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%tapuscrit : Denis Vergès 
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalaurat STI Génie électronique}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small juin 2003}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\large\textbf{\decofourleft~Bac STI Antilles--Guyane -- Juin 2003~\decofourright\\[5pt]Génie électronique}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\emph{\footnotesize
L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.}}
\end{center}

\textbf{Exercice 1\hfill 5 points}

\medskip

Soit la fonction polynôme $P$ définie sur $\R$ par :
 
\[P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 3x - 2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que pour tout $x$ réel, $P(x) = (x - 1 )\left(2x^2 + 5x + 2\right)$. 
\item Résoudre dans $\R$ l'équation (1) : $P(x) = 0$. 
\item Résoudre dans $\R$ l'équation (2) : $\ln \left(4 - x^2\right) + \ln (2x + 3) = \ln 5 + \ln (x + 2)$. 
\item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~ 2\pi[$ l'équation 

(3) : $2\cos^3(x) + 3\cos^2(x) - 3\cos(x) - 2 = 0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2\hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\ 
Pour chacune des trois questions suivantes, \textbf{une ou plusieurs réponses sont exactes}.\\ 
Vous indiquerez sur votre copie cette (ou ces) réponse(s) exacte(s). Aucune justification n'est demandée.}

\medskip
 
\textbf{Question 1}
 
\parbox{0.41\linewidth}{Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, le triangle OMN est rectangle isocèle en O.
 
Le point M a pour affixe 
$Z_{\text{M}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$, 
le point N a pour affixe $Z_{\text{N}} = \text{i}Z_{\text{M}}$·} \hfill
\parbox{0.56\linewidth}{ \psset{unit=2cm}\begin{pspicture}(-2,-0.5)(1.1,1.8)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-0.5)(1.1,1.8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pspolygon(0,0)(1,1.732)(-1.732,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ul](1,1.732){M} \uput[dl](-1.732,1){N}
\end{pspicture}}

\medskip

À quel nombre complexe $Z_{\text{N}}$ est-il égal ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse	&A	&B	&C	&D  \\ \hline
Expression de $Z_{\text{N}}$&$- \dfrac{3}{2} + \text{i}$&$- \sqrt{3} + \text{i}$&$\dfrac{- 2 + 2\text{i}\sqrt{3}}{\sqrt{3} - \text{i}}$&$2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 2}

Les nombres $\ln 6,\: \ln 18,\: \ln 54$ sont les termes consécutifs d'une suite, quelle est la nature de cette suite ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse&A&B&C  \\ \hline
Nature de la suite&géométrique de raison 3&arithmétique de raison 3&géométrique de raison $\ln 3$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 3}

On considère l'équation différentielle $y' + 2y = 0$. Chaque figure ci-dessous comporte deux courbes. Indiquer, parmi les figures A, B ou C, celle(s) susceptible(s) de comporter les courbes représentatives de deux solutions de cette équation différentielle. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse	&A	&B	&C  \\ \hline
Figure&\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1.,-5)(1.8,8)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1.,-5)(1.8,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1.,1)
\psplot{-0.8}{1.8}{x 4 mul 2  sub}
\psplot{-1}{0.7}{x 4 mul 5 add}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}&\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1.2,-5)(2,8)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1.2,-5)(2,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot{-1.2}{1.}{2.71828 x 2 mul exp}
\psplot{-1.2}{0.8}{2.71828 x 2 mul exp neg}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture} &\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}\begin{pspicture}(-1.2,-5)(2,8)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1.2,-5)(2,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot{-1.}{2}{1 2.71828 x 2 mul exp div}
\psplot{-0.8}{2}{1 2.71828 x 2 mul exp div neg}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Problème\hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[g(x) = (1 - x) \text{e}^{-x} - 3.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle $g'$ la fonction dérivée de $g$. Calculer $g'(x)$ puis étudier son signe pour $x$ appartenant à $\R$. 
\item Déterminer la limite de $g$ en $-\infty$. 
\item Vérifier que $g(x) = \dfrac{1}{\text{e}^x}- \dfrac{x}{\text{e}^x}  - 3$, puis déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$. 
\item Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ appartenant à l'intervalle $[-2~;~2]$, tel que $g(\alpha) = 0$. 
\item À l'aide d'une calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-3}$ près, puis une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près par excès. 
\item Dresser le tableau donnant le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à $\R$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^{-x} - 3x + 4.\]
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, montrer que pour tout $x$ réel  $f'(x) = g(x)$. 
\item En remarquant que pour tout réel $x,~ f(x) = x\left(\text{e}^{-x} - 3\right) + 4$, déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item Soit la droite $\Delta$ d'équation $y = - 3x + 4$ dans le repère \Oij.
		 
Montrer que la droite $\Delta$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ ; étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite $\Delta$.
	\end{enumerate} 
\item Établir le tableau de variations de la fonction $f$. 
\item Déterminer dans le repère \Oij{} une équation de la tangente T$_{\text{A}}$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ en son point A d'abscisse $0$. 
\item Tracer dans le repère \Oij, les droites $\Delta$, T$_{\text{A}}$ et la courbe $\mathcal{C}_{f}$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $r$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[r(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}.\]
 
On appelle $r'$ la fonction dérivée de $r$, calculer $r'(x)$ ; en déduire une primitive de la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = x\text{e}^{-x}$. 
\item On considère la portion de plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}_{f}$ l'asymptote $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 2$.
 
Hachurer cette portion de plan sur le graphique et donner la valeur exacte de son aire exprimée en cm$^2$ puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près. 
\end{enumerate}
\end{document}