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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique}}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Antilles--Guyane juin 2009~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip
 
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
On considère le polynôme $P$ de la variable complexe $z$ défini de la façon suivante :
 
\[P(z) = 9z^3 - 21z^2 + 17z - 5.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(1)$.
\item Déterminer les réels $a,~ b$ et $c$ tels que $P(z) = (z - 1 )\left(az^2 + bz + c\right)$. 
\item Résoudre dans l'ensemble des complexes l'équation : $P(z) = 0$. 
\item On munit le plan d'un repère direct orthonormal \Ouv d'unité graphique 6~cm.
 
Soient A, B et C les points d'affixes respectives : 

\[z_{\text{A}} = 1,~ z_{\text{B}} = \dfrac{1}{3}(2 + \text{i})~ \text{et}~ z_{\text{C}} = \dfrac{1}{3}(2 - \text{i}).\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C (on utilisera une des feuilles de papier millimétré fournies). 
		\item Calculer les modules suivants : $\left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}}\right|,~ \left|z_{\text{A}} - z_{\text{C}}\right|$ et $\left|z_{\text{B}} - z_{\text{C}}\right|$ ; en déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle.
	\end{enumerate} 
\item Soit $\mathcal{C}$ le cercle circonscrit au triangle ABC. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du centre $\Omega$ de $\mathcal{C}$ et son rayon $r$ en cm. 
		\item Placer $\Omega$ et tracer le cercle $\mathcal{C}$ sur la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\begin{center}Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes. \end{center}

\textbf{Partie A - Effet de réponses au hasard à un exercice de type vrai/faux.}

\medskip
 
On imagine un exercice vrai/faux à quatre questions dont la règle de notation serait la suivante : chaque réponse correcte rapporte un point. Chaque réponse incorrecte fait perdre un demi-point. Un total négatif pour ce vrai/faux est ramené à zéro.

\medskip
 
On suppose qu'un élève répond au hasard à chacune des quatre questions par \og vrai \fg{} ou \og  faux \fg{} et qu'il ne laisse aucune question sans réponse.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Indiquer dans un tableau tous les totaux de points possibles en fonction du nombre de réponses correctes fournies. 
\item Compléter l'arbre des choix de la feuille annexe avec les mots \og correct \fg{} et \og incorrect \fg, puis indiquer, dans la dernière colonne, le nombre de points obtenus pour chacune des 16 éventualités. 
\item On suppose que chacune des 16 éventualités a la même probabilité d'être obtenue. 
Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque éventualité, associe le nombre de points correspondant. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ? 
		\item Présenter dans un tableau la loi de probabilité de $X$. 
		\item Calculer E($X$), l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Un exercice de type vrai-faux.}

\medskip 
 
\textbf{Cette partie B est un exercice de type vrai/faux qui doit être traité effectivement par le candidat.}

\medskip
 
La règle de notation est la suivante : à chaque bonne réponse est attribué 0,5~point. Toute réponse incorrecte enlève 0,25~point. L'absence de réponse n'enlève aucun point. En cas de total négatif, la note attribuée à cette partie sera 0.

\medskip
 
\textbf{Le texte ci-dessous comporte quatre affirmations, numérotées de 1 à 4.\\ 
Pour chacune d'elles, indiquer sur la copie si elle est vraie ou fausse. On ne demande aucune justification.}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des réels par 

\[f(x) = \cos \left(2x- \dfrac{\pi}{4}\right).\]

Une partie de la courbe représentative de la fonction $f$ est tracée ci-dessous :

\begin{center}
\medskip
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-3.926,-1.5)(3.926,1.5)
\multido{\n=-3.9270+0.3927}{21}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.6pt](\n,-1.5)(\n,1.5)}
\multido{\n=-1.5+0.5}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.6pt](-3.927,\n)(3.927,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5]{->}(0,0)(-3.926,-1.5)(3.926,1.5)
\uput[dl](0.392,0){$\frac{\pi}{8}$}\uput[dl](3.142,0){$\pi$} \uput[dl](0,0){0}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3.927}{3.927}{x  2 mul 0.785 sub 180 mul 3.142 div cos}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Affirmation 1 :} L'équation $f'(x) = 0$ admet une seule solution dans $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$. 

\bigskip

\textbf{Affirmation 2 :} $\displaystyle\int_{0}^{\frac{3\pi}{8}} f(x)\:\text{d}x =  \dfrac{1 - \sqrt{2}}{4}$.

\bigskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x) = 3 \sin (2x)$.

\medskip
 
\textbf{Affirmation 3 :} $g$ est une solution de l'équation différentielle : $y"+ 4y = 0$.

\bigskip
 
\textbf{Affirmation 4 :}  La valeur moyenne de $g$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ vaut $\dfrac{12}{\pi}$. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 

\[g(x) = x - 1 + \text{e}^{2x}.\]
 
On note $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal \Oij{} du plan. On prend comme unité graphique 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $g$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. 
\item Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x - 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\mathcal{D}$ est asymptote à $\mathcal{C}_{g}$ en $- \infty$. 
		\item Étudier les positions relatives de $\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $g'$ la fonction dérivée de $g$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, pour tout $x$ réel, $g'(x)$ et montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur $\R$. 
		\item Dresser le tableau de variations de $g$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer $g(O)$ puis justifier l'affirmation suivante: \og si $x < 0$, alors $g(x) < 0$ ; si $x > 0$, alors $g(x) > 0$ \fg. 
\item  Construire dans le repère \Oij{} la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}_{g}$. (On utilisera une feuille de papier millimétré.)
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie II}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = (x - 1)^2 + \text{e}^{2x}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Démontrer que, pour tout $x$ réel, $f'(x) = 2g(x)$. 
\item  En utilisant la question  I. 4., dresser le tableau de variation de la fonction $f$ (les limites ne sont pas demandées). 
\item  En déduire la valeur de $x$ pour laquelle la fonction $f$ admet un minimum et déterminer ce minimum.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III -} \emph{Application à un problème de distance minimale}

\medskip
 
On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par : 

\[h(x) = \text{e}^x.\]
 
On donne en annexe la courbe représentative $\mathcal{C}_{h}$ de la fonction $h$ dans un repère orthonormal d'origine $\Omega$. On a également représenté le point P de coordonnées (1~;~0).

\medskip
 
On rappelle que, dans un repère orthonormal, le carré de la distance entre les points A$\left(x_{\text{A}},~ y_{\text{A}\right)$ et B$\left(x_{\text{B}},~ y_{\text{B}}\right)$ est donné par : AB$^2 = \left(x_{\text{B}} - x_{\text{A}}\right)^2 + \left(y_{\text{B}} - y_{\text{A}}\right)^2$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Placer, dans le repère donné en annexe, les points A$\left(-1~;~ \text{e}^{-1}\right)$ et B$(1~;~\text{e})$
		\item Calculer PA$^2$ et PB$^2$.
	\end{enumerate} 
\item On considère, pour un réel $x$, le point $M$ de $\mathcal{C}_{h}$ d'abscisse $x$, c'est-à-dire le point $M\left(x~;~\text{e}^x\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que P$M^2 = f(x)$, où $f$ est la fonction étudiée dans la partie II. 
		\item En déduire les coordonnées du point de la courbe $\mathcal{C}_{h}$ le plus proche du point P. \emph{Dans cette question particulièrement, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Feuille annexe à rendre agrafée à la copie}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-6)(12,8)
%\psgrid
\rput(1,7.4){Question 1}\rput(3,7.4){Question 2}\rput(5,7.4){Question 3}
\rput(7,7.4){Question 4}\rput(9.2,7.4){Nombre de points} 
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{}\taput{correct}}
	  { 
		  \pstree{\TR{}\taput{correct}}
						{\pstree{\TR{}\taput{correct}}
		  			{\TR{}~{4 points}\taput{correct} \TR{}}
		  			\pstree{\TR{}}
									{\TR{} \TR{}
									}
								}				
							\pstree{\TR{}\tbput{incorrect}}
						{\pstree{\TR{}\taput{}}
		  			{\TR{}\tbput{} \TR{}}
		  			\pstree{\TR{}\tbput{incorrect}}
									{\TR{} \TR{}~{0 point}\tbput{incorrect}
									}
								}		   
	  }
	\pstree{\TR{}\tbput{incorrect}}
	  { 
		  \pstree{\TR{}\taput{}}
						{\pstree{\TR{}\taput{}}
		  			{\TR{}\taput{} \TR{}}
		  			\pstree{\TR{}}
									{\TR{} \TR{}
									}
								}				
							\pstree{\TR{}\tbput{}}
						{\pstree{\TR{}\taput{}}
		  			{\TR{}\tbput{} \TR{}}
		  			\pstree{\TR{}\tbput{}}
									{\TR{} \TR{}\tbput{}
									}
								}		   
	  }
}

\end{pspicture}

\newpage

\begin{flushleft}\textbf{Problème : partie II} \end{flushleft}

\vspace{1cm}

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(3,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-3,-1)(3,5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=6,Dy=6](0,0)(-3,-1)(3,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=6,Dy=6]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){$\Omega$} \uput[ur](1,0){P} \uput[r](1,2.718){\blue $\mathcal{C}_{h}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3}{1.6}{2.71828 x exp}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}