculer la limite de $f$  en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer, en la résolvant, que l'équation $f'(x) = 0$  admet une unique solution, notée $\alpha$, dans l'intervalle $]-1~;~+\infty[$.
		
Donner une valeur exacte puis la valeur décimale arrondie à $10^{- 2}$ de $\alpha$.
		\item Étudier le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $]- 1~;~+\infty[$.
		\item Calculer la valeur exacte de $f(\alpha)$ et sa valeur décimale arrondie à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item  Dresser le tableau de variations de $f$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les coefficients directeurs des tangentes $\left(T_{1}\right)$ et 
		$\left(T_{2}\right)$ à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ aux
points d'abscisses respectives $0$ et $\text{e} - 1$. 
		\item  Tracer les tangentes $\left(T_{1}\right)$  et $\left(T_{2}\right)$ et la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$\: (unité graphique : $5$~centimètres).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie C : calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $G$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ par :

\[G(x) = \dfrac{1}{4} (x + 1)^2 [\ln(x + 1) - 1].\]
 
Vérifier que $G$ est une primitive de la fonction qui, à $x$, associe $(x + 1) \ln (x + 1)$.

En déduire une primitive $F$ de $f$.

\medskip

\item On désigne par $(\mathcal{P})$ la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter $(\mathcal{P})$ sur la figure précédente en utilisant des hachures.
		\item  Calculer la valeur exacte de l'aire de la partie hachurée, en cm$^2$.
		
Donner sa valeur décimale arrondie à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}