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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STI  Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2002}}
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\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Nouvelle--Calédonie ~\decofourright\\[5pt]Génie électronique,  électrotechnique,  optique novembre 2002} 
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill	5 points}

\medskip

On considère dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation 
suivante :

\[z^2 - 6z + 12 = 0.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre cette équation dans $\C$.

Soient $z_1$ et $z_2$ les solutions, $z_1$ étant celle dont la partie imaginaire est positive.
\item Écrire $z_1$ puis $z_2$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$  où $r$ est un nombre réel positif, i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ et $\theta$ un nombre réel ($r$ représente donc le module  du nombre complexe et $\theta$ un argument).
	
En déduire que $\dfrac{z_1}{z_2} =\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
\item Dans le plan $\mathcal{P}$, rapporté à un repère orthonormal \Ouv, d'unité graphique $1$~cm, construire géométriquement les points A$_1$ et A$_2$ d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$ (on n'utilisera pas de valeurs approchées).

Montrer l'existence d'une rotation de centre O qui transforme A$_2$ en 
A$_1$.

Déterminer l'angle $\alpha$ de cette rotation.
\item On note A$_0$ l'image de A$_1$ par la rotation de centre O et d'angle $\alpha$.
 
Construire géométriquement A$_0$.

Déterminer l'affixe du point A$_0$.
\item Quelle est la nature du quadrilatère OA$_0$A$_1$A$_2$ ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill	5 points}

\medskip

Un dé cubique est truqué. Une partie consiste à lancer le dé et à noter le numéro de la face supérieure.

Soit $X$ la variable aléatoire égale à ce numéro. Sa loi de probabilité  est donnée par le tableau suivant :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$i$ & 	1& 2& 3& 4& 5& 6\\ \hline
$P(X=i)$& 1/32& 5/32& 10/32& 10/32& 5/32& 1/32\\ \hline
\end{tabularx}\]

La règle du jeu est la suivante : un joueur mise $10$~euros.

Il reçoit $20$~euros si le numéro est 1 ou 6, $10$~euros si le numéro est 3  ou 4, $0$~euro si le numéro est 2 ou 5.

Le gain d'un joueur est la différence entre ce qu'il reçoit et ce qu'il  mise (le gain peut donc être soit positif soit négatif). Soit $Y$ la variable aléatoire égale au gain du  joueur au cours d'une partie.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Quelles sont les valeurs prises par $Y$ ?
\item Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
\item Calculer l'espérance mathématique de $Y$.
\item On rappelle qu'un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain est 
nulle.

Pour le jeu décrit ci-dessus, on se propose de modifier la mise. La 
nouvelle mise est notée $m$ et est exprimée en euros.

Quelle valeur faut-il donner à $m$ pour rendre le jeu équitable ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) = x + \dfrac{1}{2\left(\text{e}^x +1\right)}.\]
$\mathcal{C}$ désigne sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer les limites de $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que la droite $D_1$ d'équation $y =x$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de $+ \infty$.
		\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $D_1$
	\end{enumerate}
\item Pour tout réel $x,\: M$ désigne le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$  et $M'$ le  point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $- x$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer, en fonction de $x$, les coordonnées du point $I$ milieu du segment $[MM']$.
		\item Que constatez-vous ? Qu'en déduisez-vous pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que pour tout réel $x$ : 

\[f(x) = x + \dfrac{1}{2} - \dfrac{\text{e}^x}{2\left(\text{e}^x+1\right).}\]

		\item Démontrer que la droite $D_2$ d'équation $y = x + 1$ est asymptote à la  courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de $- \infty$.
		\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $D_2$.
	\end{enumerate}
\item Soit $f'$ la dérivée de $f$.
	
Vérifier que, pour tout réel $x,~ f'(x) = \dfrac{2\text{e}^{2x} + 
3\text{e}^x + 2}{2\left(\text{e}^x + 1\right)^2}$.

Montrer que, pour tout réel $x,~ f'(x) > 0$.

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Tracer $D_1,~ D_2$ et $\mathcal{C}$ dans le plan muni d'un repère orthonormal\Oij{} d'unités graphiques $4$~cm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : calcul d'une primitive}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[g(x) = \dfrac{1}{2\left(\text{e}^x +1\right)}\]

\begin{enumerate} 
\item Vérifier que pour tout réel $x,~ g(x) = 
\dfrac{\text{e}^{-x}}{2\left(1 + \text{e}^{-x}\right)}$.
\item En déduire une primitive $G$ de la fonction $g$ sur $\R$.
\end{enumerate}
\end{document}