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%%%%%%Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement transmis par Karine Dulhoste 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{15 novembre 2012}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

 {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Nouvelle-Calédonie 15 novembre 2012~\decofourright\\[4pt]Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil}}

 \end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormé \Ouv.
 
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\C$ l'équation 

\[z^2 - 4z + 8 = 0.\]
 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item En prenant comme unité graphique 1~cm, représenter dans le plan les points A, B et C d'affixes respectives :
		 
\[z_{\text{A}} = 2 + 2\text{i},\quad z_{\text{B}} = 2 - 2\text{i},\quad \text{et}\:\: z_{\text{C}} = 4.\]
 
		\item Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. 
		\item Démontrer que le triangle AOB est rectangle isocèle. 
		\item Démontrer que le quadrilatère OBCA est un carré.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Soit E le milieu du segment [OA] et D le point d'affixe $z_{\text{D}} = \text{i}z_{\text{A}}$. 

Démontrer que le point E est le milieu du segment [CD].
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Les cinq questions sont indépendantes. \\
Pour chaque question, quatre réponses ou affirmations sont proposées, dont une seule est juste. Le candidat mentionnera le numéro de la question, et la lettre correspondant à la réponse juste. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une bonne réponse rapporte un point, l'absence de réponse ou une mauvaise réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip
 
\textbf{Question 1}

\medskip
 
On considère l'équation différentielle $y'' + 4y = 0$, où $y$ désigne une fonction de variable réelle $x$ deux fois dérivable.
 
Une solution de cette équation est la fonction $f$ vérifiant, pour tout réel $x$ : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{\textbf{Réponse~}}X}}
\textbf{A} : $f(x) = 4\text{e}^{-4x}$ &\textbf{B} : $f(x) = 4\text{e}^{2x}$\\ 
\textbf{C} : $f(x) = 10\cos (2x) - 10\sin (2x)$ &\textbf{D} : $f(x) = 10 \cos (4x) - 10 \sin (4x)$ 
\end{tabularx}
\medskip

\medskip
 
\textbf{Question 2}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par : $f(x) = (2x + 1)\text{e}^{3x + 1}$. On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
 
Une expression de $f^{\prime}(x)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{\textbf{Réponse~}}X}}
\textbf{A} : $f'(x) = 2\text{e}^{3}$&\textbf{B} : $f'(x) = (6x + 5)\text{e}^{3x + 1}$\\
\textbf{C} : $f'(x) = 2\text{e}^{3x + 1}$ &\textbf{D} : $f'(x) = (2x + 3) \text{e}^{3x+1}$ 
\end{tabularx}
\medskip 


\medskip
 
\textbf{Question 3}

\medskip
 
Un jeu est basé sur une expérience aléatoire et il permet de gagner ou de perdre de l'argent. La variable aléatoire $X$ qui représente ce gain (positif ou négatif) admet la loi de probabilité suivante.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Valeurs de $X$& $- 5$ &$- 2$ &0 &1 &6\\ \hline 
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}Probabilité &$\dfrac{3}{25}$ &$\dfrac{2}{25}$ &$\dfrac{15}{25}$ &$\dfrac{2}{25}$ &$\dfrac{3}{25}$\\ \hline 
\end{tabularx}
\medskip
  
On considère que le jeu est favorable au joueur si l'espérance mathématique de la variable $X$ est strictement positive, équitable si elle est nulle, et défavorable au joueur si elle est strictement négative.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{\textbf{Réponse~}}X}} 
\textbf{A} : le jeu est défavorable au joueur& \textbf{B} : le jeu est équitable\\ 
\textbf{C} : le jeu est favorable au joueur& \textbf{D} : on ne peut pas savoir 
\end{tabularx}

\medskip
 
\textbf{Question 4}

\medskip 

Soit $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] par $g(x) = x^2 + 1$. On fait tourner cette courbe autour de l'axe des abscisses. Cela engendre un solide de révolution dont le volume $V$, exprimé en unité de volume, est :
 
\[V = \pi  \int_{0}^1 [g(x)]^2\:\text{d}x.\]
 
La valeur exacte de $V$ est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{\textbf{Réponse~}}X}} 
\textbf{A} : $\dfrac{4\pi}{3}$&\textbf{B} : $\dfrac{6\pi}{5}$&
\textbf{C} : $4\pi$ &\textbf{D} : $\dfrac{28 \pi}{15}$
\end{tabularx}

\medskip 

\textbf{Question 5}

\medskip 

Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $]5~;~+ \infty[$ dont la représentation graphique dans un repère du plan est notée $C$.
 
On suppose que $\displaystyle\lim_{x \to 5} f(x) = + \infty$. Ce résultat s'interprète ainsi : 

\medskip

\textbf{Réponse A} : la courbe $C$ admet une asymptote d'équation $x = 5$. 

\textbf{Réponse B} : lorsque $x$ tend vers $+ \infty$, la courbe $C$ admet une asymptote d'équation $y = 5$. 

\textbf{Réponse C} : lorsque $x$ tend vers $+ \infty$, la courbe $C$ admet une asymptote oblique d'équation $y = 5x$. 

\textbf{Réponse D} : la courbe $C$ admet au point d'abscisse $5$ une tangente parallèle à l'axe des abscisses. 

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A - Exploitation d'informations graphiques}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par : 

\[g(x) = ax + b + \text{e}^{- x},\]

où $a$ et $b$ sont deux nombres réels que l'on va déterminer dans cette partie.
 
On donne les renseignements graphiques suivants sur la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère d'axes (O$x$) et (O$y$) :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item le point A de coordonnées (0~;~4) appartient à cette courbe représentative;
\item la tangente à cette courbe au point d'abscisse $0$ est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À partir des renseignements précédents, donner la valeur de $g(0)$ ainsi que celle du nombre dérivé $g'(0)$. 
\item Déterminer la valeur du nombre $b$ en utilisant la question 1. 
\item Pour tout réel $x$, calculer $g'(x)$ en fonction de $a$. En déduire la valeur du nombre $a$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par : 

\[f (x) = x + 3 + \text{e}^{- x}.\]
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. 
		\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x + 3$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$. 
		
Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $x$, démontrer l'égalité : $f(x) = \text{e}^{- x}\left(1 + x\text{e}^{x} + 3\text{e}^{x}\right)$. 
		\item En déduire la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $x$, démontrer que $f^{\prime}(x) = 1 - \text{e}^{- x}$, puis étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ sur $\R$. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$. 
	\end{enumerate}
\item Représenter graphiquement la courbe $\mathcal{C}$ et son asymptote $\mathcal{D}$ dans le même repère. On prendra pour unité 1~cm sur chacun des axes. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Existe-il une tangente à la courbe $\mathcal{C}$ qui est parallèle à l'asymptote $\mathcal{D}$ ?
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C - Calcul d'une aire plane}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. 
\item Hachurer le domaine du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$. On note $\mathcal{A}$ l'aire de ce domaine, exprimée en unité d'aire. 
\item Calculer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, puis donner sa valeur arrondie au mm$^2$. 
\end{enumerate}
\end{document}