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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, civil}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2006}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie juin 2006~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique : $1$~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate}
\item  On note $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par : 

\[P(z) = z^3 - 4z^2 + 8z - 8.\]

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z,~ P(z) = (z - 2)\left(z^2 - 2z + 4\right)$. 
		\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation 
		
$P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item On note A, B, C, les points d'affixes respectives : $a = 2~;~b = 1 + \text{i}\sqrt{3}~;~c = 1 -  \text{i}\sqrt{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de $a,~b,~c$.
		\item En déduire le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC. 
		\item Placer les points A, B et C en laissant visibles les traits de construction. 
		\item Démontrer que le quadrilatère OBAC est un losange.
	\end{enumerate}
\item On pose $d = a + b$ et on note D le point d'affixe $d$. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point D dans le repère \Ouv. 
		\item Démontrer que A est le milieu du segment [CD]. 
		\item Écrire $d$ sous forme exponentielle. 
		\item Démontrer que OCD est un triangle rectangle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij.

\bigskip

\textbf{Partie A : Calcul d'une primitive}

\medskip

On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 2] par 

\[g(x) = \dfrac{x}{x + 1}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~2],\: $ g(x) = a + \dfrac{b}{x + 1}$.
\item En déduire une primitive de $g$ sur l'intervalle [0~;~2].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Détermination du centre de gravité d'une plaque homogène}

\medskip

On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~ ;~2] par :

\[ f(x) = \dfrac{1}{x + 1}\]

On considère une plaque homogène formée par l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan dont les coordonnées vérifient les relations : $0 \leqslant  x \leqslant 2$ et $0 \leqslant y \leqslant f(x)$. (Voir schéma ci-dessous).
 
\parbox{0.58\textwidth}{
\begin{enumerate}
\item  Soit $\mathcal{S}$ l'aire de la plaque exprimée en unité
d'aire. Démontrer que $\mathcal{S}= \ln 3$.
\item Soit G le centre de gravité de la plaque. On admettra que les coordonnées $(X~;~Y)$ de G sont données par les formules suivantes :\\
$X = \dfrac{1}{\mathcal{S}}\displaystyle\int_{0}^2 xf(x)\:\text{d}x$ et \\$Y = \dfrac{1}{2\mathcal{S}}\displaystyle\int_{0}^2 [f(x)]^2\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de $X$, puis une
valeur approchée arrondie au centième.
		\item Calculer la valeur exacte de $Y$, puis une
valeur approchée arrondie au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}} \hfill \parbox{0.37\textwidth}{\psset{unit=2cm}\begin{pspicture}(2.2,1.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(2.2,1.3)
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{1 x 1 add div}
\end{pspicture}}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  10 points} 

\bigskip

\textbf{Partie A : Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle (1) : $y^{\prime} + y = 2\text{e}^{-x}$, dans laquelle $y$ désigne une fonction inconnue de la variable réelle $x$, dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (2) : $y^{\prime} + y = 0$. 
\item Soit la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) =  2x\text{e}^{-x}$. Vérifier que $h$ est solution de l'équation (1).
\item On admet que toute solution de (1) s'écrit sous la forme $g+h$, où $g$ désigne une solution de l'équation (2).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation (1).
		\item Déterminer la solution $f$ de l'équation (1) vérifiant la condition initiale $f(0) = - 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}  
 
\bigskip

\textbf{Partie B. Étude d'une fonction exponentielle}

\medskip

On note $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : 

\[f(x) = (2x - 1)\text{e}^{-x}.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij. Unités graphiques : 1~cm en abscisses et 2~cm en ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Étude des limites.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item En écrivant, pour tout réel $x,~ f(x) = 2x\text{e}^{-x} - \text{e}^{-x}$, déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		
Quelle conséquence graphique peut-on en tirer pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
	\end{enumerate} 
\item étude des variations de $f$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$, puis démonter que, pour tout réel $x,~ f(x)$ est du signe de $(-2x + 3)$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$
	\end{enumerate} 
\item Représentations graphiques.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
		\item Déterminer une équation de chacune des tangentes ($T$) et ($T'$) à la courbe 
$\mathcal{C}$ aux points  d'abscisses $\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{1}{2}$.
		\item Tracer ($T$), ($T'$) et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C. Détermination d'une primitive}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que, pour tout réel $x,~ f(x) = - f^{\prime}(x) + 2\text{e}^{-x}$.
\item En déduire une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}
\end{document}