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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{Antilles}}
\rfoot{\small{juin 2000}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles juin 2000~\decofourright\\[4pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

Durée : 4 heures \hfill Coefficient : 4

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip
 
On note i le nombre complexe de module 1 et dont un argument est 
$\dfrac{\pi}{2}$.

Soient les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ tels que $z_1 = 
\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}$ et $z_2 = 2 - 2\text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer le module et un argument
de chacun des deux nombres complexes $z_1$ et $z_2$. 
		\item Écrire le quotient $\dfrac{z_1}{z_2}$ sous la forme 
$r\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel.
	\end{enumerate}
\item $\mathcal{P}$ est le plan muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm dans lequel les points M$_1$ et M$_2$ sont les points d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$.

Dans ce plan :
	\begin{enumerate} 
		\item placer les points M$_1$ et M$_2$ ;
		\item montrer qu'il existe une rotation de centre O qui transforme M$_2$ en M$_1$.
		
Donner une mesure, en radian, de l'angle de cette rotation.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item En utilisant les formes algébriques de $z_1$ et de 
$z_2$ données dans l'énoncé, écrire le quotient $\dfrac{z_1}{z_2}$ sous forme algébrique.	
		\item Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de $\cos 
\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre l'équation différentielle $y'' + y = 0$, où $y$ désigne une fonction définie et deux fois dérivable  sur $\R$ et où $y''$ désigne la fonction dérivée seconde de la fonction $y$.
		\item Déterminer la solution particulière $f$ de cette équation différentielle vérifiant $f(0) = 1$ et $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0$. ($f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.)
	\end{enumerate}
\item L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk{} d'unité graphique
$4$~cm.

Le but de cette question est de calculer le volume V engendré par la rotation,
autour de l'axe des abscisses, du domaine D hachuré sur le dessin 
ci-dessous :

\begin{center} 
\psset{xunit=0.0444cm,yunit=2.4cm}\begin{pspicture}(-10,-0.2)(90,1.6)

\psline(-0.2,0)(100,0)
\psline(0,-0.2)(0,1.5)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](57.3,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,1){$\vect{\jmath}$}
\psline[linestyle=dashed](45,0)(45,1.414)
\uput[d](90,0){$\frac{\pi}{2}$}
\uput[d](45,0){$\frac{\pi}{4}$}
\uput[d](60,1){D}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(57.3,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psplot{0}{90}{x   cos x   sin add}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=cyan]
{\psplot{0}{90}{x  cos x  sin add}
\psline[linestyle=dashed](90,1)(90,0)(0,0)(0,1)
}
\psline[linestyle=dashed](90,0)(90,1)
\end{pspicture}
\end{center}

Dans le plan rapporté au repère \Oij{} le domaine D est limité par :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la courbe représentative de la fonction $f$ trouvée à la question  précédente ;
\item[$\bullet~$] l'axe des abscisses ;
\item[$\bullet~$] l'axe des ordonnées ;
\item[$\bullet~$] la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point de coordonnées  $\left(\dfrac{\pi}{2}~;~0\right)$.
\end{itemize}

\medskip

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout $x$ réel :

\[[f(x)]^2 = 1 + \sin (2x).\]

		\item Sachant que :

\[\text{V} = \pi\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} [f(x)]^2\:\text{d}x,\]
calculer la valeur exacte de V en unité de volume.

		\item Donner la valeur de V arrondie au mm$^3$. (Exprimer le résultat en 
cm$^3$.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

Dans ce problème :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] I désigne l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ ;
\item[$\bullet~$] $f$ désigne la fonction définie, pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^x - 1} ;\]

\item[$\bullet~$] $f$' désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ ;
\item[$\bullet~$] $\mathcal{C}_f$ désigne la courbe représentative de la 
fonction $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (O$x$,~ O$y$) d'unités graphiques 4~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}

\vspace{0,5cm}

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que, pour tout $x$ de l'intervalle I :

\[f(x) = \text{e}^x + 1 + \dfrac{1}{\text{e}^x - 1}.\]

		\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$, et la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$.
		
En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que, pour tout $x$ de l'intervalle I :

\[f'(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}\left(\text{e}^x - 2\right)}{\left(\text{e}^x  - 1\right)^2}.\]

		\item Étudier, pour tout $x$ de l'intervalle I, le signe de $f'(x)$.

En déduire le sens de variations de la fonction $f$ et que, pour tout $x$ de
l'intervalle I, $f(x)  > 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre, dans l'intervalle I, l'équation, d'inconnue
 $x,~ f(x) = \dfrac{9}{2}$.
		\item Déduire, du résultat obtenu à la question précédente, les coordonnées des points A et B, points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la droite dont une équation est $y = \dfrac{9}{2}$.

(A est le point d'intersection dont l'abscisse est la plus petite.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center} \textbf{Partie B} \end{center}

Soit la fonction $g$ définie, pour tout $x$ de l'intervalle I, par :
	
\[g(x) = \text{e}^x + 1.\]

On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le plan rapporté au repère (O$x$,~O$y$).
 
$\mathcal{C}_g$ est donnée sur le graphique ci-après.

On note $h$ la fonction définie, pour tout $x$ de l'intervalle I, par :

\[h(x) = f(x) - g(x).\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier, pour tout $x$ de l'intervalle I, le signe de $h(x)$ ; en déduire la position de la courbe $\mathcal{C}_f$, par rapport à la courbe $\mathcal{C}_g$.
		\item Résoudre dans l'intervalle I, l'inéquation, d'inconnue $x,~ h(x) 
\leqslant  0,05$.

On admet que deux points du plan de même abscisse sont indiscernables sur
un dessin dès que la différence de leurs ordonnées a une valeur absolue inférieure à $0,05$.

Déterminer un demi-plan dans lequel les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont indiscernables.
		\item Tracer, avec soin, la courbe $\mathcal{C}_f$ sur le graphique ci-après.
	\end{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ de I :

\[h(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x - 1} - 1~.\]

En déduire une fonction primitive de $h$ sur I.
\item Calculer l'aire S de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_f$, la courbe $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équations respectives $x = \ln 2$  et $x = \ln 3$.

(Exprimer le résultat en cm$^2$.)

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1.5,0)(2.5,9)
\psaxes[Dx=1,Dy=5](0,0)(-1.5,0)(2.5,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=1](0,0)(1,1)
\uput[d](2.5,0){$x$}
\uput[l](0,9){$y$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{2.08}{2.71828 x exp 1 add}
\uput[u](1.9,8.5){\blue $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}