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%Sujet aimablement fourni par l'académie de la Martinique
% Tapuscrit Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STI génie électronique}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{13 septembre 2012}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Antilles-Guyane 13 septembre 2012~\decofourright\\[4pt]Génie électronique, électrotechnique \& optique}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule réponse proposée est correcte. Chaque bonne réponse rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.\\ 
On notera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. On désigne par i le nombre  
complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
 
Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}$ et B le point d'affixe $z_{\text{B}} = - 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le module et un argument de $z_{\text{B}}$ sont respectivement 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\bullet~~$}X}}
$- 1$ et $0$& 	$- 1$ et $\pi$& $1$ et $0$& $1$ et $\pi$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  	Une forme exponentielle de $z_{\text{A}}$ est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\bullet~~$}X}} 
$z_{\text{A}} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$&$z_{\text{A}} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$&$z_{\text{A}} = \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$&$z_{\text{A}} = \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item L'image du point A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ est le point A$'$ d'affixe :
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{$\bullet~~$}X}} 
$z_{\text{A}'} = \left(1 + \sqrt{3}\right) + \text{i}\left(1 + \sqrt{3}\right)$&$z_{\text{A}'} = \left(1 + \sqrt{3}\right) + \text{i}\left(1 - \sqrt{3}\right)$\\ 
$z_{\text{A}'} = \left(1 - \sqrt{3}\right) + \text{i}\left(1 + \sqrt{3}\right)$&$z_{\text{A}'} = \left(1 - \sqrt{3}\right) + \text{i}\left(1 - \sqrt{3}\right)$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item La suite définie par $u_{n} = \left|z_{\text{A}}\right|^n$ pour tout entier naturel $n$ :
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}}
est arithmétique&est géométrique&n'est ni arithmétique, ni géométrique\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
 
À la fin d'une émission de télévision, un jeu est organisé de la manière suivante.
 
Une question est posée et plusieurs réponses possibles sont données. Le joueur tape le numéro de la réponse qui lui semble correcte et l'envoie par l'intermédiaire d'un message électronique. La communication lui coûte alors 1? (on suppose que l'organisateur du jeu reçoit l'intégralité de cet euro).
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Si la réponse est fausse, le joueur a perdu.
\item[$\bullet~~$]Si la réponse est correcte, un tirage au sort peut lui permettre de gagner un chèque d'une valeur de 50~\euro, ou une console de jeu d'une valeur de 300~\euro, ou un voyage d'une valeur de \np{1000}~\euro.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Au total, $16$ lots sont à gagner : $10$ chèques, $5$ consoles et $1$ voyage.
 
Une étude statistique indique que 1\,\% des joueurs n'ont pas la bonne réponse. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On suppose que \np{1000}~personnes ont envoyé un message et que tous les lots ont été gagnés. On choisit une personne au hasard. Toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies. 

On désigne par :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] $R$ l'évènement \og la personne choisie a donné une bonne réponse à la question \fg{} ;
\item[ ] $G$ l'évènement \og la personne choisie a gagné un lot \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la probabilité de l'évènement $R$. 
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à $\dfrac{2}{125}$. 
\item Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros d'un joueur pris au hasard. 
Par exemple, la valeur de $X$ pour un joueur qui perd est $- 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement \og $X$ prend la valeur 299 \fg{} est égale à $\dfrac{1}{200}$. 
		\item Donner toutes les valeurs prises par $X$. 
		\item Donner la loi de probabilité de $X$. 
		\item Montrer que l'espérance de $X$ est $2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Soit $n$ un nombre entier naturel supérieur ou égal à $100$. On suppose que $n$ personnes ont envoyé un message et que tous les lots ont été gagnés. On choisit une personne au hasard. Toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies.
 
Soit $X_{n}$ la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros d'un joueur pris au hasard.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner, en fonction de $n$, la loi de probabilité de $X_{n}$. 
\item Montrer que l'espérance de $X_{n}$ est égale à $\frac{\np{3000} - n}{n}$. 
\item Jusqu'à quelle valeur de $n$, le jeu est-il favorable à un joueur ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle du second ordre : 

\[(E) :\quad  y^{\prime\prime} + 3y^{\prime} + 2y = 0\]
 
où la fonction inconnue $y$ de la variable $x$ est définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels ; $y^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de $y$ et $y^{\prime\prime}$ la fonction dérivée de $y^{\prime}$.

\medskip
 
Le but de ce problème est de déterminer et d'étudier une solution de l'équation différentielle $(E)$. 

La courbe représentative $\mathcal{C}$ de cette solution est donnée ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-1.2)(4.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-2.2,-1.2)(4.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[linewidth=1.25pt]{-1}{0.4}{4 x mul 2.77259 add}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot{-1}{0}{4 x mul 2.77259 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{-0.9}{2 2.71828 x exp div 1 2.71828 x 2 mul exp div sub}
}
\psline[linewidth=1.25pt](-2.5,1)(4.5,1)
\uput[ur](0,1){A}\uput[ul](-0.69,0){B}
\uput[u](1.5,0.4){\blue $\mathcal{C}$}\uput[r](0.35,4){$\mathcal{D}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.9}{4.5}{2 2.71828 x exp div 1 2.71828 x 2 mul exp div sub}
\end{pspicture}
\end{center} 

Les parties B et C peuvent être traitées indépendamment de la partie A.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On désigne par $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = a\text{e}^{- x} + b\text{e}^{- 2x}$, $a$ et $b$ étant deux constantes réelles.
 
La courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-dessus est la courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} de la fonction $f$. Cette courbe passe par le point A(0~;~1) et la tangente à $\mathcal{C}$ en A est parallèle à l'axe des abscisses.
 
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs exactes de $f(0)$ et $f^{\prime}(0)$. 
		\item En utilisant $f(x)$, exprimer $f(0)$ et $f^{\prime}(0)$ en fonction de $a$ et $b$. 
		\item En déduire les valeurs de $a$ et $b$.
	\end{enumerate} 
\item Vérifier que la fonction $f$ obtenue est effectivement une solution de l'équation différentielle $(E)$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$, étudiée dans la partie A, définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = 2\text{e}^{- x} -  \text{e}^{- 2x}.\]
 
La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée au début du problème.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. 

Donner une interprétation graphique de cette limite. 
\item Montrer que, pour tout réel $x,\: f(x) = \text{e}^{- 2x}\left(2\text{e}^{x} - 1\right)$, puis déterminer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f^{\prime}(x) = 2\text{e}^{- 2x}\left(1 - \text{e}^{x}\right)$ pour tout réel $x$. 
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $1 - \text{e}^{x} > 0$. 

En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ sur $\R$. 
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$, dans lequel on reportera les limites.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
L'objectif de cette partie est de déterminer l'aire du domaine hachuré sur le graphique donné au début du problème.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par B l'unique point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe (O$x$).
 
Montrer que l'abscisse du point B est $x_{\text{B}} = - \ln (2)$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f^{\prime}(- \ln (2)) = 4$. 
		\item En déduire qu'une équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point B est :
		 
\[y = 4x + 4\ln (2).\]

	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'ensemble $\R$ par : 

\[g(x) = (4x + 4\ln(2)) - f(x).\]
 
On note $g^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $g$. On admet que le signe de la fonction $g^{\prime}$ est donné Dar le tableau suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,2.5)
\psframe(10,2.5)\psline(0,2)(10,2)
\psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](1,2){$x$}\uput[u](2.5,2){$- \infty$} \uput[u](6,2){$- \ln (2)$} \uput[u](9.5,2){$+ \infty$}
\rput(1,1.5){signe de}\rput(1,0.5){$g^{\prime}(x)$}\rput(4,1){$-$}\rput(6,1){$0$}\rput(8,1){$+$}  
\end{pspicture}
\end{center} 

	\begin{enumerate}
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $g$ sur $\R$ (les limites de la fonction $g$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ ne sont pas demandées). 
		\item Montrer que $g(- \ln (2)) = 0$. 
		\item Montrer que pour tout $x$ appartenant à $\R$, on a $g(x) \geqslant 0$. 
		\item En déduire la position de la droite $\mathcal{D}$ par rapport à celle de la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $G$ définie sur $\R$ par 
		
		\[G (x) = 2x^2 + ( 4\ln (2))x + 2\text{e}^{- x} - \dfrac{1}{2}\text{e}^{- 2x}\]

est  une primitive de $g$ sur $\R$. 
		\item On admet que l'aire, en unité d'aire, du domaine hachuré délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$ et les droites d'équations respectives $x = -  \ln (2)$ et $x = 0$, est égale à $\displaystyle\int_{- \ln (2)}^{0} g(x)\:\text{d}x$. 

Déterminer la valeur exacte de cette aire, en unité d'aire.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}