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\begin{document}
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\rhead{\small A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie électrotechnique, génie optique}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft ~Baccalauréat STI Génie électronique Antilles~\decofourright\\[4pt] septembre 2005}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Un professeur d'Éducation Physique et Sportive s'adresse à un groupe de vingt élèves au sujet de leurs loisirs : intérêt pour le football dans la pratique de ce sport ou comme spectacle à la télévision.

Parmi ces vingt élèves, on sait que quinze regardent des matches à la television, huit pratiquent ce sport et cinq font les deux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que deux élèves dans ce groupe ne s'intéressent au football ni
dans la pratique, ni à la télévision.
\item  Un élève de ce groupe est choisi au hasard.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la probabilité qu'il ne s'intéresse au football ni dans la pratique ni à la télévision ? 	
		\item  Quelle est la probabilité qu'il s'intéresse au football à la télévision sans le pratiquer ? 
	\end{enumerate}
\item  On interroge au hasard un élève qui regarde les matches à la télévision.

Quelle est la probabilité qu'il pratique le football ?	
\item  On attribue au hasard un numéro à chacun des vingt élèves. Une urne comporte 20 jetons avec les numéros en question.\\
On tire deux fois au hasard un jeton en le remettant dans l'urne après le premier tirage.

À chaque tirage, l'élève désigné gagne un billet d'entrée au match de son choix à condition qu'il pratique le football et le suive à la télévision.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le nombre total de tirages de deux jetons. 
		\item  Déterminer le nombre total de tirages permettant d'obtenir deux billets.
		\item  Soit X la variable aléatoire définie par le nombre de billets gagnants.
		
Définir la loi de probabilité de X et son espérance mathématique. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions suivantes,  au moins une réponse est exacte. Indiquer la (ou les) réponse(s) exacte (s) sur votre copie. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère l'équation différentielle $y' = - 2 +  \ln x$. Parmi les courbes ci-dessous, où la droite T représente chaque fois la tangente à la courbe considérée au point d'abscisse $1$, quelle est celle susceptible de représenter une solution de cette équation différentielle ?
	\begin{enumerate}
		\item~ 
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.714cm} 
\begin{pspicture}(0,-12)(14,2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(0,-12)(14,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[Dx=20,Dy=20,linewidth=1pt](0,0)(0,-12)(14,2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{14}{x ln  x mul  x 3 mul sub}
\psline(1,-3)(5.5,-12)
\uput[dl](4,-9){T} \uput[u](7.389,0){e$^{2}$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](7.389,0)(7.389,-7.389)
\end{pspicture}
\medskip
		\item  
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.714cm} 
\begin{pspicture}(0,-12)(14,2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(0,-12)(14,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[Dx= 20,Dy=20,linewidth=1pt](0,0)(0,-12)(14,2)
\psline(1,-3)(7.75,-12)
\psline(1,-3)(5.5,-12)
\uput[dl](4,-9){T} \uput[u](7.389,0){e$^{2}$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](7.389,0)(7.389,-11.3)
\end{pspicture}
\medskip
		\item  
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.714cm} 
\begin{pspicture}(0,-12)(14,2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(0,-12)(14,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[Dx= 20,Dy=20,linewidth=1pt](0,0)(0,-12)(14,2)
\psline(1,-1)(7.389,-7.389)(10.3,2)
\uput[dl](3.5,-4){T} \uput[u](7.389,0){e$^{2}$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](7.389,0)(7.389,-7.389)
\end{pspicture}

\medskip

	\end{enumerate}
\item  Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Oij, on considère les points A et B d'affixes respectives $Z_{\text{A}}= - 1 + \text{i}$ et $Z_{\text{B}} = I + \text{i}$.

On appelle $\mathcal{C}$ le cercle de centre A et de rayon I et $\mathcal{C}'$ le cercle de centre B et de rayon I.

Soit $n$ un entier naturel non nul et $Z_{n}	 = \left(- \dfrac{\sqrt{2}}{4} - \dfrac{\sqrt{2}}{4} \text{i} \right)^{n}$.

Pour quelles valeurs de $n$, parmi celles proposées ci-dessous, l'image de $Z_{n}$
appartient-elle au domaine grisé ?

\begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-3,-1)(3,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-3,-1)(3,3)

\pscircle(-1,1){1} \pscircle(1,1){1}
\qdisk(-1,1){2pt}  \qdisk(1,1){2pt}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{
\psarc(-1,1){1}{-90}{0}\psarc(1,1){1}{-180}{-90}
\psline(1,0)(-1,0)
}
\uput[dl](0,0){O} \uput[ul](-1,1){A}
\uput[ur](1,1){B} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.8){$\vect{v}$} 
\uput[dr](-2.2,2.2){$\mathcal{C}$}  \uput[dl](2.2,2.2){$\mathcal{C}'$} 
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3,-1)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture} 
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item  $n = 1.$
		\item $n = 2.$
		\item $n = 3.$
	\end{enumerate}	
\item  La solution particulière $f$, définie sur $\R$, de l'équation différentielle
		\[y'' + 9y = 0\]
telle que $f(\pi) = - \sqrt{3}$	et $f'(\pi) = 3$ est :
	\begin{enumerate}
		\item  $f(x) = \sqrt{3}\cos (3x) - \sin (3x)$.
		\item  $f(x) = -\sqrt{3} \cos (3x)+ 3 \sin (3x)$.
		\item  $f(x) = 3\sin \left(\dfrac{x}{3}\right) + \sqrt{3}	\cos  \left(\dfrac{x}{3}\right)$.
	\end{enumerate}	
\item  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{2x}$.\\
La valeur moyenne $\mu$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[\ln 5~;~\ln 10]$ est :
	\begin{enumerate}
		\item $\mu = \dfrac{2 \ln 2}{75}.$
		\item $\mu = \dfrac{75}{2 \ln 5}.$
		\item $\mu = \dfrac{75}{\ln 4}.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} 

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :
 \[ g(x) =  x^2 + 1 - 2 \ln x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On désigne par $g'$ la fonction dérivée de $g$.\\
Déterminer $g'(x)$ et étudier son signe sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.\\
(L'étude des limites aux bornes de l'ensemble de définition n'est pas
demandée.) 	
\item  Calculer $g(1)$. En déduire que $g$ est strictement positive sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, par:

\[f(x) = \left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right) \ln x.\]

Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques graphiques
$2$~cm sur l'axe des abscisses et $4$~cm sur l'axe des ordonnées.\\
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ et par $\Gamma$ la courbe d'équation $y = \ln x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en zéro. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout réel $x$ strictement positif:

\[f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^{3}}.\]
 	
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	 \end{enumerate}
 \item   On définit sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, la fonction $h$ par :

	\[h(x) = f(x) - \ln x.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite en $+ \infty$ de la fonction $h$.	
		\item  Étudier le signe de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
		
En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la courbe $\Gamma$.
	\end{enumerate}
\item  Déterminer une équation de la tangente $\Delta$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A
	d'abscisse $1$.	
\item  Tracer les courbes  $\mathcal{C},~ \Gamma$ et la droite $\Delta$ dans le repère \Oij. 
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $H$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, par :

\[H(x) = - \left(\dfrac{1 + \ln x}{x}\right).\]

Montrer que $H$ est une primitive de $h$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
\item  Soit $\alpha$ un nombre réel strictement supérieur à $1$.

Calculer l'aire $\mathcal{A}(\alpha)$, en cm$^2$, du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, la courbe $\Gamma$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \alpha$. 
\item  Déterminer la limite de $\mathcal{A}(\alpha)$ quand $\alpha$ tend vers $+ \infty$. 
\end{enumerate}
\end{document}