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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small  Baccalauréat STI  Génie électrique}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI -- Nouvelle
-- Calédonie novembre 2004~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}
\end{center} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, 
résoudre l'équation d'inconnue $z$ :

\[2z^2 + 10z + 25 = 0.\]

Écrire les solutions de cette équation sous la 
forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $r$ est un nombre
réel positif et $\theta$ un nombre réel.
\item Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv~ d'unité 
graphique 2 cm, on considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = - 
\dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{2}\text{i}$, le point B d'affixe $z_{\text{B}}
= - \dfrac{5}{2} - \dfrac{5}{2}\text{i}$ et le point C d'affixe
$z_{\text{C}} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Placer les points A, B et C dans le repère
\Ouv.
		\item Calculer le module de $z_{\text{A}} - z_{\text{B}}$
et celui de $z_{\text{B}} - z_{\text{C}}$. En déduire la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item On appelle A$'$ et B$'$ les images respectives des points A
et B par la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{12}$
 et on note $z_{\text{A}'}$ et $z_{\text{B}'}$ les affixes 
 respectives de A$'$ et B$'$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer le module et un argument de chacun
des nombres complexes  $z_{\text{A}'}$ et $z_{\text{B}'}$.
		\item Écrire les nombres complexes  $z_{\text{A}'}$ et $z_{\text{B}'}$
sous forme algébrique.
		\item Placer les points A$'$ et B$'$ dans le repère \Ouv. On expliquera la construction géométrique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre l'équation différentielle (E) : $y'' + 
\dfrac{1}{4}y = 0,~y$ désignant une fonction numérique définie sur 
l'ensemble $\R$ des nombres réels.
\item Déterminer la fonction $f$, solution de l'équation précédente, qui 
vérifie : 

$f(0) = 2$ et $f'(0) = \sqrt{3}$.
\item Vérifier, que pour tout nombre réel $x,~f(x) = 4 \sin 
\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{6}\right)$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item En utilisant l'équation différentielle (E), 
expliquer comment on peut obtenir la représentation graphique de $f''$, 
dérivée seconde de $f$, à partir de celle de $f$.
		\item Sur la feuille annexe est tracée la représentation graphique de $f$ sur l'intervalle $[0~;~4\pi]$. Tracer la représentation de $f''$ sur ce 
même graphique et sur ce même intervalle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par 

\[h(x) = x + 1 - \text{e}^x.\]

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la dérivée $h'$ de $h$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $1 - \text{e}^x = 0$ et l'inéquation 
$1 - \text{e}^x > 0$. En déduire le sens de variation de la fonction $h$.
\item Calculer $h(0)$. Dresser le tableau de variations de $h$ (on ne 
calculera pas les limites aux bornes de l'ensemble de définition).
\item Justifier que, pour tout nombre réel $x,~h(x) \leqslant 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \left(- 2x^2 - x + 1\right)\text{e}^{-x}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan 
rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique $2$~cm.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
\item En remarquant que, pour tout nombre réel $x$ différent de $0$, on a 

\[f(x) = \left(- 2 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)x^2\text{e}^{-x},\]
déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $f'$ la dérivée de $f$. Démontrer que,  pour tout nombre réel 
		
		$x,~f'(x)=\left(2x^2 - 3x - 2\right)\text{e}^{-x}$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous. On donnera les 
valeurs arrondies au centième.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 		&$-1,3$ &$-1$ 	&$- 0,5$&0 	&0,5 	&1 	&2 	&3 &4 	&6\\ \hline
$f(x)$ 		& 		& 		& 		& 	& 		& 	& 	& 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item On appelle A le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $0$ et 
$\mathcal{T}$ la tangente à $\mathcal{C}$ en A.
	\begin{enumerate} 
		\item Donner une équation de $\mathcal{T}$ ; on 
l'écrira sous la forme $y = g(x)$ où $g$ est une fonction définie 
sur $\R$.
		\item Démontrer que, pour tout nombre réel $x,~f(x) - g(x) = (1 - 
2x)h(x) \text{e}^{-x},~h$ étant la fonction étudiée dans le 
\textbf{partie A}.
		\item Étudier suivant les valeurs du nombre réel $x$, le signe de 
$f(x) - g(x)$. En déduire la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{T}$.
	\end{enumerate}
\item Tracer $\mathcal{T}$ et $\mathcal{C}$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer des nombres réels $a,~ b$ et 
$c$ pour que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = 
\left(ax^2 + bx + c\right)\text{e}^{-x}$ soit une primitive de la 
fonction $f$.
		\item Calculer, en cm$^3$, la valeur exacte de l'aire du domaine 
limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des 
ordonnées et la droite d'équation $x = \dfrac{1}{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}