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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm} 
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STI Génie électrotechnique, génie optique }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI  Antilles-Guyane~\decofourright\\[5pt]Génie électronique  juin 2006}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique $3$~cm, on considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = \sqrt{3} + \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$ ; i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $z_{\text{A}}$  et $z_{\text{B}}$ sous forme trigonométrique, puis sous forme exponentielle.
		\item En utilisant la règle et le compas, placer les points A et B dans le repère \Ouv. On laissera apparents les traits de construction.
		\item Démontrer que le triangle OAB est rectangle et isocèle en O.
	\end{enumerate}
\item Dans ce qui suit, on considère la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
On appelle C l'image du point A par cette rotation.
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point C dans le repère \Ouv. On laissera apparents les traits de construction.
		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C sous forme exponentielle. 
		\item Quelle est l'image du point B par la rotation ? Justifier. 
		\item En déduire l'image du triangle OAB par la rotation.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Un circuit électrique comprend en série un générateur, un conducteur ohmique de résistance $R$ (exprimée en ohms), un condensateur de capacité $C$ (exprimée en farads) et un interrupteur. On ferme l'interrupteur à l'instant $t = 0$ et le générateur délivre alors une tension constante $E$ (exprimée en volts). On procède ainsi à la charge du condensateur.

\medskip

La charge $q$ en coulombs du condensateur est une fonction dérivable du temps $t$ (exprimé en secondes) ; l'intensité $i$ du courant (exprimée en ampères) est alors telle que $i(t) = q'(t)$.

On considère l'équation différentielle : 

\[y'+\dfrac{1}{RC}y =  \dfrac{E}{R}\]

dans laquelle $y$ est une fonction de la  variable réelle $t$, définie et dérivable sur $\R$.
 
Dans tout ce qui suit, on prend $R = \np{1000},~ C= 10^{-4}$ et $E = 10$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire l'équation différentielle ci-dessus en remplaçant $R,~ C$ et $E$ par leurs valeurs respectives.
\item On admet que la fonction $q$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 
\[q(t) = -10^{-3}\text{e}^{-10t} +10^{-3}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $q'$ de la fonction $q$, puis vérifier que $q$ est solution sur $[0~;~+ \infty[$ de l'équation différentielle établie à la question 1.
		\item Déterminer $q(0)$, la limite de $q$ en $+\infty$ et le sens de variations de $q$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item On admet que l'intensité du courant $i$ qui parcourt le circuit à l'instant $t$ est donnée par $i(t) = 10^{-2}\text{e}^{-10t}$.

Déterminer la valeur exacte de l'instant $t_{0}$ à partir duquel l'intensité $i(t)$ est inférieure ou égale à $10^{-3}$ ampère. Préciser sa valeur arrondie au centième de seconde.
\item On sait enfin que l'énergie $W$ dissipée dans le conducteur ohmique, exprimée en joules, entre les instants $t = 0$ et $t = 0,23$, est donnée par : 

$W= \np{1000}\displaystyle\int_{0}^{0,23} i^2(t)\:\text{d}t$.
	\begin{enumerate}
		\item  Préciser une primitive de la fonction $h$ définie sur $[0~;~ + \infty[$ par 
		
$h(t) = \text{e}^{-20t}$.
		\item Calculer alors $W$ et en donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur v dont la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité 1 cm est donnée en annexe. Cette courbe passe par le point A(1~;~4).

Dans la partie I, le but est de déterminer graphiquement certaines propriétés de la fonction $f$. On prouve ensuite ces propriétés dans la partie II à partir de l'expression de $f(x)$. Enfin, dans la partie III, on s'intéresse à un calcul d'aire.

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

On répondra aux questions suivantes en utilisant la représentation graphique donnée en annexe. Si cela n'est pas demandé explicitement, on ne justifiera pas la réponse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On admet que la fonction $f$ est décroissante sur ]0~;~1[ et que l'axe des ordonnées est asymptote à $\mathcal{C}_{f}$. Donner $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)$.
		\item Peut-on donner $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ à partir du graphique ? Pourquoi ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet, sur l'intervalle [1~~15], deux solutions ; on notera $\alpha$ et $\beta$ ces solutions, avec $\alpha < \beta$.
		\item Donner un encadrement d'amplitude 0,5 pour chacun des deux nombres $\alpha$ et $\beta$.
		\item Donner le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$ dans l'intervalle [1~;~15].
	\end{enumerate}
\item On admet que la droite passant par les points A(1; 4) et B$(2~;~-2)$  est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la valeur de $f'(1)$.
		\item Donner, en justifiant, une équation de la droite (AB).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On admet maintenant que la fonction $f$ est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = 2(\ln x)^2 - 6\ln x + 4.\]

Le but de cette partie est de démontrer les résultats obtenus à la partie I, en utilisant l'expression de $f(x)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)$. Quelle propriété graphique de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ retrouve-t-on ainsi ?
		\item Démontrer que pour $x \neq 1$ on a $f(x) = (\ln x)\left[2 \ln x - 6 + \dfrac{4}{\ln x}\right]$ puis en déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f'(x) = \dfrac{4\ln x - 6}{x}$	ou $f'$ désigne la dérivée de $f$.
		\item Résoudre dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ l'inéquation $4 \ln x - 6 > 0$. 
		\item En déduire le sens de variations de $f$ et dresser le tableau de variations de $f$. On calculera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant les résultats de la question 2 démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle [1 ; 15].
		\item Donner les valeurs exactes de $f\left(\sqrt{\text{e}}\right),~ f(\text{e})$ et $f\left(\text{e}^2\right)$.
		\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle [1~;~15].
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse 1.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie III}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur la feuille annexe \textbf{à rendre avec la copie}, hachurer le domaine D délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 2$.
\item Démontrer que la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 
$F(x) = 2x(\ln  x)^2 - 10x \ln x + 14x$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~ + \infty[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En déduire l'expression de l'aire, en unités d'aire, du domaine D sous la forme d'une intégrale.
		\item Donner la valeur exacte de cette aire en cm$^2$, puis sa valeur en mm$^2$, arrondie à l'unité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}


\textbf{Feuille annexe à rendre avec la copie}

\bigskip \bigskip 

\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-1,-2.5)(15,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-3)(15,7)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-1,-3)(15,7)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline(0.5,7)(2.0833,-2.5)
\uput[dr](1,4){A} \uput[dr](2,-2){B}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.6465}{15}{x ln 2 exp 2 mul 4 add x ln 6 mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 