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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small{Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique}}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI La Réunion juin 2008~ \decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On désigne par i le nombre complexe de module $1$ et d'argument  $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation :

\[z^2 - 4z\sqrt{3} +16 = 0.\]

\item  On considère les points A, B et C d'affixes respectives :

\[z_{\text{A}} = 2\sqrt{3} + 2\text{i}\quad 	z_{\text{B}} = 2\sqrt{3} - 2\text{i}~~\text{et}~~	z_{\text{C}} =4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Donner la forme algébrique du nombre complexe $z_{\text{C}}$.
		\item  Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$.
		\item  En déduire que les points A, B et C appartiennent à un cercle de centre O dont on précisera le rayon.
		\item  Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv.
		\item  Démontrer que le triangle ABC est un triangle isocèle.
 	\end{enumerate}
\item  On considère la rotation $r$ de centre O qui transforme A en B. 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}= \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$. En déduire l'angle $\theta$ de la rotation $r$.
		\item  Préciser alors la nature du  triangle OAB.
		\item  Établir que le point C est l'image du point B par la rotation $r$.
		\item  Préciser la nature du quadrilatère OABC.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

Un hôtel de vacances propose deux types de bungalow (bungalow avec kitchenette ou bungalow sans kitchenette) à louer à la semaine.

 Pour les clients qui le souhaitent, l'hôtel propose deux formules de restauration au choix :
 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Formule A : petit déjeuner seul,
\item[$\bullet~$] Formule B : petit déjeuner et diner.
\end{itemize}

\medskip

Pour chaque semaine de location, chaque client décide s'il prend une formule de restauration et si oui, choisit entre les formules A et B.

Le gestionnaire de l'hôtel a constaté que sur $100$~clients

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]	44 clients ne prennent aucune formule de restauration.
\item[$\bullet~$]	60 clients optent pour un bungalow avec kitchenette et parmi ceux-ci, 10\,\% choisissent la formule B et 20\,\% la formule A.
\item[$\bullet~$]	35\,\% des clients ayant choisi un bungalow sans kitchenette prennent la formule A.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

 \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Nombre de clients ayant choisi :&	Bungalow avec kitchenette&Bungalow sans kitchenette& 	Total\\ \hline
Formule A	&	&	&\\ \hline
Formule B	&6	&	&\\ \hline
Aucune formule de restauration&	&	2&\\ \hline
Total		&	&	&	100\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item On interroge un client au hasard, au sujet de ses choix, 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la probabilité de l'évènement $E$ : \og Le client a choisi la formule B \fg.
		\item  Déterminer la probabilité de l'évènement $F$ : \og  Le client a loué un bungalow sans kitchenette \fg.
		\item  Déterminer la probabilité de l'évènement $G$ : \og Le client a loué un bungalow sans kitchenette ou a choisi la formule B \fg.
		\item  Déterminer la probabilité de l'évènement $H$ : \og Le client a choisi une formule de restauration \fg.
  	\end{enumerate}
\item La location d'un bungalow sans kitchenette à la semaine coûte 415 ? et celle d'un bungalow avec kitchenette 520~\euro. La formule A coûte 49~\euro{} à la semaine. La formule B coûte 154~\euro{} à  la semaine.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chacun des 6 choix possibles, associe le coût correspondant pour une semaine. 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ ? 
		\item  Démontrer que la probabilité de l'évènement \og $X$ prend la valeur 520 \fg{} est égale à $0,42$. 
		\item  Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item  Calculer l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$.
		\item  Pour la prochaine saison, le gérant de l'hôtel pense qu'il louera dans les mêmes conditions $16$~bungalows pendant $20$~semaines. Quelle recette peut-il alors espérer ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  10 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. 

La représentation graphique $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels ainsi qu'une droite $\mathcal{T}$ sont tracées dans le repère \Oij{} du plan sur la feuille figurant en annexe.
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points de coordonnées $(-1 ~;~ 2)$ et (0 ; 4).
\item[$\bullet~$] La droite parallèle à l'axe des abscisses, est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

\end{itemize}

\medskip

\textbf{Partie A : étude graphique et détermination d'une fonction}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner, les valeurs des nombres réels $f(0)$ et $f(-1)$.

\item  Sachant que la courbe  $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en exactement deux points A$_{0}$ et A$_{1}$ d'abscisses respectives $x_{0}$ et $x_{1}$ avec $x_{0} < x_{1}$, préciser à l'aide du graphique le signe de $f(x)$ selon les valeurs du réel $x$.

\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer graphiquement $f'(0)$.
		\item  Déterminer par lecture graphique le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$ appartenant à l'intervalle $[-1 ~;~ 2]$.
	\end{enumerate}
\item On admet qu'il existe deux constantes réelles $a$ et $b$ telles que, pour tout nombre réel $x$, on ait :

\[f(x) = (x + a)\text{e}^{-x} + bx^2 + 3.\]

En utilisant les résultats trouvés à la question 1, déterminer les nombres réels $a$ et $b$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B : étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath sans utilisation du graphique}

On admet maintenant que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par :

\[f(x) = (x+1)\text{e}^{-x} - x^2 + 3.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$.

\item  En remarquant que $f(x) = x\text{e}^{-x} + \text{e}^{-x} - x^2  + 3$, déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout nombre réel $x,~ f'(x) = -x\left(\text{e}^{-x} + 2\right)$.
		\item  Étudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs du réel $x$ et dresser le tableau de variation de $f$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que l'équation $f(x)= 0$ admet une unique solution sur l'intervalle [1 ; 2].\\
Cette solution est l'abscisse $x_{1}$ du point A$_{1}$ définie dans la partie A question 2.
		\item  Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$  du nombre réel $x_{1}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\medskip
 
\textbf{Partie C : calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On considère les fonctions $g$ et $G$ définies sur $\R$ par
		
		\[g(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}\quad  \text{et} \quad G(x) = (- x - 2)\text{e}^{-x}.\]
		
Démontrer que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur $\R$.
		\item En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $\mathcal{P}$ la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = - 1$ et $x = 1$.

On appelle $\mathcal{A}$ la mesure, exprimée en cm$^2$, de l'aire de la partie	$\mathcal{P}$. Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis en donner la valeur décimale arrondie au centième.
\end{enumerate}
		
\newpage

\begin{center}
\textbf{Feuille annexe}

\bigskip

\psset{unit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,8)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-3)(3,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-3,-3)(3,8)
\psline(-2,4)(3,4)\uput[ur](2,4){$\mathcal{T}$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-1.643}{2.51}{x 1 add 2.71828 x exp div 3 add x x mul sub}
\uput[ul](-1.3,0){A$_{0}$}\uput[ur](1.85,0){A$_{1}$}\uput[r](2.2,-1.5){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}