\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%\usepackage{graphics,graphicx}
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-3dplot,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat  STI Génie électrotechnique, génie optique }%
\lfoot{\small{Antilles}}
\rfoot{\small{juin 2005}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Génie électronique Antilles~\decofourright\\[4pt]juin 2005}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Soit (E) l'équation différentielle: $9y'' + \pi^2 y = 0 $ où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur $\R$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation (E).
\item Déterminer la solution particulière $f$ de (E) dont la courbe représentative passe par le point A de coordonnées $\left(0~; \sqrt{3}\right)$ et admet en ce point une tangente parallèle à la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y =  - \dfrac{\pi}{3}x$.
\item Montrer que, pour tout réel $x,~f$ peut s'écrire sous la forme : $f(x) = 2\cos \left(\dfrac{\pi}{3}x + \dfrac{\pi}{6}\right)$.
\item Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 3].
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Soit le nombre complexe $z = 1 - \text{i}\sqrt{3}$ et soit A le point d'affixe $z$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le module et un argument de $z$, donner leur interprétation géométrique puis en utilisant ces deux valeurs, placer le point A.
\item On considère les points B et C d'affixes respectives $z^2$ et $\dfrac{2}{z}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z^2$ et $\dfrac{2}{z}$.
		\item Écrire sous forme algébrique les nombres complexes $z^2$ et $\dfrac{2}{z}$.
		\item Placer dans le plan les points B et C.
	\end{enumerate}
\item Montrer que les points A, B et C appartiennent à un cercle dont le centre $\Omega$ a pour affixe $\omega = - \dfrac{3}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Le plan est rapporte à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-3~;~2[$ par $f(x) = \ln\left(ax^2 +  bx + c\right)$.

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le but de cette partie est de déterminer les réels $a~ b$ et  $c$.

\medskip
	
\begin{enumerate}
\item Montrer que : pour tout $x \in ]- 3~;~2[,~f'(x) = \dfrac{2ax+b}{ax^2+ bx + c}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire les données ci-dessous par des relations entre $a,~ b$ et $c$.

$\bullet~$ La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A$(0~;~ \ln 6)$ et B$\left(- \dfrac{1}{2}~;~2\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)\right)$.

$\bullet~$ Au point B, la courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale.
		\item Déterminer $a,~b$ et $c$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - étude de la fonction \boldmath $f$\unboldmath}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[g(x) = - x^2 - x  + 6\]

et $f$ la fonction de la partie A définie sur
$]- 3~;~2[$ par $f(x) = \ln[g(x)]$. La courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ dans le repère précédent est donnée en \textbf{ANNEXE}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $g$ sur $\R$.
		\item Déterminer les limites suivantes : $\displaystyle\lim_{{x \to - 3}\atop{x > -3}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{{x \to 2}\atop{x < 2}} f(x)$.
		\item En déduire les équations des asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$
	\end{enumerate}
\item Montrer que : pour tout $x \in ]-3~;~ 2[,~ f'(x) = \dfrac{-2x - 1}{g(x)}$.
\item Étudier le signe de $f' (x)$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
\item Déterminer une équation de la tangente â $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, sur l'intervalle [0~;~1,9], l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $x_{0}$.
		\item À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de $x_{0}$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Calcul d'aire}

\medskip

Soit $F$ la fonction définie sur $]-3~;~2[$ par :

\[ F(x) = (x+3)\ln(x + 3) + (x - 2)\ln (-x + 2) - 2x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]-3~;~2[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser à l'aide du graphique le signe de $f$ sur l'intervalle [0~;~1].
		\item Calculer la valeur exacte $\mathcal{A}$ (en unités d'aire), de l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x =1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{ANNEXE : courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction \boldmath f \unboldmath}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(2,3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white](0,0)(-3,-3)(2,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1pt](0,0)(-3,0)(2,0)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[ur](0.6,1.5){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.99}{1.99}{6 x dup mul sub x sub ln}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 