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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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% Tapuscrit : Denis Vergès
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STI génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{14 septembre 2012}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft ~Baccalauréat STI Polynésie 14 septembre 2012~\decofourright\\[4pt]Génie mécanique, énergétique, civil}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions suivantes, \textbf{une seule} des réponses proposées est correcte.
 
Aucune justification n'est demandée.
 
Chaque bonne réponse rapporte un point. Une absence de réponse ou une mauvaise réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.
 
Le candidat indiquera sur la copie, le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la réponse proposée.

\medskip
 
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives : 

\[z_{\text{A}} = \sqrt{3}- \text{i}, \quad  z_{\text{B}} =  \sqrt{3} + \text{i}, \quad 
z_{\text{C}}  = - \sqrt{3} + \text{i}, \quad  z_{\text{D}}  = - \sqrt{3} - \text{i}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Les solutions complexes de l'équation $z^2 - 2\sqrt{3} z + 4 = 0$ sont : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} $z_{\text{C}}$ et $z_{\text{D}}$&\textbf{b.} $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{C}}$&\textbf{c.} $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ &\textbf{d.} $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{D}}$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item Le module et un argument du nombre complexe $z_{\text{A}}$ sont: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} $\left\{\begin{array}{l c l}
\left|z_{\text{A}} \right|&=&\sqrt{2}\\
\text{arg}\: z_{\text{A}} &= &- \dfrac{\pi}{6}
\end{array}\right.$&
\textbf{b.} $\left\{\begin{array}{l c l}
\left|z_{\text{A}} \right|&=&\sqrt{2}\\
\text{arg}\: z_{\text{A}} &= & \dfrac{\pi}{3}
\end{array}\right.$&
\textbf{c.} $\left\{\begin{array}{l c l}
\left|z_{\text{A}} \right|&=&2\\
\text{arg}\: z_{\text{A}} &= & \dfrac{5\pi}{6}
\end{array}\right.$&
\textbf{d.} $\left\{\begin{array}{l c l}
\left|z_{\text{A}} \right|&=&2\\
\text{arg}\: z_{\text{A}} &= &- \dfrac{\pi}{6}
\end{array}\right.$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item L'ensemble des points d'affixe $z$ tels que $\left|z - \sqrt{3} - \text{i}\right| = \left|z - \sqrt{3} + \text{i}\right|$  est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} la droite (CD)&\textbf{b.} l'axe des abscisses&\textbf{c.} l'axe des ordonnées&\textbf{d.} la droite (AB)\\
\end{tabularx}
\medskip 
\item Le nombre complexe $\dfrac{z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}}$ est égal à : 
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} $- 1$&\textbf{b.} $1$& \textbf{c.} $1 - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&\textbf{d.} $\dfrac{1 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item L'affixe du point E, tel que le quadrilatère DEAC est un parallélogramme, est: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} $- 3\sqrt{3} + \text{i}$&\textbf{b.} $2\sqrt{3} - 2\text{i}$& \textbf{c.} $\sqrt{3} - 3\text{i}$&\textbf{d.} $\sqrt{3} + \text{i}$\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip
 
On considère le circuit ci-dessous composé d'une bobine, d'un condensateur et d'un interrupteur. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3.75)
\pnode(0,3){A}\pnode(3,3){B}\switch(A)(B){Interrupteur}
\pnode(0,0){C}\capacitor(A)(C){Condensateur}
\pnode(8,3){D} \coil(B)(D){Bobine}
\psline(0,0)(8,0)(8,3)
\end{pspicture}
\end{center}

Le condensateur est initialement chargé.
 
Au temps $t = 0$, on ferme l'interrupteur. On étudie alors la décharge du condensateur dans la bobine.
 
On admet qu'à un instant $t$, la charge $q$ du condensateur, qui est une fonction du temps $t$, est solution de l'équation différentielle $(E)$ : 

\[q^{\prime\prime} + 121 \times 10^6 q = 0\]
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$. 
\item Déterminer l'expression de la solution particulière $q$ de $(E)$ qui vérifie les conditions : 

\[q(0) = 2 \times 10^{-6}\quad  \text{et}\quad  q^{\prime}(0) = 0.\]
 
Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction $q$ ainsi obtenue. 

\item Montrer que l'intensité $i(t)$, définie par $i(t) = q^{\prime}(t)$, où $q^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de la fonction $q$, est donnée, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, par: 

\[i(t) = - 2, 2 \times 10^{-2} \sin \left(11 \times 10^3 t\right).\] 

\item Déterminer la valeur moyenne de la fonction $q$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi \times 10^{- 3}}{2 \times 11}\right]$.

On en donnera la valeur exacte.
 
On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur l'intervalle $[a~;b]$ est donnée par: 

\[\dfrac{1}{b - a}\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t.\]

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = 3 - 3\ln x + x^3.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ peut s'écrire, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, sous la forme :
		 
\[g'(x) = \dfrac{3(x - 1)\left(x^2 + x + 1\right)}{x}.\]
 
		\item Déterminer le signe de $g'(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$. 
		\item En déduire les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Donner la valeur de $g(1)$. 
\item Déduire des questions précédentes que la fonction $g$ est strictement positive sur l'intervalle  $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : étude d'une fonction}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = 3\dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{1}{2}x^2 + 1.\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Établir que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, on a : 

\[f^{\prime}(x) = \dfrac{g(x)}{x^2},\: \text{où}\: g \:\text{est la fonction définie dans la \textbf{partie A}}.\] 
 
		\item En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que sur l'intervalle [0,5~;~1], la courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en un unique point. On notera $\alpha$ l'abscisse de ce point. 

À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate} 
\item On note $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y = \dfrac{1}{2} x^2 + 1$ dans le repère \Oij. La parabole $\mathcal{P}$ est représentée en \textbf{annexe}, à rendre avec la copie. 

Étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$. 

On précisera les coordonnées du point d'intersection des courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$. 
\item Tracer sur le graphique de \textbf{l'annexe}, à rendre avec la copie, la courbe $\mathcal{C}$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : calcul d'une aire}

\medskip
 
On note $\mathcal{D}$ le domaine du plan délimité, d'une part, par les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$, d'autre part, par les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique de l'\textbf{annexe}, à rendre avec la copie. 
\item On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[h(x) = \dfrac{1}{2} (\ln x )^2.\]
 
Calculer $h^{\prime}(x)$, où $h^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de la fonction $h$. 
\item Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine $\mathcal{D}$, exprimée en unité d'aire. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{Annexe (problème) \\[4pt]à rendre avec la copie}}
 
\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.4cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-4,-8)(4,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-8)(4,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[dr](0,0){O}\uput[ur](-2,3){\blue $\mathcal{P}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{3}{x dup mul 2 div 1 add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}