\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%% Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-plot,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique, optique}%
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{11 juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie 11 juin 2012~\decofourright\\[4pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip
 
Baptiste, François, Kévin et Thomas ont décidé de partir ensemble cet été à Londres. Ils ont convenu que chacun d'entre eux réserverait de son côté par internet son billet de train aller-retour Paris-Londres aux dates et heures qu'ils ont choisies en commun.
 
La politique tarifaire appliquée pour la vente des billets est la suivante : la première moitié des billets est vendue au tarif réduit de 90~euros (tarif noté R) puis la seconde moitié des billets est vendue au tarif normal de 120~euros (tarif noté N).
 
Les quatre amis, ignorant cette politique, réservent leurs billets à des moments différents sans savoir de quel tarif ils bénéficieront. On s'intéresse aux tarifs payés par Baptiste, François, Kévin et Thomas.
 
Ainsi, on notera NNRR l'évènement élémentaire: \og Baptiste paie 120 euros, François paie 120 euros, Kévin paie 90 euros et Thomas paie 90~euros \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Écrire les seize évènements élémentaires (on pourra s'aider d'un arbre). 
\item On suppose que les seize évènements élémentaires sont équiprobables. 

On considère les trois évènements suivants : 

$A$ : \og Les quatre amis paient le tarif réduit \fg{} ;
 
$B$ : \og Aucun des quatre amis ne paie le tarif réduit \fg{} ;
 
$C$ : \og Au moins un des quatre amis paie le tarif réduit \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item Citer deux évènements contraires parmi les évènements $A, B$ et $C$. 
		\item Calculer les probabilités de chacun des évènements.
	\end{enumerate} 
\item On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque évènement élémentaire, associe la somme totale en euros payée par les quatre amis. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $X$. 
		\item Dresser le tableau donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}

\medskip

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 1 centimètre. On considère les points A et B d'affixes respectives: 

\[z_{\text{A}} = - 2\sqrt{3} + 2\text{i}\quad ; \quad  z_{\text{B}} = - 2\sqrt{3} - 2\text{i}\] 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$, puis placer les points A et B.

\item On désigne par C l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C, puis placer ce point sur la figure. 
		\item Montrer que le quadrilatère OCAB est un losange.
		 
\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou non aboutie, sera prise en compte.}
	\end{enumerate} 
\item Soit $\Gamma$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant : 

\[\left|z + 2\sqrt{3} - 2\text{i}\right| = 4.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point C appartient à l'ensemble $\Gamma$. 
		\item Justifier que $\Gamma$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
		\item Tracer l'ensemble $\Gamma$ sur la figure.
	\end{enumerate} 
\item On note D l'image du point C par la translation de vecteur $\vect{w} = - 7\vect{u}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point D sur la figure. 
		\item Le point D est-il sur le cercle $\Gamma$ ? Justifier. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  10 points}

\medskip


Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~centimètre.
 
Le but de ce problème est :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item d'émettre des conjectures sur la fonction $f$ dans la partie A ; 
\item d'établir des résultats concernant ces conjectures dans la partie B ; 
\item de vérifier la validité de ces conjectures dans la partie C.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\textbf{Partie A : Lecture graphique}

\medskip
 
On a obtenu à l'aide d'un logiciel la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~;~20[ (la courbe est fournie en annexe).
 
On précise que la droite $T$ est la tangente à la courbe de la fonction $f$ au point A d'abscisse $1$.
 
Par simple lecture graphique, déterminer :

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item la limite de la fonction $f$ en zéro; 
\item une valeur de la (ou des) solution(s) de l'équation $f(x) = 0$ ; 
\item le signe de $f(x)$ en fonction de $x$ ; 
\item le sens de variation de la fonction $f$ ; 
\item l'équation réduite de la tangente $T$ ; 
\item une valeur approchée de l'aire du domaine grisé en centimètres carrés.
\end{enumerate}
 
Partie B : Étude d'une fonction

 
On admet dans cette partie que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, on a : 

\[f(x) = (\ln x)^2 - 5 \ln x + 4\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer par le calcul la limite de la fonction $f$ en zéro. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des nombres réels $\R$ l'équation $X^2 - 5X + 4 = 0$. 
		\item En déduire, en posant $X = \ln x$, les solutions de l'équation $f(x) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $x$ dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, calculer $f^{\prime}(x)$ et justifier que $f^{\prime}(x)$ est du signe de $2 \ln x - 5$. 
		\item Résoudre l'inéquation $2 ln x - 5 ~ 0$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Établir une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $1$. 
\item On donne les fonctions $g, h, G$ et $H$ suivantes, définies sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : 

$g(x) = \ln x, h(x) = (\ln x)^2, G(x) = x\ln x - x$ et $H(x) = x\left[(\ln x)^2 - 2\ln x + 2\right]$.
 
On admet que $G$ est une primitive de la fonction $g$ et que $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Calculer $I = \displaystyle\int_{\text{e}}^{\text{e}^2} - f(x)\:\text{d}x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Conclusion}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Parmi les conjectures formulées dans la partie A, indiquer en détaillant les réponses : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item celles qui ont été vérifiées; 
\item celles qui sont fausses; 
\item celles pour lesquelles on ne peut pas conclure.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On s'appuiera sur les résultats obtenus dans la partie B. 
\item On souhaite tracer sur l'écran d'une calculatrice la courbe représentative de la fonction $f$ de manière à visualiser les résultats établis dans la partie B. Proposer un paramétrage de fenêtre de la calculatrice qui permet d'obtenir un tel tracé. 
\end{enumerate}

\vspace*{-5cm}
\begin{landscape}
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-3.5)(21,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1](-1,-3.)(21,10)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.99,-3.5)(21,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt]{-0.2}{2.5}{9 5 x mul sub}
\rput{-90}(21.5,4){\large \textbf{Annexe (problème) à rendre avec la copie} }
\uput[u](2.71828,0){e}\uput[r](2.4,-2.5){$T$} \uput[d](14.5,-2.25){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\uput[ur](7.38906,0){$\text{e}^2$}\uput[dr](0,0){O}\uput[ur](1,4){A}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,9)(1,4)(2.71828,0)(7.38906,0)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psline(2.71828,0)(7.38906,0)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{7.38906}{2.71828}{x ln dup mul x ln 5 mul sub 4 add}}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.37}{20}{x ln dup mul x ln 5 mul sub 4 add}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1](-1,-3.)(21,10)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.99,-3.5)(21,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\end{pspicture}
 \end{center}
\end{landscape}
\end{document}