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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat  STI Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles--Guyane juin 2002~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Une association propose chaque jour un spectacle au prix de $20$~\euro. Pour en assurer la promotion, chaque client, à l'entrée, lance un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Les six résultats sont équiprobables :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si le résultat est 6, l'entrée est gratuite ; 
\item[$\bullet~$] si le résultat est 1, l'entrée est demi-tarif (10~\euro) ; \item[$\bullet~$] dans les autres cas (2, 3, 4 ou 5), le client paie plein tarif (20~\euro).
\end{itemize}
 
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un client se présente à l'entrée. Soit $A$ l'évènement : \og le client paie plein tarif \fg.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité de $A$. 
\item Énoncer par une phrase en français l'évènement contraire de $A$ noté $\overline{A}$ puis déterminer la probabilité de $\overline{A}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque résultat du dé, le prix payé par le client.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer à l'aide d'un tableau de loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique E($X$).
	\end{enumerate}
\item Avant promotion, le prix unique était 20~\euro{} et l'association avait en moyenne $80$~clients par jour. Depuis la promotion, la clientèle a augmenté de $40$\,\%.

En utilisant la question précédente, indiquer si l'association peut espérer de meilleures recettes grâce à la promotion.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation:

	\[z^2 + 8z + 17 = 0.\]
	
\item  Soit $P(z) =  z^3+2z^2 - 31z - 102$.

Vérifier que  $P(z) = (z - 6)\left(z^2 +8z + 17\right)$.
\item  Utiliser les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} pour résoudre sans calcul supplémentaire l'équation suivante dans $\C$ : 
\[z^3+2z^2 - 31z - 102 = 0.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points A, B et B$'$ d'affixes respectives :\\

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
$6$& , &$-4 + \text{i}$& et & $- 4 - \text{i}$\\
\end{tabularx}

\medskip

		\item  Pourquoi a-t-on OB = OB$'$ ?
		\item  Mettre sous forme algébrique $\dfrac{-4 + \text{i}}{- 4 - \text{i}}$.
		\item  Quel est le module de $\dfrac{-4 + \text{i}}{- 4 - \text{i}}$ ?\\
Déterminer  à l'aide de la calculatrice, un argument de $\dfrac{-4 + \text{i}}{- 4 - \text{i}}$ (on  donnera
l'arrondi à $10^{-2}$ près).
		\item  Déduire des questions \text{b.} et \text{d.}, les mesures en degrés des angles 	du triangle ODB$'$. (On donnera les arrondis a l'unité).
	\end{enumerate}
\item  Soit $\Omega$ le point d'affixe $\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Construire les points C et D, symétriques des points A et B par rapport à $\Omega$.
		\item  Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $1$~cm.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par
 
\[g(x) =  x^3 + x^2 + x + 1.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $g(- 1)$ ; 	déterminer les nombres réels $a$ et $b$ tels que 	

\[g(x) = (x+1)\left(x^2 + ax + b\right).\]

\item  Résoudre dans $\R$ l'inéquation $g(x) \geqslant 0$. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction définie sur $\R$ par

\[f(x) = \left(x^3 - 2x^2 + 5x - 4\right)\text{e}^x.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentant $f$ dans le repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Étudier le limite de $f$ en $+ \infty$ : on remarquera que, pour $x \neq 0$ :

\[f(x) = x^3\left(1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{5}{x^2} - \dfrac{4}{x^3}\right)\text{e}^x.\]
\item   Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$ On admettra que, pour $n$ entier naturel :

\[\lim_{x \to 0} x^n\text{e}^x = 0.\]

En déduire l'existence d'une asymptote à $\mathcal{C}$.
\item Déterminer la dérivée  $f'$ de $f$. Vérifier que $f'(x) =  g(x)\text{e}^x$.
\item Étudier les variations de $f$ à l'aide de la partie A puis dresser le tableau de variations de $f$ où figurera la valeur exacte du minimum de $f$.
\item Recopier et compléter le tableau suivant à l'aide de la calculatrice en donnant les arrondis de $f(x)$ à $10^{-1}$ près.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	&$-10$	&$-5$	&$-4$	&$-3$	&$-2$	&$-1$	&0	&0,5	&1	&1,5	&2\\ \hline
$f(x)$&		&		&		&		&		&		&	&		&	&		&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Calculer $f'(1)$ ; en donner l'arrondi à $10^{-1}$ près : puis tracer la tangente (T) à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$.
\item Tracer $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par

\[F(x) = \left(x^3 - 5x + 15x - 19\right)\text{e}^x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
\item Déterminer en cm$^2 $ l'aire de la portion de plan limitée par $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $y =  0$.

En donner l'arrondi à $10^{-1}$ près.
\end{enumerate}\end{document}